Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Vektor Kelas X

Pengertian

Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. Contoh : vektor  memiliki titik pangkal P dan titik ujung Q. Sedangkan panjang vektor dilambangkan dengan . Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil misalkan , , . Misalkan pada gambar dibawah ini:

Maka vektor dapat ditulis . Pada diagram cartesius jika dimisalkan titik A (a_1, a₂) dan titik B (b₁, b₂)

Operasi Aljabar Pada Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan vektor

Secara geometri penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut

1. Cara segitiga
   titik pangkal vektor  berimpit ruas dengan titik ujung vektor . Jumlah vektor dan  didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor ke titik ujung vektor . Ruas garis ini diwakili oleh vektor . Sehingga .
   
2. Aturan jajar genjang
   Titik pangkal vektor dan  harus berimpit.
   
   Jika vektor dan  di R²
   
   Jika menggunakan pasangan terurut
   +  = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
   –  = (a₁ – b₁, a₂ – b₂)

Perkalian Vektor

1. Perkalian skalar dengan vektor
   Jika k skalar tak nol dan vektor  = a₁ i + a₂ j + a₃ k maka vektor k = (ka₁, ka₂, ka₃).
2. Perkalian skalar dua vektor
   Jika vektor  = a₁ i + a₂ j + a₃ k dan vektor  = b₁ i + b₂ j + b₃ k maka . = a₁ b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
3. Perkalian skalar dua vektor jika membentuk sudut
   
   Jika dan  vektor tak nol dan sudut α diantara vektor dan . Maka perkalian skalar vektor dan  adalah . = ||.|| cos α

Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor

Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain

Saling Tegak Lurus

Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor  maka . = 0

Sejajar

Jika vektor sejajar dengan vektor  kalau = β dengan syarat β ≠ 0

Jika β > 0 dua vektor tersebut searah

Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah

Sudut Dua Vektor

Jika vector (a₁, a₂, a₃) dan vektor (b₁, b₂, b₃) sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor terbut adalah

Proyeksi vektor

1. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah
2. Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor

Perbandingan vektor

Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:

2. Titik N membagi PQ di dalam
   
   PN : NQ = m : n
3. Titik N membagi PQ di luar
   
   PN : NQ = m : (-n)

Contoh Soal & Pembahasan Vektor Kelas X/10

Soal No.41 

Diketahui titik-titik A(3,-5,4) dan B(3,-5,12) dengan P pada ruas garis AB dan = 3, maka vektor posisi titik P adalah …

1. (1, -2, 15)
2. (-3, -2, 1)
3. (2, 5, 12)
4. (3, -2, 10)
5. (3, -5, 10)

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.42 

Diketahui vektor  = (2,3) dan vektor  = (1,2) dengan titik T terletak pada RS sehingga RT : TS = 2 : 3, maka Panjang vektor  adalah …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.42 

Diketahui vektor = (2, x, 3) dan = (y, 4, 6). Kedua vektor tersebut adalah segaris, maka nilai yang seharusnya dari x + y adalah …

1. 6
2. 3
3. -5
4. 1
5. -7

PEMBAHASAN :
Syarat vektor segaris yaitu = k

Perhatikan persamaan (3) dapat diketahui bahwa k = ½
Dengan k = ½
Persamaan (1) → y = 4
Persamaan (2) → x = 2
Maka x + y = 2 + 4 = 6
Jawaban : A

Soal No.43 

Jika = 2 + 3,  = 3 – , dan = -5 – 4 dengan = k – m. Sehingga k – m adalah …

1. 5
2. 3
3. -2
4. 6
5. -9

PEMBAHASAN :
Perhatikan persamaan berikut:

Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m                                  → – 5 = 2k – 3m
Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m
.                                                                                                7 = -7k
.                                                                                                k = – 1
-5 = 2k – 3m
-5 = 2(-1) – 3m
-5 = -2 – 3m
3m = -2 + 5
3m = 3
m = 1
maka k – m = – 1 – 1 = – 2
Jawaban : C

Soal No.44 

Diketahui dan  adalah vektor satuan yang membentuk sudut 45⁰ , maka ( – )  adalah …

1. 5
2. 3
3. -2
4. 6
5. -9

PEMBAHASAN :
Perhatikan persamaan berikut:

Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m                                  → – 5 = 2k – 3m
Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m
.                                                                                                7 = -7k
.                                                                                                k = – 1
-5 = 2k – 3m
-5 = 2(-1) – 3m
-5 = -2 – 3m
3m = -2 + 5
3m = 3
m = 1
maka k – m = – 1 – 1 = – 2
Jawaban : C

Soal No.45 

Diketahui dan  adalah vektor satuan yang membentuk sudut 45⁰, maka ( – ) adalah …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.46 

Jika vektor dengan vektor ( + ) tegak lurus terhadap vektor . Maka nilai 3x adalah …

1. 9 atau -1½
2. 3 atau -½
3. 1 atau ½
4. 9 atau -½
5. 3 atau 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.47 

Jika titik A (1, 2, 2), B (5, 4, 2), dan C (0, – 3, 5) maka sudut antara vektor dengan  = …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.48

Diketahui = (4,2p) dan  = (2,2) dan ∠(,) = 60^o. Maka konstanta p adalah …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.49

Jika  =0,6 + a dan vektor  = b + 2. Vektor  tegak lurus vektor , maka a.b adalah …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.50

Jika vektor  = (6a, 1, a³) dan  = (1, 5a² , 1)  Sehingga untuk .  nilai a = …

1. 1 dan 2
2. 2 dan -3
3. -2 dan -3
4. 4 dan -1
5. -1 dan -3

PEMBAHASAN :
Diketahui:
 = (6a, 1, a³)
= (1, 5a² , 1)
. = (6a)(1) + (1)(5a² ) + (a³ )(1)
F (a) = 6a + 5a² + a³
Syarat stasioner, sebagai berikut:
F(a) = 0
6a + 5a² + a³ = 0 (dibagi a)
6 + 5a + a² = 0
(a + 3)(a + 2) = 0
Jawaban : C