Rangkuman Pertidaksamaan

Pengertian

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan > (lebih dari), < (kurang dari), ≥(lebih dari atau sama dengan), dan ≤ (kurang dari atau sama dengan)

Sifat-sifat Pertidaksamaan

1. Jika a dan b bilangan real maka berlaku a > b atau a = b atau a < b
2. Jika a > b dan b > c maka a > c
3. Jika a > b maka a + c
4. Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc dan > 
5. Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc dan < 
6. Jika m genap dan a > b maka:
   • a^m > b^m ,untuk a > 0 dan b > 0
   • a^m < b^m ,untuk a < 0 dan b < 0
7. Jika n ganjil dan a > b maka aⁿ > bⁿ
8. Jika a > b maka:
   • > untuk a dan b bertanda sama
   • <  untuk a dan b berbeda tanda

Interval Bilangan

yaitu penyelesaian dari suatu pertidaksamaan

Definit

Jenis Definit

1. Definit Positif
   Bentuk ax² + bx + c = 0 dikatakan definit positif jika a > 0 dan D < 0, Jika pertidakasamaan ax² + bx + c > 0 dalam kondisi definit positif, maka penyelesaiannya adalah semua x Î R.
2. Definit Negatif
   Bentuk ax² + bx + c = 0 dikatakan definit negatif jika a < 0 dan D < 0, Jika pertidakasamaan ax² + bx + c < 0 dalam kondisi definit negatif, maka penyelesaiannya adalah semua x Î R.

Sifat Definit

1. Untuk f(x) definit positif dan g(x) sembarang
   • f(x)g(x) > 0 → g(x) > 0
   • f(x)g(x) < 0 → g(x) < 0
   •  > 0 → g(x) > 0
   • < 0 → g(x) < 0
2. Untuk f(x) definit negatif dan g(x) sembarang
   • f(x)g(x) > 0 → g(x) < 0
   • f(x)g(x) < 0 → g(x) > 0
   •  > 0 → g(x) < 0
   •  < 0 → g(x) > 0

Jenis Pertidaksamaan

1. Pertidaksamaan linear
   ax + b < 0
   ax + b > 0
   ax + b ≤ 0
   ax + b ≥ 0
   Penyelesaian :
   Pisahkan variabel x diruas tersendiri terpisah dari konstanta.
2. Pertidaksamaan Kuadrat
   ax² + bx + c < 0
   ax² + bx + c > 0
   ax² + bx + c ≤ 0
   ax² + bx + c ≥ 0
   Penyelesaian :
   1. Jadikan ruas kanan = 0
   2. Faktorkan ruas kiri.
   3. Tetapkan nilai-nilai nolnya.
   4. Tentukan daerah penyelesaian!
      • Jika yang ditanya > 0 atau maka daerah penyelesaiannya adalah daerah (+)
      • Jika yang ditanya < 0 atau maka daerah penyelesaiannya adalah daerah (-)
3. Pertidaksamaan Harga Mutlak
   1. |f(x)| < a dan a > 0 menjadi bentuk –a < f(x) < a
   2. |f(x)| > a dan a > 0 menjadi bentuk f(x) < -a atau f(x) > a
   3. |f(x)| > |g(x)| menjadi bentuk (f(x)+g(x))(f(x) – g(x)) > 0
   4. a < |f(x)| < b dengan a dan b positif menjadi bentuk a < f(x) < b atau –b < f(x) < -a
   5. bentuk < c dengan c > 0 menjadi bentuk
      |a| < c|b|
      |a| < |cb|
      (a + cb) (a – cb) < 0

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Soal No.1 (UTBK 2019)
Himpunan penyelesaian dari |x – 1| < adalah interval (a,b). Nilai 3a + 2b adalah….

1. 0
2. 2
3. 4
4. 6
5. 12

PEMBAHASAN :

• Untuk x ≥ 1:
  x -1 <             …………..kali dengan x
  ⇒ x² – x < 6
  ⇒ x² – x – 6 < 0
  ⇒ (x+2) (x – 3) < 0
  
  1 ≤ x < 3
• untuk x < 1 :
  ⇒ -(x – 1) <
  ⇒ -x + 1 – < 0      ……………….kalikan -1
  ⇒ x – 1 + > 0
  
  
  0 < x < 1

∴ Gabungannya 1 ≤ x ≤ 3 ∪ 0 < x < 1
⇒ 0 < x < 3
⇒ (0,3) ≡ (a,b)
⇒ a = 0, b = 3
∴ 3a + 2b = 3.0 + 2.3 = 6
Jawaban D

Soal No.2 (SBMPTN 2018)

Himpunan semua bilangan real x pada selang [0, 2π] yang memenuhi 2 – 2cos2x ≤ sin x berbentuk [a,b] ∪ [c,d]. Nilai a+b+c+d adalah….

1. π
2. 2π
3. 3π
4. 4π
5. 5π

PEMBAHASAN :

• 2 – 2.cos²x ≤ √3. sin x
  ⇒ 2(1-cos²x) – √3.sinx ≤ 0⇒ 2.sin²x – √3.sinx ≤ 0⇒ sin x (sinx – ½ √3) ≤ 0

• Batas nilai x pada x ∈ [0 , 2p] :
  sin x = 0                        sin x = ½ √3x = 0 atau x = π           x = π/3 atau x = 2π/3

• Cek Garis Bilangan
  
  nilai yang memenuhi
  0 ≤ x ≤ π/3 ∪ π ≤ x ≤ 2π/3
  ⇒ [0,π/3] ∪ [π, 2π/3] ≡ [a,b] ∴ a + b + c + d = 0 + π/3 + π + 2π/3 = 2π

Jawaban B

1. x > 1
2. -2 < x < 1
3. x < -2
4. x > -2

PEMBAHASAN :
x² + x – 2 > 0
(x + 2)(x – 1) > 0
x = -2 V x = 1

Dapat dipenuhi jika x < -2 atau x > 1
( 1 dan 3 benar)
Jawaban : B

1. {x| -6 < x < 1}
2. {x| -3 < x < 2}
3. {x|x < -1 atau x > 6}
4. {x|x < -6 atau x > 6}
5. {x|x < 2 atau x>3}

PEMBAHASAN :
x² – 5x – 6 > 0
(x – 6)(x + 1) > 0
x = 6 V x = -1

HP : {x|x < -1 atau x > 6}
Jawaban : C

Semua nilai x yang memenuhi ≥ adalah…

1. -2 < x < 0
2. x < -2 atau x > 0
3. 0 < x ≤ 2
4. x < 0 atau x > 2
5. x < 0 atau x ≥ 2

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

1. {x| -5 ≤ x < – 3}
2. {x] 3 ≤ x < 5}
3. {x|x < -5 atau x ≥ -3}
4. {x| x < -3 atau x ≥ 5}
5. {x| x < -3 atau x > -5}

PEMBAHASAN :
x² – 8x + 15 ≤ 0
(x – 5)(x – 3) ≤ 0
x = 5 V x = 3

HP : {x|3 ≤ x ≤ 5}
Jawaban : B

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

1. {x| x > 2 atau x < -3/4
2. {x| x > 2 atau x < -4/3}
3. {x| -4/3 ≤ x < 2}
4. {x| -3/4 ≤ x < 2}
5. {x| x > -4/3 atau x < -2}

PEMBAHASAN :
3x² – 2x – 8 > 0
(3x + 4)(x – 2) > 0
x = -4/3 V x = 2

HP : {x| x > 2 atau x < -4/3}
Jawaban : B

1. 1 ≤ x ≤ 3
2. x ≤ -2 atau x ≥ 1
3. 3 ≤ x ≤ -1
4. -2 ≥ x atau x ≥ 3
5. -1 ≥ x atau x ≥ 3

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ≥ 0 adalah….

PEMBAHASAN :

Jawaban : E