Rangkuman Materi Vektor Kelas X/10
Pengertian
Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. Contoh : vektor memiliki titik pangkal P dan titik ujung Q. Sedangkan panjang vektor dilambangkan dengan . Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil misalkan , , . Misalkan pada gambar dibawah ini:
Maka vektor dapat ditulis . Pada diagram cartesius jika dimisalkan titik A (a1, a2) dan titik B (b1, b2)
Operasi Aljabar Pada Vektor
Penjumlahan dan Pengurangan vektor
Secara geometri penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut
- Cara segitiga
titik pangkal vektor berimpit ruas dengan titik ujung vektor . Jumlah vektor dan didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor ke titik ujung vektor . Ruas garis ini diwakili oleh vektor . Sehingga .
- Aturan jajar genjang
Titik pangkal vektor dan harus berimpit.
Jika vektor dan di R2
Jika menggunakan pasangan terurut
+ = (a1 + b1, a2 + b2)
– = (a1 – b1, a2 – b2)
Perkalian Vektor
- Perkalian skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor = a1 i + a2 j + a3 k maka vektor k = (ka1, ka2, ka3). - Perkalian skalar dua vektor
Jika vektor = a1 i + a2 j + a3 k dan vektor = b1 i + b2 j + b3 k maka . = a1 b1 + a2b2 + a3b3 - Perkalian skalar dua vektor jika membentuk sudut
Jika dan vektor tak nol dan sudut α diantara vektor dan . Maka perkalian skalar vektor dan adalah . = ||.|| cos α
Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor
Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain
Saling Tegak Lurus
Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor maka . = 0
Sejajar
Jika vektor sejajar dengan vektor kalau = β dengan syarat β ≠ 0
Jika β > 0 dua vektor tersebut searah
Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah
Sudut Dua Vektor
Jika vector (a1, a2, a3) dan vektor (b1, b2, b3) sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor terbut adalah
Proyeksi vektor
- Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah
- Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor
Perbandingan vektor
Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:
Contoh Soal & Pembahasan Vektor Kelas X/10
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
PEMBAHASAN :
Diketahui:
|a| =
a.b =
sin α =
menentukan |b| dari rumusan cosinus
|b| =
maka, b.b = |b|2 = ()2 = 7
Jawaban : C
- u.v = | w |
- | u-w | = | v |
- u – v tegak lurus w
- u + v tegak lurus w
PEMBAHASAN :
Diketahui:
| v – w | = | u – w |
Kedua sisi di akarkan
v.v + w.w – 2v.w = u.u + w.w – 2 u.w
|v|2 + |w|2 – 2v.w = |u|2 + |w|2 – 2u.w
Dari soal diketahui | u | = | v | maka
v.w = u.w
u.w – v.w = 0
(u.w).w = 0
Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w
Jawaban : D
- | u + v | = | u – v |
- | v | = | x |
- u.u = v.v, v = -x
- u.u = v.v , v = x
- u.v = v.v
PEMBAHASAN :
Diketahui
u + v tegak lurus u – x, maka:
(u + v ) . ( u – x ) = 0
u.u –u .x +u.v – v.x = 0
Jika v = x maka
u.u – u.v + u.v – v.v = 0
u.u – v.v = 0
u.u = v.v = 0
Jawaban : D
- -4
- -2
- 0
- 2
- 4
- ( u + v + w )
- ( u + v + w )
- ( u + v + w )
- ( u + v + w )
- u + v + w
- 4
- 2
- 1
- 0
- -1
- 1 : 2
- 2 : 1
- 2 : 5
- 5 : 7
- 7 : 5
- 3
- 5
- (0,9,6)
- (0,3,2)
- (1,8,7)
- -5
- -1
- 1
- 2
- 5
- -¼
- -½
- ¼
- ½
- 30o
- 45o
- 60o
- 90o
- 120o
- 3
- 1
- 1/3
- -1/3
- -1
- 60°
- 45°
- 300
- 250
- 200
- 15o
- 30 o
- 45o
- 90o
- 120 o
PEMBAHASAN :
- ¼
- ½
- 2
- 4
- 8
PEMBAHASAN :
- -3
- -2
- -1
- 1
- 3
- 1
- -1
- 0
- 2
- 3
- -3i – 6j – 9k
- i + 2j + 3k
- i + j + k
- -9i – 18j – 27k
- 3i + 6j +9k
- -9
- -7
- -5
- 5
- 9
- ½
- 1
- 2
- (i – 2j + k)
- (3i – 2j + 2k)
- (i – 2j + k)
- (3i – j + 2k)
- (i – 2j + k)
- -4 atau -2
- -4 atau 2
- 4 atau -2
- 8 atau -1
- -8 atau 1
- vektor
- panjang vektor
- vektor satuan dari vektor
PEMBAHASAN :
= (2, 3, -4) – (4, 0, -2)
= (-2, 3, -2)
= -2+3-2- panjang vektor
- vektor satuan dari vektor
- ±
- ±
- ±
- ±10
- ±5
PEMBAHASAN :
Jawaban : A
- + –
- – +
- – –
- + +
- – + –
PEMBAHASAN :
ABCD adalah jajar genjang, maka berlaku hubungan:
Jawaban : B
- + 2 –
- – – 2 –
- – 2 +
- – + 2 +
- + 2 +
PEMBAHASAN :
Jawaban : E
- 3 + – 2
- 7 + + 2
- 7 + 13 – 3
- + 3 – 2
- 3 + + 2
PEMBAHASAN :
Jawaban : C
PEMBAHASAN :
Jawaban : A
- 5
- 6
- 2
- 4
- 3
PEMBAHASAN :
Jawaban : D
- –
- +
- – –
- –
- +
PEMBAHASAN :
Jawaban : A
- –
- +
- – +
- – –
- +
PEMBAHASAN :
Jawaban : B
- (1, -2, 15)
- (-3, -2, 1)
- (2, 5, 12)
- (3, -2, 10)
- (3, -5, 10)
PEMBAHASAN :
Jawaban : E
PEMBAHASAN :
Jawaban : D
- 6
- 3
- -5
- 1
- -7
PEMBAHASAN :
Syarat vektor segaris yaitu = k
Perhatikan persamaan (3) dapat diketahui bahwa k = ½
Dengan k = ½
Persamaan (1) → y = 4
Persamaan (2) → x = 2
Maka x + y = 2 + 4 = 6
Jawaban : A
- 5
- 3
- -2
- 6
- -9
PEMBAHASAN :
Perhatikan persamaan berikut:
Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m → – 5 = 2k – 3m
Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m
. 7 = -7k
. k = – 1
-5 = 2k – 3m
-5 = 2(-1) – 3m
-5 = -2 – 3m
3m = -2 + 5
3m = 3
m = 1
maka k – m = – 1 – 1 = – 2
Jawaban : C
- 5
- 3
- -2
- 6
- -9
PEMBAHASAN :
Perhatikan persamaan berikut:
Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m → – 5 = 2k – 3m
Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m
. 7 = -7k
. k = – 1
-5 = 2k – 3m
-5 = 2(-1) – 3m
-5 = -2 – 3m
3m = -2 + 5
3m = 3
m = 1
maka k – m = – 1 – 1 = – 2
Jawaban : C
PEMBAHASAN :
Jawaban : B
- 9 atau -1½
- 3 atau -½
- 1 atau ½
- 9 atau -½
- 3 atau 1
PEMBAHASAN :
Jawaban : A
PEMBAHASAN :
Jawaban : C
PEMBAHASAN :
Jawaban : E
PEMBAHASAN :
Jawaban : D
- 1 dan 2
- 2 dan -3
- -2 dan -3
- 4 dan -1
- -1 dan -3
PEMBAHASAN :
Diketahui:
= (6a, 1, a3)
= (1, 5a2 , 1)
. = (6a)(1) + (1)(5a2 ) + (a3 )(1)
F (a) = 6a + 5a2 + a3
Syarat stasioner, sebagai berikut:
F(a) = 0
6a + 5a2 + a3 = 0 (dibagi a)
6 + 5a + a2 = 0
(a + 3)(a + 2) = 0
Jawaban : C
- 12,2
- 16,2
- 27,1
- 34,2
- 54,3
PEMBAHASAN :
Jika dimisalkan
Vektor =
. = (4, 1, -2) – (3, 8, 2) = (1, -7, -4)
Vektor =
. = (-1, 3, 5) – (3, 8, 2) = (-4, -5, 3)
. = ((-7).3 – (-5).(-4)) + ((-4).(-4) – 3.1) + (1.-5 – (-7).(-4))
. =(-21 – 20) + (16 – 3) + (-5 – 28)
. =(-41) + 13 -33
Jawaban : C
- 4 + 2 + 3
- -4 – + 3
- 6 + 3 + 2
- + 4 – 6
- 6 + 4 + 4
PEMBAHASAN :
Jawaban : E
- (1, 1, 1)
- (1, 3, 5)
- (3, 1, 1)
- (3, 1, 2)
- (1, 1, 3)
PEMBAHASAN :
Perhatikan gambar kubus OABCDEFG!
Gambar
Jawaban : B
PEMBAHASAN :
Jawaban : E
- -1
- -2
- -3
- -4
- -5
PEMBAHASAN :
Jawaban : D
- 3 + 2 + 2,5
- 5 + 2,5 – 2,5
- 5 + 1,5 – 2
- 3 – 2 + 5
- 3 + 1,5 – 1,5
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Vektor orthogonal vektor pada vektor =
Vektor = 6 + 2 –
Vektor = 4 + 2 – 2
Dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
Jawaban : B
- 00
- 300
- 600
- 900
- 1800
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Vektor = + –
Vektor = + –
Dapat menggunakan rumus perkalian skalar sebagai berikut:
. = ||.|| cos α
Sudut dan misalkan adalah α, maka:
1 + 2 + 3 =
6 = 6 → cos a
cos a = 1
α = 00
Jawaban : A
- 3 – 6 +
- -3 + 6 +
- -3 + 6
- 3 + 6
- -3 – 6
PEMBAHASAN :
Diketahui:
P(2,3,5)
Q(1, -2, 1)
R(3,0,1)
= dan =
Jawaban : E
- 10
- 22
- 13
- 17
- 52
PEMBAHASAN :
Diketahui:
= + p + 2, = 2 + 2 + , dan = – 2 + 3
tegak lurus berlaku . = 0
1.2 + 2.p + 2.1 = 0
2 + 2p + 2 = 0
4 + 2p = 0
2p = – 4
p = – 2 → = – 2 + 2
Jawaban : D
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
PEMBAHASAN :
Diketahui:
vektor = (2, p, -3) dan = (1, 4, 2p)
vektor tegak lurus pada
Maka berlaku . = 0
(2.1) + (p.4) + (-3.2p) = 0
2 + 4p -6p = 0
-2p = -2
p = 1
Jawaban : B
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Persegi panjang OPRQ
S adalah titik tengah OP
C titik potong RS dengan diagonal PQ
dan
RC : SC = 2 : 1
Maka:
Jawaban : C
- -3
- 2
- 3
- 0
- -2
PEMBAHASAN :
Titik A(2, 4, 8) dan B(2, 4, -4)
Titik P membagi AB dengan perbandingan 3 : 1
Menghitung vektor P sebagai berikut:
Maka panjang = ||
Jawaban : C
- – +
- – + +
- + + 2
- 3 – –
- 2 – 5 +
PEMBAHASAN :
Diketahui:
vektor = 2 + 3 –
vektor = a – 2 + 2
vektor = -3 + –
Vektor tegak lurus vektor
Jawaban : A
- 1
- -1
- 3
- -3
- 0
PEMBAHASAN :
Diketahui:
= 2 + 3 –
= a – 2 + 2
Vektor saling tegak lurus . = 0
⇒ 3.2 + a.4 + (-2).1 = 0
⇒ 6 + 4a – 2 = 0
⇒ 4a = – 4
⇒ a = – 1
Jawaban : B
PEMBAHASAN :
Jawaban : D
Jika tegak lurus maka adalah …
PEMBAHASAN :
tegak lurus maka nilai x dapat diperoleh sebagai berikut:
= 0
(2x)(-3) + (3x)(1) + (-3)(4) = 0
-6x + 3x – 12 = 0
-3x -12 = 0
x = -4
Untuk x = -4, maka dapat diperoleh sebagai berikut:
Jawaban : D
- 30°
- 60°
- 90°
- 120°
- 180°
PEMBAHASAN :
Diketahui:
u = (-2, 1, -1)
v = (1, -2, -1)
Perkalian skalar dua vektor u dan v sebagai berikut:
u . v = |u| . |v| . cos θ
Menentukan nilai |u| sebagai berikut:
|u| = √6
Menentukan nilai |v| sebagai berikut:
|v| = √6
Menghitung perkalian skalar dua vektor, sebagai berikut:
u . v = x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2
u . v = (-2)(1) + (1)(-2) + (-1)(-1)
u . v = -2 + (-2) + 1
u . v = -3
Maka besar sudut yang dibentuk dua vektor tersebut, sebagai berikut:
θ = 120°
Jawaban : D
- (½, ½)
- (3/2, 3/2)
- (¾, ¾)
- (√6, √6)
- (1,1)
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Titik (2,1), pada garis y = x
Misalkan:
Proyeksi menghasilkan titik (p,p)
Titik A (2,1), titik B (p,p), dan titik O (0,0)
tegak lurus dengan
Maka proyeksi titik dapat diperoleh sebagai berikut:
. = 0
(2 – p, 1 – p) . (0 – p, 0 – p) = 0
(2 – p, 1 – p) . (-p, -p) = 0
(2 – p)(-p) + (1 – p)(-p) = 0
-2p + p² – p + p² = 0
2p² – 3p = 0
(p)(2p – 3) = 0
p = 0 atau p = 3/2
Jawaban : B
PEMBAHASAN :
Diketahui:
A (2,1), B (4,2), dan C (3,2)
Titik D proyeksi titik C pada garis AB
Maka panjang AD dapat dihitung sebagai berikut:
Jawaban : C
- 1 : 1
- 2 : 3
- 1 : 5
- 3 : 4
- 1 : 2
PEMBAHASAN :
Diketahui:
P, Q, dan R segaris sehingga vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik itu akan saling berkelipatan atau memiliki perbandingan yang sama.
P (2, 1, 4), Q (3, 2, 5), dan R (5, 4, 7)
Menentukan sebagai berikut:
= Q – P = (3, 2, 5) – (2, 1, 4) = (1, 1, 1)
Menentukan sebagai berikut:
= R – Q = (5, 4, 7) – (3, 2, 5) = (2, 2, 2)
Jawaban : E
contoh dan soal teknik fisika serta pembahasan sangat membantu untuk saya belajar lebih semangat