Rangkuman Materi Bilangan Bulat Dan Pecahan Kelas 7 SMP

Bilangan Bulat

Terdiri dari bilangan negatif, bilangan nol (0) dan bilangan bulat positif. Jika dituliskan sebagai berikut

Jika dituliskan dalam bentuk garis bilangan, sebagai berikut:

Operasi Bilangan Bulat

Penjumlahan

Sifat Operasi Bilangan Bulat

• Komutatif (pertukaran)

  Jika m dan n ∈ himpunan bilangan bulat, maka berlaku:

  m + n = n + m

  Contoh:

  2 + 3 = 3 + 2 = 5

• Asosiatif (pengelompokan)

  Jika m dan n ∈ himpunan bilangan bulat, maka berlaku

  (m + n) + o = m + ( n + o)

  Contoh:

  (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

• Unsur identitas, jika m ∈ himpunan bilangan bulat, maka berlaku:

  m + 0 = m

  0 merupakan unsur identitas pada penjumlahan

• Memiliki invers atau lawan, jika m ∈ himpunan bilangan bulat, maka -m disebut invers atau lawan dari m, maka berlaku:

  m + (-m) = (-m) + m = 0

  Contoh:

  4 + (-4) = (-4) + 4 = 0

• Tertutup, jika m dan n ∈ himpunan bilangan bulat, maka berlaku

  m + n ∈ himpunan bilangan bulat

Pengurangan

Pada pengurangan bilangan bulat secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut:

m – n = m+ (-n)

contohnya:

14 – 34 = -20

-12 – 32 = -44

Perkalian

Sifat-sifat operasi hitung perkalian sebagai berikut:

1. Sifat tertutup

   Apabila m dan n merupakan anggota himpunan bilangan bulat, maka m x n merupakan anggota himpunan bilangan bulat.

2. Sifat komutatif (pertukaran)

   Apabila m dan n merupakan anggota himpunan bilangan bulat, maka m x n = n x m.

3. Sifat asosiatif (pengelompokkan)

   Apabila m dan n merupakan anggota himpunan bilangan bulat, maka (m x n) x o = m x (n x o).

4. Sifat distributif (penyebaran)

   Berlaku sebagai berikut:

   m x (n + o) =(m x n) + (m x o)

   m x (n – o) = (m x n) – (m x o)

5. Elemen/unsur identitas

   Apabila m anggota himpunan bilangan bulat, maka m x 1 = m, 1 adalah unsur identitas.

Ketentuan pada perkalian bilangan bulat adalah:

• m x n = bilangan bulat positif
• m x (-n) = bilangan bulat negatif
• (-m) x n = bilangan bulat negatif
• (-m) x (-n) = bilangan bulat positif

Contohnya:

4 x (- 6) = – 24

(- 6) x (-7) = 42

Pembagian

Pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Ketentuan pada operasi perkalian berlaku juga untuk operasi pembagian. Dengan catatan jika m merupakan anggota himpunan bilangan bulat, maka m : 0 = tidak terdefinisi dan 0 : m = 0.

Jika m, n, dan o adalah bilangan bulat, dengan n merupakan faktor m, dan n ≠ 0 maka berlaku:

m : n = o → m = n x o

contohnya:

50 : (- 2) = – 25

(- 80) : (- 16) = 5

Konsep Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat

Pada operasi hitung campuran bilangan bulat ada sifat-sifat yang harus dipenuhi, yaitu:

1. Tanda operasi hitung dan tanda kurung harus diperhatikan dengan seksama.
2. Pengerjaan bilangan yang ada dalam tanda kurung harus didahulukan/ diprioritaskan.

Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, maka cara pengerjaannya sebagai berikut:

• Operasi hitung penjumlahan dan pengurangan sama-sama kuat sehingga pengerjaan yang sebelah kiri harus didahulukan.
• Operasi hitung perkalian dan pembagian sama-sama kuat sehingga pengerjaan yang sebelah kiri harus didahulukan.
• Operasi hitung perkalian dan pembagian sifatnya lebih kuat daripada penjumlahan dan pengurangan sehingga perkalian dan pembagian harus dikerjakan lebih dahulu daripada penjumlahan dan pengurangan.

Contohnya:

1. 9 x 42 : 6 – 23

   Penyelesaian:

   9 x 42 : 6 – 23 = 9 x (42 : 6) – 23

   = 9 x 7 – 23

   = 40

2. 450 : 9 – 10 + 4 x 6

   Penyelesaian:

   450 : 9 – 10 + 4 x 6 = (450 : 9) – 10 + (4 x 6)

   = 50 – 10 +24

   = 64

KPK dan FPB

KPK (kelipatan persekutuan terkecil)

Cara menentukan nilai KPK dari suatu bilangan adalah:

• Uraikan faktor pembentuk bilangan dari bilangan yang kita cari
• Pilih bilangan yang terkecil tapi bukan nol dari anggota himpunan kelipatan persekutuan
• Kemudian kalikan faktor-faktor prima yang berbeda dengan pangkat terbesar

Contohnya:

Tentukan KPK dari 8 dan 6

Penyelesaian cara I:

Bilangan dari kelipatan 8 : 0, 8, 16, 24, 32, 40, …

Bilangan dari kelipatan 6 : 0, 6, 12, 18, 24, 30, …

KPK dari 8 dan 6 adalah 24

Penyelesaian cara II:

Faktorisasi prima dari 8 = 2³

Faktorisasi prima dari 6 = 2¹ x 3

Diperoleh 2³  x 3 = 24

Maka, KPK dari 8 dan 6 adalah 24

FPB (faktor persekutuan terbesar)

Untuk menentukan FPB dari suatu bilangan dapat diperoleh dengan cara:

• Tentukan anggota bilangan himpunan faktor-faktor yang terbesar
• Kalikan faktor-faktor prima yang bernilai sama dengan pangkat terkecil

Contohnya:

Tentukan FPB dari 24 dan 36

Penyelesaian cara I:

Himpunan faktor-faktor dari 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Himpunan faktor-faktor dari 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Maka FPB dari 24 dan 36 adalah 12

Penyelesaian cara II:

Faktorisasi prima dari 24 = 2³ x 3

Faktorisasi prima dari 36 = 2² x 3²

Diperoleh 2² x 3 = 12

Maka, FPB dari 24 dan 36 adalah 12

Pecahan

Bentuk pecahan adalah   dengan n ≠ 0

m = pembilang

n = penyebut

m dan n adalah ∈ himpunan bilangan bulat

Macam-macam pecahan

Persen

Contoh:

Pecahan sederhana

Contoh:

Maka bentuk paling sederhana dari pecahan  adalah

Pecahan senilai

Contoh:

Maka pecahan  senilai dengan pecahan

Pecahan decimal

Contoh:

Maka bentuk desimal dari  adalah 0,12

Pecahan campuran

Bentuk dari pecahan campuran dapat ditulis sebagai berikut:

, o ≠ 0

Contoh:

Operasi Hitung pada Pecahan

Perkalian pecahan

Sifat-sifat perkalian pecahan, yaitu:

• Komutatif

  

  Dengan b ≠ 0 dan d ≠ 0

• Asosiatif

  

  Dengan b, d, dan f ≠ 0

• Distributif

  

  Dengan b, d, dan f ≠ 0

Pembagian pecahan

Catatan:

• a < b maka,
• a > b maka,
• 0 < a < b < c maka

Contoh:

Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan dapat langsung dilakukan jika penyebutnya bernilai sama (mencari KPK). Sifat-sifat untuk melakukan operasi hitung sebagai berikut:

• Komutatif

  Berlaku:

  

  b dan d ≠ 0

• Asosiatif

  Berlaku:

  

  b, d, dan f ≠ 0

  Contoh:

  • 
  • 

Contoh Soal & Pembahasan Bilangan Bulat & Pecahan Kelas 7 SMP

1. -2
2. -1
3. 0
4. 1

PEMBAHASAN :
-25 – (- 24) = -25 + 24 = 24 – 25 = -1
Maka -25 – (- 24) = -1
Jawaban B

Jika diketahui x = -4, y = 5, dan z = -8 maka nilai dari  adalah….

PEMBAHASAN :

Jawaban A

PEMBAHASAN :
525 : (-5) + 6 – 8 x 15
⇒ [525 : (-5)] + 6 – [8 x 15] ⇒ -105 + 6 – 120 = -219
Jawaban C

Soal No.4 (UAN 2011)
Urutan pecahan terkecil ke pecahan terbesar dari 0,45; 0,85; ; dan 78% adalah….

PEMBAHASAN :
Ubah bentuk pecahan menjadi desimal, sehingga :


0,45; 0,85; ; dan 78% = 0,45 ; 0,85; 0,875; 0,78
maka jika diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar
0,45; 0,78; 0,85; 0,875   atau
0,45; 78%; 0,85;
Jawaban B

PEMBAHASAN :
Menentukan sisa uang Andi pada hari ke-11
Sisa Uang Andi = (Uang awal) – (Uang yang di belanjakan tiap hari x jumlah hari)
= (Rp. 450.000) – (Rp. 30.000 x 11 hari)
=Rp. 450.000 – Rp. 330.000
= Rp. 120.000
Maka sisa uang Andi setelah 11 hari adalah Rp. 120.000
Jawaban C

Hasil dari adalah…

PEMBAHASAN :
Perkalian dan pembagian dalam pecahan memiliki kedudukan yang sama kuat, sehingga pengoperasiannya dapat dimulai dari kiri ke kanan


Jawaban D

PEMBAHASAN :
Jumlah murid dalam satu kelas = 25 + 15 = 40 orang
Maka persentase jumlah murid perempuan di dalam satu kelas adalah:

Jawaban A

PEMBAHASAN :
8 x (4x – 2) = 48
maka 4x – 2 = 6, karena 8 x 6 = 48
Sehingga:
4x – 2 = 6
4x = 6 + 2 = 8
x = 2
Invers dari 2 adalah -2
Jawaban C

PEMBAHASAN :
Faktorisasi prima dari 72 adalah 3² x 8
Faktorisasi prima dari 64 adalah 2³ x 8
Faktorisasi prima dari 48 adalah 2 x 3 x 8

Maka FPB dari 72, 64 dan 48 adalah 8
Jawaban B

1. 55
2. 60
3. 65
4. 70

PEMBAHASAN :
Jumlah Soal = 35 soal
Soal yang dijawab = 20 soal
Soal yang tidak diisi = 15 soal
Jawaban benar = 20 – 5 = 15
Jawaban salah = 5
Maka nilai siswa tersebut adalah
nilai = (jawaban benar x 4) + (jawaban salah x 5)  = (15 x 4) + (5 x (-1)) = 60 – 5 = 55
Jawaban A

1. 0
2. – 5
3. – 10
4. 3

PEMBAHASAN :
Perhatikan garis bilangan di bawah ini!

Pada garis bilangan berlaku semakin ke kanan, nilai bilangan semakin besar sedangkan semakin ke kiri, nilai bilangan semakin kecil.
Maka nilai yang paling rendah adalah – 10
Jawaban C

PEMBAHASAN :
-15 – 10 = -25
Jawaban B

PEMBAHASAN :
Menghitung perubahan suhu pada permukaan laut:

Maka suhu pada ketinggian 3.200 m di atas permukaan laut:
38⁰ C –  8⁰ C = 30⁰ C
Jawaban A

PEMBAHASAN :
16 x ( – 5) x 12 = – 80 x 12 = – 960
Jawaban D

Nilai x yang memenuhi  adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban B

1. 6
2. –8
3. 4
4. -2

PEMBAHASAN :
256 : 8 : ( – 4) = 32 : (- 4) = – 8
Jawaban B

Hasil perhitungan dari  adalah …

PEMBAHASAN :
Pada soal di atas berlaku sifat distributif yaitu: (a x b) – (a x c) = a x (b – c), maka:

Jawaban D

PEMBAHASAN :

Maka operasi hitung yang tepat yaitu: – 5 – 3 = – 8
Jawaban A

PEMBAHASAN :
Jadwal 24 hari sekali → 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3
Jadwal 12 hari sekali → 12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3
Jadwal 8 hari sekali → 2 x 2 x 2 = 2³
KPK 24, 12, dan 8 = 2³ x 3 = 24
Maka tanggal distribusi yang sama adalah 1 Agustus 2020 + 24 hari = 25 Agustus 2020
Jawaban C

1. 225
2. 525
3. 625
4. 325

PEMBAHASAN :
Faktorisasi prima → 35 = 5 x 7
Faktorisasi prima → 25 = 5 x 5 = 5²
Faktorisasi prima → 15 = 5 x 3
Kpk dari 35, 25, dan 15 = 5² x 7 x 3 = 525
Jawaban B

1. 4
2. 5
3. 6
4. 7

PEMBAHASAN :
84 buku IPA, faktorisasi prima dari 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 2² x 3 x 7
144 buku matematika, faktorisasi prima dari 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2⁴ x 3²
54 buku IPS, faktorisasi prima dari 54 = 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 3³
Untuk menghitung jumlah pembagian buku yang sama dapat diketahui dengan menentukan FPB dari 84, 144, dan  54  adalah 2 x 3 = 6
Jawaban C

PEMBAHASAN :

Faktorisasi prima dari 216 = 2 x 2 x 2  x 3 x 3 x 3 = 2³ x 3³
Jawaban A

PEMBAHASAN :
Menentukan luas daerah yang diarsir sebagai berikut:
Jumlah kotak pada gambar = 12 kotak
Jumlah kotak yang diarsir = 5 kotak
Maka luas daerah yang diarsir =
Jawaban D

Pecahan yang senilai dengan adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban D

Pecahan yang paling sederhana dari   adalah …

PEMBAHASAN :
Menentukan bentuk paling sederhana dari pecahan, sebagai berikut:

Jawaban B

Pecahan yang disisipkan antara  dan  adalah …

PEMBAHASAN :
Menentukan pecahan yang disisipkan antara dua pecahan adalah  sebagai berikut:

• Menyamakan penyebut pada pecahan-pecahan tersebut
• Hitung KPK dari 12 dan 30, sebagai berikut:
  Faktorisasi prima dari 12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3
  Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5
  Maka KPK = 2² x 3 x 5 = 60
• Mengubah penyebut pecahan menjadi 60, sebagai berikut:

Pecahan yang terletak diantara adalah

Jawaban A

Pada pecahan tanda yang benar untuk melengkapi jawaban tersebut adalah …

PEMBAHASAN :
Untuk memberikan tanda yang benar, samakan penyebut dari kedua pecahan tersebut:

Maka tanda yang benar adalah 21 > 5 atau
Jawaban A

Pecahan berikut ini urutkan dari yang terbesar yaitu …

PEMBAHASAN :
Untuk mengurutkan beberapa pecahan, samakan penyebutnya dengan menghitung KPK dari 3, 4, 6, 5, 2 sebagai berikut:
Faktorisasi prima dari 3 = 3
Faktorisasi prima dari 4 = 2²
Faktorisasi prima dari 6 = 2 x 3
Faktorisasi prima dari 5 = 5
Faktorisasi prima dari 2 = 2
KPK nya = 2² x 3 x 5 = 60

Sehingga diperoleh pecahan yaitu:

Maka urutan dari yang terbesar menjadi 50, 48, 45, 30, 20 atau
Jawaban B

Bentuk persen dari pecahan biasa  adalah … %.

PEMBAHASAN :
Mengubah pecahan biasa menjadi persen, sebagai berikut:

Jawaban A

Bentuk pecahan biasa dari pecahan campuran  adalah …

PEMBAHASAN :
Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa sebagai berikut:

Jawaban D