Rangkuman Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Misalkan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0, maka persamaan yang terbentuk

ax² + bx + c = 0

dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x

Akar-akar persamaan kuadrat

Menentukan Akar-akar persamaan kuadrat ada beberapa cara diantaranya :

1. Memfaktorkan
   Contoh:
   x² – 6x + 9 = 0
   (x-3) (x-3) = 0
   x – 3 = 0 atau x – 3 = 0
   x = 3

2. Melengkapkan kuadrat sempurna
   Contoh :
   x² – 2 x – 2 = 0
   (x² – 2x + 1) + (-1) – 2 = 0
   (x-1)² – 3 = 0
   (x-1)² = 3
   (x-1) = ± √3
   x-1 = √3 atau x -1 = – √3
   x = 1 + √3 atau x = 1 – √3

3. Menggunakan rumus kuadrat
   
   Contoh:
   x² – 6x + 8 = 0
   a = 1, b = -6, dan c = 8
   
   Jadi, akar-akarnya adalah x₁ = 2 atau x₂ = 4
4. menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax² + bx +c

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai diskriminan (D = b² – 4ac) yang membedakan jenis akar-akar persamaan kuadrat menjadi 3, yaitu:

1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan
   1. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional
   2. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional
2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional.
3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner)
4. Bentuk perluasan untuk akar – akar real:
   1. Kedua akar berkebalikan
      • D ≥ 0
      • x₁.x₂ = 1
   2. Kedua akar berlawanan (x₁ = -x₂)
      • D > 0
      • x₁ + x₂ = 0
      • x₁.x₂ < 0
   3. Kedua akar positif (x₁ > 0 ∧ x₂ > 0)
      • D ≥ 0
      • x₁ + x₂ > 0
      • x₁.x₂ > 0
   4. kedua akar negatif (x₁ < 0 ∧ x₂ < 0)
      • D ≥ 0
      • x₁ + x₂ < 0
      • x₁.x₂ > 0
   5. akar yang berlainan tanda
      • D> 0
      • x₁.x₂ < 0
   6. kedua akar lebih besar dari bilangan konstan p (x₁ > p ∧ x₂ > p)
      • D ≥ 0
      • (x₁ – p) + (x₂ – p) > 0
      • (x₁ – p)_.(x₂ – p) > 0
   7. kedua akar lebih kecil dari bilangan konstan q (x₁ < q ∧ x₂ < q)
      • D ≥ 0
      • ( x₁ – q ) + ( x₂ – q ) < 0
      • ( x₁ – q ) ( x₂ – q ) > 0

Sifat Akar

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan D>0, maka berlaku:

1. 
2. 
3. 
4. Rumus menentukan jumlah dan hasil akar-akar persamaan kuadrat.
   1. Jumlah Kuadrat
      x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2(x₁.x₂)
   2. Selisih Kuadrat
      x₁² – x₂² = (x₁ + x₂) (x₁ – x₂)
   3. Kuadrat Selisih
      (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁.x₂
   4. Jumlah Pangkat Tiga
      x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3(x₁.x₂) – (x₁ + x₂)
   5. Selisih Pangkat Tiga
      x₁³ – x₂³ = (x₁ + x₂)³ + 3(x₁.x₂) – (x₁ + x₂)

Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya

1. Memakai faktor
   (x – x₁)(x – x₂) = 0
2. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
   x² – ( x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

1. 10
2. 9
3. 7
4. 6
5. 4

PEMBAHASAN :
a merupakan akar-akar persamaan maka :
a² + a – 3 =0
a² = 3-a
2a² = 6-2a
b juga merupakan akar-akar persamaan maka :
b² + b – 3 = 0
b² = 3-b
Sehingga 2a² + b² + a
= (6-2a)+(3-b)+a
=9-(ɑ+b)
=9-(-1) = 10
Jawaban : A

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

1. 8
2. 7
3. 6
4. -7
5. -8

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

1. c + 3b
2. c – b + 4a
3. c – b
4. c – b + 8a
5. c + 3b + 8a

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

1. -3
2. – 1/3
3. 1/3
4. 3
5. 6

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Persamaan kuadrat 2x²-px+1 = 0 dengan p > 0, mempunyai akar-akar. Jika x²-5x+q =0 mempunyai akar-akar Maka q – p =……..

1. -2
2. -½
3. ½
4. 1
5. 2

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

1. 6
2. -2
3. -4
4. -6
5. -8

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

PEMBAHASAN :
x² – ( a + 1 ) x + (-a- 5/2 )= 0
p² + q² = ( p + q )² – 2pq
(a + 1)² – 2. (-a – 5/2)
a² + 2a + 1 + 2a + 5
a² + 4a + 6
Syarat minimum f’( x )= 0
2a + 4 = 0
a = -2
Maka , nilai minimum p² + q² adalah
(-2)² + 4 ( -2) + 6 = 2
Jawaban : B

1. -4
2. -2
3. 2
4. 4
5. 8

PEMBAHASAN :
x²+ 4px +4=0
x₁ + x₂= -4p
x_1.x₂ = 4
x₁ x₂² +x₁² x₂ = 32
x₁ .x₂ (x₁ + x₂) =32
4 (-4p) = 32
p = -2
Jawaban : B

Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar a dan b sehingga adalah …

1. x²-10x+7 =0
2. x²+7x+10=0
3. x²+7x-10=0
4. x²-7x+10=0
5. x²-7x-10=0