Admin

Rangkuman Turunan

Turunan Pertama

Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah:

Jika f(x) = xn, maka f ’(x) = nxn-1, dengan n ∈ R
Jika f(x) = axn, maka f ’(x) = anxn-1, dengan a konstan dan n ∈ R
Rumus turunan fungsi aljabar:
Jika y = c maka y’= 0
Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v’
Jika y = u – v, maka y’ = u’ – v’
Jika y = k u, maka y’ = k u’
Jika y = u v, maka y’ = u’v + uv’
Jika y = \frac{u}{v}, maka y’ = \frac{u'v - uv'}{v^2}
Jika y = un, maka y’ = n un-1
Jika y = f(u), maka y’ = f ’(u).u’
Jika y = (g o h)(x) = g(h(x)), maka y’ = g’(h(x)).h’(x)
Jika y = In x, maka y ’= \frac{1}{x}

DOWNLOAD RANGKUMAN TURUNAN DALAM BENTUK PDF Klik Disini

Turunan Fungsi Trigonometri

  1. Jika y = sin x, maka y’= cos x
  2. Jika y = cos x, maka y’ = -sin x
  3. Jika y = tan x, maka y’= sec2x
  4. Jika y = cot x , maka y’= -cosec2x
  5. Jika y = sec x , maka y’ = sec x tan x
  6. Jika y = cosec x , maka y’ =-cosec x cot x

Persamaan Garis Singgung

Jika kurva y = f(x), maka gradien garis singgung kurva tersebut di x = a adalah:

Persamaan garis singgung dari kurva y = f(x) melalui (x1, y­1) adalah:
(y – y1) = m(x – x1) atau (y – y1) = f ‘(x1) (x – x1)

Fungsi Naik Turun

Fungsi dikatakan naik jika f’ (x) > 0
Fungsi dikatakan turun jika f’ (x) < 0

Stasioner

Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika f ’ (x) = 0
Jenis titik stasioner ada 3 yaitu:

  1. titik balik maksimum, jika f “(x) < 0
  2. titik balik minimum, jika f ”(x) > 0
  3. titik belok horizontal, jika f “(x) = 0

Turunan Kedua

Turunan kedua dari suatu fungsi y = f(x) adalah turunan dari turunan pertama dan diberi lambang:

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Soal No.1 (SBMPTN 2014 )
Diketahui f(0)=1 dan f’(0)=2. Jika g(x) = \frac{1}{(2f(x)-1)^3}, maka g’(0)=…
  1. -12
  2. -6
  3. 6
  4. 8
  5. 12

PEMBAHASAN :
g(x)= \frac{1}{(2f(x)-1)^3} =(2(f(x) – 1)-3
g'(x)=(-3)(2(f(x) – 1)-4.(2)(f ‘(x)) = (-6)(f ‘(x))(2(f(0)- 1)-4
g’ (0)=(-6)(f’ (0))(2(f(0) – 1)-4 = (-6)(2)(2(1) – 1)-4 = -12
Jawaban : A

Soal No.2 (UN 2007)
Turunan pertama dari f (x) = \sqrt[3]{sin^2 \;\; 3x} adalah f ’(x) =…
  1. \frac{2}{3}cos^{\frac{1}{3}}\;\;3x
  2. 2cos^{\frac{1}{3}}\;\;3x
  3. \frac{2}{3}cos^{\frac{1}{3}}\;\;3x \;\;sin\;\;3x
  4. -2cot\;\;3x\sqrt[3]{sin^2\;\;3x}
  5. 2cot\;\;3x\sqrt[3]{sin^2\;\;3x}

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.3 (SNMPTN 2011 IPA)
Diketahui
Pernyataan berikut semua benar, kecuali…
  1. f(0) = 1
  2. f’(-1) tidak ada
  3. f turun pada x > 0
  4. f(x) diskontinu di titik x =-1
  5. f(x) kontinu di titik x=5

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.4 (UN 2008)
Turunan pertama dari y = \frac {sin x}{sin x + cos x} adalah y’ =…

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.5 (SNMPTN 2012)
Grafik fungsi f(x)= ax3 – x2 + cx + 12 naik jika…
  1. b2 – 4ac < 0 dan a ˃ 0
  2. b2 – 4ac < 0 dan a ˂ 0
  3. b2 – 3ac > 0 dan a ˂ 0
  4. b2 – 3ac < 0 dan a˃ 0
  5. b2 – 3ac < 0 dan  a˂ 0

PEMBAHASAN :
Jika f(x) = ax3 – x2 + cx + 12, maka f’(x) = 3ax2 – 2bx + c
fungsi f(x) akan naik jika:
f’(x) > 0
3ax2 – 2bx + c > 0
Agar fungsi bernilai positif :

  • koefisien x2 > 0
    3a > 0
    a > 0
  • D < 0
    (-2b)2 – 4(3a)(c) < 0
    4b2 – 12ac < 0
    b2 – 3ac < 0

Jawaban : D

Soal No.6 (UN 2008)
Di ketahui f(x) = \frac {x^2 + 3}{2x + 1} . Jika f(x) menyatakan turunan pertama f(x) maka f(0) + 2 f ’(0) = …
  1. -10
  2. -9
  3. -7
  4. -5
  5. -3

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.7 (SNMPTN 2011)
Kolam berenang berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran seperti gambar berikut. keliling kolam renang sama dengan a satuan panjang. Agar luas luas kolam renang maksimum maka x =… satuan panjang.
  1. \frac {2a}{\pi}
  2. \frac {a}{\pi}
  3. \frac {a}{4+\pi}
  4. \frac {a}{4+2\pi}
  5. \frac {2a}{4+\pi}

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.8 (EBTANAS 1998)
Turunan pertama fungsi f(x) = e(3x+5) + In (2x+7) adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.9 (SBMPTN 2014 )
Jika m dan n bilangan real dan fungsi f(x) =mx3 + 2x2 – nx + 5 memenuhi f’(1) = f’(-5) = 0 , maka 3m-n =…
  1. -6
  2. -4
  3. -2
  4. 2
  5. 4

PEMBAHASAN :
Jika f(x) = mx3 + 2x2 – nx + 5 maka f ’(x) = 3mx2 + 4x – n
Diketahui
f(1) = 0
3m(1)2 + 4(1) – n = 0
3m – n = -4
Jawaban : B

Soal No.10 (UN 2003)
Fungsi f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 7 turun pada interval ….
  1. 1 < x < 3
  2. -1 < x < 3
  3. -3 < x < 1
  4. x < -3 atau x > 1
  5. x < -3 atau x > 3

PEMBAHASAN :
Jika f(x) = x3 – 3x2 – 9x – 7
maka f ‘(x) = 3x2 + 6x -9
Fungsi akan turun jika f ‘(x) < 0, maka:
3x2 + 6x -9 < 0
x2+ + 2x – 3 < 0
(x+3)(x-1) < 0

Maka fungsi f(x) turun saat -3 < x < 1
Jawaban : C

Soal No.11 (SNMPTN 2009)
Jika (a,b) adalah titik minimum grafik fungsi f(x) = 7 – \sqrt{(25 - x^2)} maka nilai a2 + b2 adalah …
  1. 4
  2. 5
  3. 8
  4. 10
  5. 13

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.12 (EBTANAS 2001)
Nilai minimum fungsi f(x) =  \frac{1}{3}x3 + x2 – 3x + 1 pada intrerval  0 ≤ x ≤ 3 adalah …..
  1. -1
  2. -\frac{2}{3}
  3. \frac{1}{2}
  4. \frac{2}{3}
  5. 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.13 (SIMAK UI 2009)
Diberikan grafik fungsi f(x)=x+\frac{4}{x^2},  x≠0 maka ….
  1. Fungsi naik pada himpunan {x ∈R|x ˂ 0 atau x ˃2}
  2. Fungsi turun pada himpunan {x ∈R|˂ 0 x ˃2}
  3. Terjadi minimum lokal di titik (2,3)
  4. Terjadi maksimum lokal di titik (0,0)

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.14 (UN 2014)
Diketahui fungsi g(x)= \frac{1}{3}x3 – A2x + 7, A konstanta. Jika f(x)= g(2x + 1) dan f turun pada -\frac{3}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2} , nilai minimum relatif g adalah …
  1. \frac{4}{3}
  2. \frac{5}{3}
  3. 2
  4. \frac{7}{3}
  5. \frac{8}{3}

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.15 (SIMAK UI 2009)
Diketahui \sqrt {\left (\frac{1}{8} \right )^{x+1}}= 2y-3  maka nilai maksimum dari 3xy + 6x –3 adalah ….
  1. 0
  2. \frac{15}{8}
  3. \frac{21}{6}
  4. \frac{25}{8}
  5. 5

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.16 (UN 2013)
Diketahui dua bilangan bulat p dan q yang memenuhi hubungan q – 2p = 50. Nilai minimum dari p2 + q2 adalah …
  1. 100
  2. 250
  3. 500
  4. 1250
  5. 5000

PEMBAHASAN :
Diketahui:
q – 2p = 50
q = 50 + 2p
Jika dimisalkan, x = p2 + q2
x = p2 + (50+2p)2  = p2+ 2500 + 200p + 4p2  = 5p2 + 200p+ 2500
Menentukan nilai minimum
x’ = 0
10p + 200 = 0
p= -20
q = 50 + 2(-20) = 10
Maka, p2 + q2 = (-20)2 + (10)2 = 500
Jawaban : C

Soal No.17 (UM UGM 2013)
Jika kurva y = (x2-a) (2x+b)3 turun pada interval -1 < x < \frac{2}{5} maka nilai ab =…
  1. -3
  2. -2
  3. 1
  4. 2
  5. 3

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.18 (UN 2009)
Garis l menyinggung kurva y = 3\sqrt{x}  di titik yang berabsis 4. Titik potong garis l dengan sumbu x adalah …
  1. (-12,0)
  2. (-4,0)
  3. (4,0)
  4. (6,0)
  5. (12,0)

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.19 (SBMPTN 2013)
Diketahui f(x) = \frac{2}{3} x3\frac{1}{2} x2-3x+\frac{1}{6}. Jika g(x) = f(2x-1) maka g turun pada selang…
  1. -\frac{5}{4} ≤ x ≤ 1
  2. -1 ≤ x ≤ \frac{5}{4}
  3. -1 ≤ x ≤ 1
  4. -1 ≤ x ≤ 0
  5. 0 ≤ x ≤ 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.20 (UN 2011)
Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar (9.000 + 1.000x + 10x2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan terjual habis dengan harga Rp5.000 untuk satu produknya maka laba maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah …
  1. Rp. 149.000,00
  2. Rp. 249.000,00
  3. Rp. 391.000,00
  4. Rp. 609.000,00
  5. Rp. 757.000,00

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Jumlah produk = x produk
Biaya B(x) =(9.000 +1.000 +10x2)
Harga jual H(x)= 5.000x
Fungsi laba :
L(x)=H(x) – B(x)
L(x) = 5.000x – (9.000 +1.000 +10x2) = -10x2 + 4.000x – 9000
Menentukan laba maksimum
L ̍(x) = 0
-20x + 4000 = 0
x = 200
L(200)  = -10(200)2 + 4000 (200) – 9000 = 391.000
Jawaban : C

Soal No.21 (UM UGM 2010)
Diketahui f(x) = g(x – \sqrt{6x - 2}) Jika f ’(3) = 6 maka g’(-1)=…
  1. 12
  2. 16
  3. 20
  4. 24
  5. 28

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.22 (UN 2009)
Sebuah bak air tanpa tutup berbentuk tabung. Jumlah luas selimut dan alas bak air adalah 28  m2. Volume akan maksimum jika jari-jari alas sama dengan …
  1. \frac{1}{3}\sqrt{7} m
  2. \frac{2}{3}\sqrt{7} m
  3. \frac{4}{3}\sqrt{7} m
  4. \frac{2}{3}\sqrt{21} m
  5. \frac{4}{3}\sqrt{21} m

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.23 (UN 2007)
Perhatikan gambar!
Luas daerah yang diarsir pada gambar, akan mencapai maksimum jika koordinat titik B adalah….
  1. \left ( 2\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2} \right )
  2. \left ( 2\frac{1}{2}, 2\right )
  3. \left ( 3, 1\frac{1}{2}\right )
  4. (3,2)
  5. \left ( 3, 2\frac{1}{2}\right )

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.24 (UN 2008)
Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi, mempunyai volume 4 m3 terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin maka ukuran panjang, lebar, dan tinggi kotak berturut-turut adalah….
  1. 2 m, 1 m, 2 m
  2. 2 m, 2m, 1 m
  3. 1 m, 2 m, 2 m
  4. 4 m, 1 m, 1 m
  5. 1 m, 1 m, 4 m

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.25 (UN 2003)
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Jika tinggi h meter setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = – t3 +  \frac{5}{2}t2 + 2t + 10 maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah….
  1. 26
  2. 18
  3. 16
  4. 14
  5. 12

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.26 (UN 2013)
Sebuah kotak tanpa tutup tampak seperti pada gambar mempunyai volume 108 cm3. Agar luas permukaan kotak maksimum maka nilai x adalah….
  1. 3 cm
  2. 4 cm
  3. 6 cm
  4. 9 cm
  5. 12 cm

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

DOWNLOAD RANGKUMAN TURUNAN DALAM BENTUK PDF Klik Disini

ARTIKEL TERKAIT