Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Persamaan Kuadrat

Admin

Rangkuman Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Misalkan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0, maka persamaan yang terbentuk

ax2 + bx + c = 0

dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x


Akar-akar persamaan kuadrat

Menentukan Akar-akar persamaan kuadrat ada beberapa cara diantaranya :

  1. MemfaktorkanContoh:
    x2 – 6x + 9 = 0
    (x-3) (x-3) = 0
    x – 3 = 0  atau x – 3 = 0
    x = 3
  1. Melengkapkan kuadrat sempurnaContoh :
    x2 – 2 x – 2 = 0
    (x2 – 2x + 1) + (-1) – 2 = 0
    (x-1)2 – 3 = 0
    (x-1)2 = 3
    (x-1) = ± √3
    x-1 = √3 atau x -1 = – √3
    x = 1 + √3 atau x = 1 – √3
  1. Menggunakan rumus kuadratper1
    Contoh:
    x2 – 6x + 8 = 0
    a = 1, b = -6, dan c = 8
    per2
    Jadi, akar-akarnya adalah x1 = 2 atau x2 = 4
  1. menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax2 + bx +c

DOWNLOAD RANGKUMAN PERSAMAAN KUADRAT DALAM BENTUK PDF Klik Disini

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai diskriminan (D = b² – 4ac) yang membedakan jenis akar-akar persamaan kuadrat menjadi 3, yaitu:

  1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan
    1. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional
    2. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional
  2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional.
  3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner)
  4. Bentuk perluasan untuk akar – akar real:
    1. Kedua akar berkebalikan per3
      • D ≥ 0
      • x1.x2 = 1
    2. Kedua akar berlawanan (x1 = -x2)
      • D > 0
      • x+ x2 = 0
      • x1.x2  < 0
    3. Kedua akar positif (x> 0 ∧ x> 0)
      • D ≥ 0
      • x+ x2 > 0
      • x1.x2 > 0
    4. kedua akar negatif (x< 0 ∧ x2 < 0)
      • D ≥ 0
      • x+ x2 < 0
      • x1.x2 > 0
    5. akar yang berlainan tanda
      • D> 0
      • x1.x2 < 0
    6. kedua akar lebih besar dari bilangan konstan p (x1 > p ∧ x2 > p)
      • D ≥ 0
      • (x1 – p) + (x2 – p) > 0
      • (x1 – p).(x2 – p) > 0
    7. kedua akar lebih kecil dari bilangan konstan q (x1 < q ∧ x2 < q)
      • D ≥ 0
      • ( x1 – q ) + ( x2 – q ) < 0
      • ( x1 – q ) ( x2 – q ) > 0

Sifat Akar

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan D>0, maka berlaku:

  1. per4
  2. per5
  3. per6
  4. Rumus menentukan jumlah dan hasil akar-akar persamaan kuadrat.
    1. Jumlah Kuadrat
      x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2(x1.x2)
    2. Selisih Kuadrat
      x12 – x22 = (x1 + x2) (x1 – x2)
    3. Kuadrat Selisih
      (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1.x2
    4. Jumlah Pangkat Tiga
      x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3(x1.x2) – (x1 + x2)
    5. Selisih Pangkat Tiga
      x13 – x23 = (x1 + x2)3 + 3(x1.x2) – (x1 + x2)

menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya

  1. Memakai faktor
    (x – x1)(x – x2) = 0
  2. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
    x2 – ( x1 + x2)x + (x1.x2) = 0

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Soal No.1 (SBMPTN 2014)
Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 3 = 0 , maka nilai 2a2 + b2 + a …..
  1. 10
  2. 9
  3. 7
  4. 6
  5. 4

PEMBAHASAN :
a merupakan akar-akar persamaan maka :
a2 + a – 3 =0
a2 = 3-a
2a2 = 6-2a
b juga merupakan akar-akar persamaan maka :
b2 + b – 3 = 0
b2 = 3-b
Sehingga 2a2 + b2 + a
= (6-2a)+(3-b)+a
=9-(ɑ+b)
=9-(-1) = 10
Jawaban : A

Soal No.2 (UN 2014)
Akar-akar persamaan x2 + (p-1)x – 18 = 0 adalah α dan β. Jika α + 2β = 0 dan p≥0 maka nilai p=…
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

PEMBAHASAN :
per7
Jawaban : E

Soal No.3 (SBMPTN 2014)
Akar-akar persamaan x2+(p+1)x+8 = 0 adalah α dan β. Jika α = ½ β dan α,β positif. Maka nilai p=…
  1. 8
  2. 7
  3. 6
  4. -7
  5. -8

PEMBAHASAN :
per8
Jawaban : D

Soal No.4 (SBMPTN 2014)
Diketahui m dan n akar-akar persamaan ax2+bx+c=0. Jika m + 2 dan n+2 akar-akar persamaan kuadrat ax2+qx+r = 0, maka q+r =…
  1. c + 3b
  2. c – b + 4a
  3. c – b
  4. c – b + 8a
  5. c + 3b + 8a

PEMBAHASAN :
per9
Jawaban : C

Soal No.5 (UN 2002)
Persamaan (2m-4)x2+ 5x+2=0 mempunya akar-akar real berkebalikan maka nilai m=….
  1. -3
  2. – 1/3
  3. 1/3
  4. 3
  5. 6

PEMBAHASAN :
per10

Jawaban : D

Soal No.6 (SBMPTN 2014)
Persamaan kuadrat 2x2-px+1 = 0 dengan p > 0, mempunyai akar-akar. Jika x2-5x+q =0 mempunyai akar-akar per11Maka q – p =……..
  1. -2
  2. ½
  3. 1
  4. 2

PEMBAHASAN :
per12
Jawaban : D

Soal No.7 (UN 2000)
Akar-akar persamaan 2x2 + 2px – q2 = 0 adalah p dan q, p – q = 6, nilai pq =….
  1. 6
  2. -2
  3. -4
  4. -6
  5. -8

PEMBAHASAN :
per13
Jawaban : E

Soal No.8 (SBMPTN 2014)
Jika p dan q merupakan akar akar persamaan kuadrat x2 – (a + 1)x + (- a- 5/2 )= 0. Maka nilai minimum p2 + q2 adalah …..
  1. 5/2
  2. 2
  3. 1
  4. 1/2
  5. 0

PEMBAHASAN :
x2 – ( a + 1 ) x + (-a- – )= 0
p2 + q2 = ( p + q )2 – 2pq
(a + 1)2 – 2. (-a –  )
a2 + 2a + 1 + 2a + 5
a2 + 4a + 6
Syarat minimum 𝑓’ ( x )= 0
2a + 4 = 0
a = -2
Maka , nilai minimum p2 + q2 adalah
(-2)2 + 4 ( -2) + 6 = 2
Jawaban : B

Soal No.9 (UN 2012)
Persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1x22 + x12x2=32, maka nilai p =….
  1. -4
  2. -2
  3. 2
  4. 4
  5. 8

PEMBAHASAN :
x2+ 4px +4=0
x1 + x2= -4p
x1.x2 = 4
x1 x22 +x12 x2 = 32
x1 .x2 (x1 + x2) =32
4 (-4p) = 32
p = -2
Jawaban : B

Soal No.10 (SNMPTN 2010)
Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar a dan b sehingga per14 adalah …
  1. x2-10x+7 =0
  2. x2+7x+10=0
  3. x2+7x-10=0
  4. x2-7x+10=0
  5. x2-7x-10=0

PEMBAHASAN :
per15
Jawaban : D

Soal No.11 (UN 2012)
Akar-akar persamaan kuadrat x2 +ax -4 = 0 adalah p dan q. Jika p2 -2pq + q2 = 8a, maka nilai a =…
  1. -8
  2. -4
  3. 4
  4. 6
  5. 8

PEMBAHASAN :
per16
Jawaban : C

Soal No.12 (SBMPTN 2014)
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – x – 3 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya x12+x22 dan 2x1+ 2x2 adalah …
  1. x2-x+9 = 0
  2. x2+x+9 = 0
  3. x2-9x-14 = 0
  4. x2+9x+14 = 0
  5. x2-9x+14 = 0

PEMBAHASAN :
x2 – x – 3 = 0
x1 + x2=1
x1.x2 = -3
x12+x22 = ( x1+x2)2 -2 x1 x2 =1-2(-3) = 7
2x1+2x2 = 2(x1+x2) = 2(1)=2
Maka, persamaan kuadrat baru :
x2 – (7+2)x + (7.2) = 0
x2 – 9x + 14 = 0
Jawaban : E

Soal No.13 (UN 2014)
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (p-3)x +4 = 0 adalah x1 dan x2 . Jika x12 +x22 = p-5 nilai p yang memenuhi adalah….
  1. p = -6 atau p =1
  2. p =-1 atau p =6
  3. p = 1 atau p = 6
  4. p = -6atau p = -1
  5. p = 6 atau p = 2

PEMBAHASAN :
x2 + (p-3)x +4 = 0
x1 +x= -(p-3)
x1.x2 = 4
x12 +x22 = p – 5
(x1+x2)2 – 2x1x2 = p – 5
(3-p)2 -2.4 = p-5
p2 – 6p +9 -8 = p-5
p2 -7p + 6 = 0
(p – 1)(p – 6)
p=1 v p=6
Jadi, nilai p =1 atau p = 6
Jawaban : C

Soal No.14 (UN 2012)
Persamaan kuadrat x2 +(m-1)x – 5 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 – 2x1x2  = 8m, maka nilai m…
  1. -3 atau -7
  2. 3 atau 7
  3. 3 atau -7
  4. 6 atau 14
  5. -6 atau -14

PEMBAHASAN :
x2 +(m-1)x-5=0
x12 + x22 – 2x1x2 = 8m
(x1+x2)2 – 4x1 x2 = 8m
(1-m)2 -4(-5) = 8m
m2 – 2m + 1 + 20 = 8m
m2 – 10m + 21 = 0
(m-7)(m-3)=0
m = 7 atau m = 3
Maka, m yang memenuhi adalah 3 dan 7
Jawaban : B

Soal No.15 (UN 2005)
x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat 3x2 – x -5 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3x1+1 dan 3x2+1 adalah….
  1. x2 + x – 15 = 0
  2. x2 – x + 15 = 0
  3. x2 + 3x + 13 = 0
  4. x2 – 3x + 13 = 0
  5. x2 – 3x – 13 = 0

PEMBAHASAN :
per17
Jawaban : E

Soal No.16 (UN 2009)
Akar-akar persamaan x12 + x22 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya per18 adalah …
  1. 4x2 + 17x + 4 = 0
  2. 4x2 – 17 + 4 = 0
  3. 4x2 + 17x – 4 = 0
  4. 9x2 + 22x – 9 = 0
  5. 9x2 – 22x – 9 = 0

PEMBAHASAN :
per19
Jawaban : A

Soal No.17 (UN 2001)
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 6x – 12 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya per20 dan x1 x2 adalah..
  1. x2 + 9x – 18 = 0
  2. x2 – 21x – 18 = 0
  3. x2 + 21x + 36 = 0
  4. 2x2 + 21x – 36 = 0
  5. 2x2 + 21x – 18 = 0

PEMBAHASAN :
per21
Jawaban : D

Soal No.18 (UN 2013)
Salah satu nilai p yang menyebabkan persamaan kuadrat 2x2+(p+1)x+8=0 memiliki akar kembar adalah…
  1. -8
  2. -7
  3. 6
  4. 7
  5. 9

PEMBAHASAN :
Memiliki akar kembar berarti D = 0
b2 – 4ac = 0
(p + 1)2 – 4.2.8 = 0
p2 + 2p + 1 – 64 = 0
p2 + 2p – 63 = 0
(p+9)(p – 7) = 0
p = -9 atau p = 7
Jawaban : D

Soal No.19 (UN 2012)
Persamaan kuadrat  x2 + (m-2)x + 2m – 4 = 0 mempunyai akar-akar real, maka m yang memenuhi adalah..
  1. m ≤ 2 atau m ≥ 10
  2. m ≤ -10 atau m ≥ -2
  3. m < 2 atau m > 10
  4. 2 < m < 10
  5. -10 < m < -2

PEMBAHASAN :
per22
Jawaban : A

Soal No.20 (UN 2013)
Agar persamaan kuadrat 4x2 – (p-3)x + 1 = 0 mempunyai dua akar tidak nyata, maka nilai p yang memenuhi adalah …
  1. -1 < p <  7
  2. -7 < p < 1
  3. 1 < p <7
  4. p < -1 atau p > 7
  5. p < 1 atau p > 7

PEMBAHASAN :
Mempunyai dua akar tidak nyata berarti D<0
b2 – 4ac < 0
(-(p-3))2 – 4.4.1 < 0
p2 – 6p+ 9 – 16<0
p2 – 6p – 7 <0
(p-7)(p+1)<0
p = 7 atau p=-1
per23
Jawaban : A

Soal No.21 (UN 2003)
Persamaan kuadrat (k+2)x2 – (2k-1)x + k -1 = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah …
  1. 9/8
  2. 8/9
  3. 5/2
  4. 2/5
  5. 1/5

PEMBAHASAN :
per24
Jawaban : D

DOWNLOAD RANGKUMAN PERSAMAAN KUADRAT DALAM BENTUK PDF Klik Disini

 

KINI HADIR LAYANAN BERTANYA TUGAS & PR PREMIUM (FAST RESPOND!!)

CUKUP PAKAI FASILITAS SMS, WA atau BBM Dan PR Mu Terbantu Dengan Cepat

DONASI:
SMP : Rp. 5.000 per pertanyaan
SMA : Rp. 6.500 Per pertanyaan.
Perguruan Tinggi : Rp. 7.500 Per pertanyaan ( Hanya Kimdas dan Fisdas)
Tingkat SMP, SMA mata pelajaran yang bisa ditanyakan Kimia, Fisika, Matematika.

Dijawab oleh guru yang sudah ahli di bidangnya
Layanan Bantuan PR/Tugas dari jam 15.00 s.d 20.00 WIB
(menghindari kecurangan saat ujian)

INFORMASI LEBIH LANJUT HUB : 089622667471 (SMS / WA)

ARTIKEL TERKAIT

Tinggalkan Balasan

Pesan kamu*

Komentar kamu akan ditinjau dulu sebelum ditampilkan

Name*
Email*
Url