Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Persamaan Kuadrat

Yudi

Rangkuman Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Misalkan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0, maka persamaan yang terbentuk

ax2 + bx + c = 0

dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x


Akar-akar persamaan kuadrat

Menentukan Akar-akar persamaan kuadrat ada beberapa cara diantaranya :

  1. MemfaktorkanContoh:
    x2 – 6x + 9 = 0
    (x-3) (x-3) = 0
    x – 3 = 0  atau x – 3 = 0
    x = 3
  1. Melengkapkan kuadrat sempurnaContoh :
    x2 – 2 x – 2 = 0
    (x2 – 2x + 1) + (-1) – 2 = 0
    (x-1)2 – 3 = 0
    (x-1)2 = 3
    (x-1) = ± √3
    x-1 = √3 atau x -1 = – √3
    x = 1 + √3 atau x = 1 – √3
  1. Menggunakan rumus kuadratper1
    Contoh:
    x2 – 6x + 8 = 0
    a = 1, b = -6, dan c = 8
    per2
    Jadi, akar-akarnya adalah x1 = 2 atau x2 = 4
  1. menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax2 + bx +c

DOWNLOAD RANGKUMAN PERSAMAAN KUADRAT DALAM BENTUK PDF Klik Disini

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai diskriminan (D = b² – 4ac) yang membedakan jenis akar-akar persamaan kuadrat menjadi 3, yaitu:

  1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan
    1. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional
    2. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional
  2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional.
  3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner)
  4. Bentuk perluasan untuk akar – akar real:
    1. Kedua akar berkebalikan per3
      • D ≥ 0
      • x1.x2 = 1
    2. Kedua akar berlawanan (x1 = -x2)
      • D > 0
      • x+ x2 = 0
      • x1.x2  < 0
    3. Kedua akar positif (x> 0 ∧ x> 0)
      • D ≥ 0
      • x+ x2 > 0
      • x1.x2 > 0
    4. kedua akar negatif (x< 0 ∧ x2 < 0)
      • D ≥ 0
      • x+ x2 < 0
      • x1.x2 > 0
    5. akar yang berlainan tanda
      • D> 0
      • x1.x2 < 0
    6. kedua akar lebih besar dari bilangan konstan p (x1 > p ∧ x2 > p)
      • D ≥ 0
      • (x1 – p) + (x2 – p) > 0
      • (x1 – p).(x2 – p) > 0
    7. kedua akar lebih kecil dari bilangan konstan q (x1 < q ∧ x2 < q)
      • D ≥ 0
      • ( x1 – q ) + ( x2 – q ) < 0
      • ( x1 – q ) ( x2 – q ) > 0

Sifat Akar

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan D>0, maka berlaku:

  1. per4
  2. per5
  3. per6
  4. Rumus menentukan jumlah dan hasil akar-akar persamaan kuadrat.
    1. Jumlah Kuadrat
      x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2(x1.x2)
    2. Selisih Kuadrat
      x12 – x22 = (x1 + x2) (x1 – x2)
    3. Kuadrat Selisih
      (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1.x2
    4. Jumlah Pangkat Tiga
      x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3(x1.x2) – (x1 + x2)
    5. Selisih Pangkat Tiga
      x13 – x23 = (x1 + x2)3 + 3(x1.x2) – (x1 + x2)

menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya

  1. Memakai faktor
    (x – x1)(x – x2) = 0
  2. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
    x2 – ( x1 + x2)x + (x1.x2) = 0

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Soal No.1 (SBMPTN 2014)
Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 3 = 0 , maka nilai 2a2 + b2 + a …..
  1. 10
  2. 9
  3. 7
  4. 6
  5. 4

PEMBAHASAN :
a merupakan akar-akar persamaan maka :
a2 + a – 3 =0
a2 = 3-a
2a2 = 6-2a
b juga merupakan akar-akar persamaan maka :
b2 + b – 3 = 0
b2 = 3-b
Sehingga 2a2 + b2 + a
= (6-2a)+(3-b)+a
=9-(ɑ+b)
=9-(-1) = 10
Jawaban : A

Soal No.2 (UN 2014)
Akar-akar persamaan x2 + (p-1)x – 18 = 0 adalah α dan β. Jika α + 2β = 0 dan p≥0 maka nilai p=…
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

PEMBAHASAN :
per7
Jawaban : E

Soal No.3 (SBMPTN 2014)
Akar-akar persamaan x2+(p+1)x+8 = 0 adalah α dan β. Jika α = ½ β dan α,β positif. Maka nilai p=…
  1. 8
  2. 7
  3. 6
  4. -7
  5. -8

PEMBAHASAN :
per8
Jawaban : D

Soal No.4 (SBMPTN 2014)
Diketahui m dan n akar-akar persamaan ax2+bx+c=0. Jika m + 2 dan n+2 akar-akar persamaan kuadrat ax2+qx+r = 0, maka q+r =…
  1. c + 3b
  2. c – b + 4a
  3. c – b
  4. c – b + 8a
  5. c + 3b + 8a

PEMBAHASAN :
per9
Jawaban : C

Soal No.5 (UN 2002)
Persamaan (2m-4)x2+ 5x+2=0 mempunya akar-akar real berkebalikan maka nilai m=….
  1. -3
  2. – 1/3
  3. 1/3
  4. 3
  5. 6

PEMBAHASAN :
per10

Jawaban : D

Soal No.6 (SBMPTN 2014)
Persamaan kuadrat 2x2-px+1 = 0 dengan p > 0, mempunyai akar-akar. Jika x2-5x+q =0 mempunyai akar-akar per11Maka q – p =……..
  1. -2
  2. ½
  3. 1
  4. 2

PEMBAHASAN :
per12
Jawaban : D

Soal No.7 (UN 2000)
Akar-akar persamaan 2x2 + 2px – q2 = 0 adalah p dan q, p – q = 6, nilai pq =….
  1. 6
  2. -2
  3. -4
  4. -6
  5. -8

PEMBAHASAN :
per13
Jawaban : E

Soal No.8 (SBMPTN 2014)
Jika p dan q merupakan akar akar persamaan kuadrat x2 – (a + 1)x + (- a- 5/2 )= 0. Maka nilai minimum p2 + q2 adalah …..
  1. 5/2
  2. 2
  3. 1
  4. 1/2
  5. 0

PEMBAHASAN :
x2 – ( a + 1 ) x + (-a- – )= 0
p2 + q2 = ( p + q )2 – 2pq
(a + 1)2 – 2. (-a –  )
a2 + 2a + 1 + 2a + 5
a2 + 4a + 6
Syarat minimum 𝑓’ ( x )= 0
2a + 4 = 0
a = -2
Maka , nilai minimum p2 + q2 adalah
(-2)2 + 4 ( -2) + 6 = 2
Jawaban : B

Soal No.9 (UN 2012)
Persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1x22 + x12x2=32, maka nilai p =….
  1. -4
  2. -2
  3. 2
  4. 4
  5. 8

PEMBAHASAN :
x2+ 4px +4=0
x1 + x2= -4p
x1.x2 = 4
x1 x22 +x12 x2 = 32
x1 .x2 (x1 + x2) =32
4 (-4p) = 32
p = -2
Jawaban : B

Soal No.10 (SNMPTN 2010)
Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar a dan b sehingga per14 adalah …
  1. x2-10x+7 =0
  2. x2+7x+10=0
  3. x2+7x-10=0
  4. x2-7x+10=0
  5. x2-7x-10=0

PEMBAHASAN :
per15
Jawaban : D

Soal No.11 (UN 2012)
Akar-akar persamaan kuadrat x2 +ax -4 = 0 adalah p dan q. Jika p2 -2pq + q2 = 8a, maka nilai a =…
  1. -8
  2. -4
  3. 4
  4. 6
  5. 8

PEMBAHASAN :
per16
Jawaban : C

Soal No.12 (SBMPTN 2014)
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – x – 3 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya x12+x22 dan 2x1+ 2x2 adalah …
  1. x2-x+9 = 0
  2. x2+x+9 = 0
  3. x2-9x-14 = 0
  4. x2+9x+14 = 0
  5. x2-9x+14 = 0

PEMBAHASAN :
x2 – x – 3 = 0
x1 + x2=1
x1.x2 = -3
x12+x22 = ( x1+x2)2 -2 x1 x2 =1-2(-3) = 7
2x1+2x2 = 2(x1+x2) = 2(1)=2
Maka, persamaan kuadrat baru :
x2 – (7+2)x + (7.2) = 0
x2 – 9x + 14 = 0
Jawaban : E

Soal No.13 (UN 2014)
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (p-3)x +4 = 0 adalah x1 dan x2 . Jika x12 +x22 = p-5 nilai p yang memenuhi adalah….
  1. p = -6 atau p =1
  2. p =-1 atau p =6
  3. p = 1 atau p = 6
  4. p = -6atau p = -1
  5. p = 6 atau p = 2

PEMBAHASAN :
x2 + (p-3)x +4 = 0
x1 +x= -(p-3)
x1.x2 = 4
x12 +x22 = p – 5
(x1+x2)2 – 2x1x2 = p – 5
(3-p)2 -2.4 = p-5
p2 – 6p +9 -8 = p-5
p2 -7p + 6 = 0
(p – 1)(p – 6)
p=1 v p=6
Jadi, nilai p =1 atau p = 6
Jawaban : C

Soal No.14 (UN 2012)
Persamaan kuadrat x2 +(m-1)x – 5 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 – 2x1x2  = 8m, maka nilai m…
  1. -3 atau -7
  2. 3 atau 7
  3. 3 atau -7
  4. 6 atau 14
  5. -6 atau -14

PEMBAHASAN :
x2 +(m-1)x-5=0
x12 + x22 – 2x1x2 = 8m
(x1+x2)2 – 4x1 x2 = 8m
(1-m)2 -4(-5) = 8m
m2 – 2m + 1 + 20 = 8m
m2 – 10m + 21 = 0
(m-7)(m-3)=0
m = 7 atau m = 3
Maka, m yang memenuhi adalah 3 dan 7
Jawaban : B

Soal No.15 (UN 2005)
x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat 3x2 – x -5 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3x1+1 dan 3x2+1 adalah….
  1. x2 + x – 15 = 0
  2. x2 – x + 15 = 0
  3. x2 + 3x + 13 = 0
  4. x2 – 3x + 13 = 0
  5. x2 – 3x – 13 = 0

PEMBAHASAN :
per17
Jawaban : E

Soal No.16 (UN 2009)
Akar-akar persamaan x12 + x22 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya per18 adalah …
  1. 4x2 + 17x + 4 = 0
  2. 4x2 – 17 + 4 = 0
  3. 4x2 + 17x – 4 = 0
  4. 9x2 + 22x – 9 = 0
  5. 9x2 – 22x – 9 = 0

PEMBAHASAN :
per19
Jawaban : A

Soal No.17 (UN 2001)
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 6x – 12 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya per20 dan x1 x2 adalah..
  1. x2 + 9x – 18 = 0
  2. x2 – 21x – 18 = 0
  3. x2 + 21x + 36 = 0
  4. 2x2 + 21x – 36 = 0
  5. 2x2 + 21x – 18 = 0

PEMBAHASAN :
per21
Jawaban : D

Soal No.18 (UN 2013)
Salah satu nilai p yang menyebabkan persamaan kuadrat 2x2+(p+1)x+8=0 memiliki akar kembar adalah…
  1. -8
  2. -7
  3. 6
  4. 7
  5. 9

PEMBAHASAN :
Memiliki akar kembar berarti D = 0
b2 – 4ac = 0
(p + 1)2 – 4.2.8 = 0
p2 + 2p + 1 – 64 = 0
p2 + 2p – 63 = 0
(p+9)(p – 7) = 0
p = -9 atau p = 7
Jawaban : D

Soal No.19 (UN 2012)
Persamaan kuadrat  x2 + (m-2)x + 2m – 4 = 0 mempunyai akar-akar real, maka m yang memenuhi adalah..
  1. m ≤ 2 atau m ≥ 10
  2. m ≤ -10 atau m ≥ -2
  3. m < 2 atau m > 10
  4. 2 < m < 10
  5. -10 < m < -2

PEMBAHASAN :
per22
Jawaban : A

Soal No.20 (UN 2013)
Agar persamaan kuadrat 4x2 – (p-3)x + 1 = 0 mempunyai dua akar tidak nyata, maka nilai p yang memenuhi adalah …
  1. -1 < p <  7
  2. -7 < p < 1
  3. 1 < p <7
  4. p < -1 atau p > 7
  5. p < 1 atau p > 7

PEMBAHASAN :
Mempunyai dua akar tidak nyata berarti D<0
b2 – 4ac < 0
(-(p-3))2 – 4.4.1 < 0
p2 – 6p+ 9 – 16<0
p2 – 6p – 7 <0
(p-7)(p+1)<0
p = 7 atau p=-1
per23
Jawaban : A

Soal No.21 (UN 2003)
Persamaan kuadrat (k+2)x2 – (2k-1)x + k -1 = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah …
  1. 9/8
  2. 8/9
  3. 5/2
  4. 2/5
  5. 1/5

PEMBAHASAN :
per24
Jawaban : D

DOWNLOAD RANGKUMAN PERSAMAAN KUADRAT DALAM BENTUK PDF Klik Disini

 

KINI HADIR LAYANAN BERTANYA TUGAS & PR PREMIUM (FAST RESPOND!!)

CUKUP PAKAI FASILITAS SMS, WA atau BBM Dan PR Mu Terbantu Dengan Cepat

Hanya Rp. 5.000 (Lima Ribu Rupiah) Per soal yang ditanyakan.
Mata pelajaran yang bisa ditanyakan Kimia, Fisika, Biologi, Matematika. (Tingkat SMP & SMA).
Misal kamu mau nanya 3 soal berarti tinggal di kali Rp. 5 rb Jadi totalnya 15 rb
Dana bisa di transfer ke rekening BNI 0360871320 an Yudi Syarif H
Pertanyaan akan kami layani sesudah menunjukan bukti transfer lewat WA dengan no HP ada di bawah

Dijawab oleh guru yang sudah ahli di bidangnya
Layanan Bantuan PR/Tugas dari jam 14.00 s.d 21.30 WIB
(menghindari kecurangan saat ujian)

INFORMASI LEBIH LANJUT HUB : 089622667471 (SMS / WA)

ARTIKEL TERKAIT

Tinggalkan Balasan

Pesan kamu*

Komentar kamu akan ditinjau dulu sebelum ditampilkan

Name*
Email*
Url