Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Vektor

Rangkuman Materi Vektor Kelas X/10

Pengertian

Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. Contoh : vektor  memiliki titik pangkal P dan titik ujung Q. Sedangkan panjang vektor dilambangkan dengan . Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil misalkan , , . Misalkan pada gambar dibawah ini:

vek1

Maka vektor dapat ditulis . Pada diagram cartesius jika dimisalkan titik A (a1, a2) dan titik B (b1, b2)

vek2

vek3

vek4

Operasi Aljabar Pada Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan vektor

Secara geometri penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut

  1. Cara segitiga
    titik pangkal vektor  berimpit ruas dengan titik ujung vektor . Jumlah vektor dan  didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor ke titik ujung vektor . Ruas garis ini diwakili oleh vektor . Sehingga .
    vek5
  2. Aturan jajar genjang
    Titik pangkal vektor dan  harus berimpit.
    vek6
    Jika vektor dan  di R2
    vek7
    Jika menggunakan pasangan terurut
    +  = (a1 + b1, a2 + b2)
     = (a1 – b1, a2 – b2)

Perkalian Vektor

  1. Perkalian skalar dengan vektor
    Jika k skalar tak nol dan vektor  = a1 i + a2 j + a3 k maka vektor k = (ka1, ka2, ka3).
  2. Perkalian skalar dua vektor
    Jika vektor  = a1 i + a2 j + a3 k dan vektor  = b1 i + b2 j + b3 k maka . = a1 b1 + a2b2 + a3b3
  3. Perkalian skalar dua vektor jika membentuk sudut
    vek8
    Jika dan  vektor tak nol dan sudut α diantara vektor dan . Maka perkalian skalar vektor dan  adalah . = ||.|| cos α

Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor

vek9

Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain

Saling Tegak Lurus

Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor  maka . = 0

Sejajar

Jika vektor sejajar dengan vektor  kalau = β dengan syarat β ≠ 0

Jika β > 0 dua vektor tersebut searah

Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah

Sudut Dua Vektor

Jika vector (a1, a2, a3) dan vektor (b1, b2, b3) sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor terbut adalah
vek10

Proyeksi vektor

vek11

  1. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah
  2. Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor

Perbandingan vektor

vek12

vek13

Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:

  1. Titik N membagi PQ di dalam
    vek14
    PN : NQ = m : n
  2. Titik N membagi PQ di luar
    vek15
    PN : NQ = m : (-n)

Contoh Soal & Pembahasan Vektor Kelas X/10

Soal No.1 (SBMPTN 2017)
Vektor a dan b membentuk sudut α dengan sin α = . Jika |a| =  dan a.b = maka b.b =…
  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
  5. 9

PEMBAHASAN :
Diketahui:
|a| =
a.b =
sin α =
menentukan |b| dari rumusan cosinus



|b| =
maka, b.b = |b|2 = ()2 = 7
Jawaban : C

Soal No.2 (SBMPTN 2014)
Vektor-vektor u, v, dan w tak nol dan | u | = | v |, Jika | v-w | = | u-w | maka…
  1. u.v = | w |
  2. | u-w | = | v |
  3. u – v tegak lurus w
  4. u + v tegak lurus w

PEMBAHASAN :
Diketahui:
| v – w | = | u – w |
Kedua sisi di akarkan

v.v + w.w – 2v.w = u.u + w.w – 2 u.w
|v|2 + |w|2 – 2v.w = |u|2 + |w|2 – 2u.w
Dari soal diketahui | u | = | v | maka
v.w = u.w
u.w – v.w = 0
(u.w).w = 0
Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w
Jawaban : D

Soal No.3 (UN 2014)
Diketahui vektor = , = ,dan  = . Jika tegak lurus , hasil dari +-2 =……

PEMBAHASAN :
vek16
Jawaban : A

Soal No.4 (SBMPTN 2014)
Vektor – vektor u, v, dan x tidak nol. Vektor u + v tegak lurus u –x , jika …
  1. | u + v | = | u – v |
  2. | v | = | x |
  3. u.u = v.v, v = -x
  4. u.u = v.v , v = x
  5. u.v = v.v

PEMBAHASAN :
Diketahui
u + v tegak lurus u – x, maka:
(u + v ) . ( u – x ) = 0
u.u –u .x +u.v – v.x = 0
Jika v = x maka
u.u – u.v + u.v – v.v = 0
u.u – v.v = 0
u.u = v.v = 0
Jawaban : D

Soal No.5 (UN 2012)
Diketahui vektor = i +2j –xk,  = 3i – 2j + k, dan  = 2i + j + 2k . Vektor tegak lurus  maka( + ) .() adalah…
  1. -4
  2. -2
  3. 0
  4. 2
  5. 4

PEMBAHASAN :
vek17
Jawaban : C

Soal No.6 (SBMPTN 2014)
Diberikan limas T.ABC.
vek18
Misalkan u = ,v = , w = . Jika P adalah titik berat ΔABC maka =
  1. ( u + v + w )
  2. ( u + v + w )
  3. ( u + v + w )
  4. ( u + v + w )
  5. u + v + w

PEMBAHASAN :
vek19
Jawaban : A

Soal No.7 (UN 2005)
Diketahui titik A(6,4,7), B(2,-4,3),dan P(-1,4,2), titik R terletak pada garis AB sehingga AR:RB = 3:1. Panjang vektor PR adalah…

PEMBAHASAN :
vek20
Jawaban : C

Soal No.8 (SNMPTN 2010)
Diketahui , dan  vektor dalam dimensi -3 . Jika ⊥  dan ⊥ ( + 2), Maka .(2) adalah …
  1. 4
  2. 2
  3. 1
  4. 0
  5. -1

PEMBAHASAN :
vek21
Jawaban : D

Soal No.9 (SBMPTN 2014)
Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C segaris (kolinier), perbandingan ….
  1. 1 : 2
  2. 2 : 1
  3. 2 : 5
  4. 5 : 7
  5. 7 : 5

PEMBAHASAN :
vek22
Jawaban : A

Soal No.10 (SNMPTN 2012)
Diketahui |u| = 1 dan |v| = 2. Jika dan membentuk sudut 30° maka ( + ). =….
  1. 3
  2. 5

PEMBAHASAN :
vek23
Jawaban : A

Soal No.11 (EBTANAS 1989)
Titik R adalah terletak di antara titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1) yang membagi garis PQ di dalam perbandingan 2:1 maka koordinat R adalah….
  1. (0,9,6)
  2. (0,3,2)
  3. (1,8,7)

PEMBAHASAN :
vek24
Jawaban : B

Soal No.12 (SIMAK UI 2010)
Diketahui: dan dan vektor  merupakan proyeksi ortogonal vektor terhadap . Jika vektor memiliki panjang yang sama dengan vektor , maka nilai dari x adalah….

PEMBAHASAN :
vek25
Jawaban : C

Soal No.13 (UN 2014)
Diketahui vektor-vektor = bi – 12j + ak dan = ai + aj – bk. Sudut antara vektor dan vektor  dan vektor  adalah θ dengan cos θ = . Proyeksi vektor  pada adalah  = -4i-4j+4k. Nilai dari b =…..

PEMBAHASAN :
vek26
Jawaban : B

Soal No.14 (SIMAK UI 2010 IPA)
Diketahui vektor-vektor = (2, 2, z), = (-8, y, -5) , = (x, 4y, 4) dan = (2x, 22, -z, 8). Jika vektor tegak lurus dengan vektor dan vektor sejajar dengan  maka (y+z) =
  1. -5
  2. -1
  3. 1
  4. 2
  5. 5

PEMBAHASAN :
vek27
Jawaban : C

Soal No.15 (UN 2013)
Diketahui dan apabila α adalah sudut yang di bentuk antara vektor  dan vektor  maka tan α =….

PEMBAHASAN :
vek28
Jawaban : D

Soal No.16 (SIMAK UI 2010)
Vektor , ,  adalah vektor-vektor unit yang masing-masing membentuk sudut 60o dengan vektor lainnya. Maka ( – )( – ) adalah….
  1. ¼
  2. ½

PEMBAHASAN :
vek29
Jawaban : B

Soal No.17 (UN 2011)
Diketahui segitiga ABC dengan A(2,1,2), B(6,1,2), dan C(6,5,2). Jika mewakili  dan mewakili  maka sudut yang dibentuk oleh vector  dan  adalah…
  1. 30o
  2. 45o
  3. 60o
  4. 90o
  5. 120o

PEMBAHASAN :
vek30
Jawaban : B

Soal No.18 (UM UGM 2010 IPA)
vektor  = (x, y, 1) sejajar = (-1, 3, z) , jika  tegak lurus (3, -2, 3) maka y = ….
  1. 3
  2. 1
  3. 1/3
  4. -1/3
  5. -1

PEMBAHASAN :
vek31
Jawaban : E

Soal No.19 (EBTANAS 2001)
Diketahui ||||dan || berturut-turut adalah 4, 6 dan nilai | + | =…

PEMBAHASAN :
vek32
Jawaban : D

Soal No.20 (UMB PTN 2009)
Jika vektor dan  merupakan ( + ). = 12 , || = 2 dan || = 3 maka sudut antara dan  adalah….
  1. 60°
  2. 45°
  3. 300
  4. 250
  5. 200

PEMBAHASAN :
vek33
Jawaban : A

Soal No.21 (UN 2009)
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan koordinat titik sudut A (3,0,0), C(0, ,0), D(0,0,0), F(3, , 4) dan H(0,0,4). Besar sudut antara vektor dan  adalah….
  1. 15o
  2. 30 o
  3. 45o
  4. 90o
  5. 120 o

PEMBAHASAN :

vek34
Jawaban : C

Soal No.22 (SNMPTN 2009)
Diketahui segi tiga ABC. Titik p di tengah AC dan Q pada BC sehingga BQ = QC. Jika  = ,  = dan  = maka  =…..

PEMBAHASAN :
vek35
Jawaban : A

Soal No.23 (UMPTN 2001)
Jika = (2, k) dan  = (3, 5) dan ∠( ,) =  maka konstanta positif k adalah…..
  1. ¼
  2. ½
  3. 2
  4. 4
  5. 8

PEMBAHASAN :

vek36
Jawaban : B

Soal No.24 (UN 2014)
Diketahui vektor = 2i – 2pj + 4k dan  = i – 3j + 4k. Jika panjang proyeksi vektor pada  adalah . nilai p =….
  1. -3
  2. -2
  3. -1
  4. 1
  5. 3

PEMBAHASAN :
vek37
Jawaban : B

Soal No.25 (UMPTN 2004)
Bila panjang proyeksi vektor  = i – 2j pada vektor  = xi + yj dengan x,y > 0 adalah 1 maka nilai 4x – 3y + 1=…..
  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. 2
  5. 3

PEMBAHASAN :
vek38
Jawaban : A

Soal No.26 (UN 2009)
Diketahui titik A(2,7,8), B(-1,1-1) dan C(0,3,2). Jika  wakil dan  wakil  maka proyeksi orthogonal vektor pada  adalah …
  1. -3i – 6j – 9k
  2. i + 2j + 3k
  3. i + j + k
  4. -9i – 18j – 27k
  5. 3i + 6j +9k

PEMBAHASAN :
vek39
Jawaban : A

Soal No.27 (SNMPTN 2011)
Diketahui vektor = (a3 – 2a2, -9, -1+ b ),  = (3, -a + b, 9) dengan -4 < a < 4. Nilai maksimum . adalah….
  1. -9
  2. -7
  3. -5
  4. 5
  5. 9

PEMBAHASAN :
vek40
Jawaban : C

Soal No.28 (UN 2006)
Vektor z adalah proyeksi vektor x = (-, 3, 1) pada vektor y = (, 2, 3). Panjang vektor z =…
  1. ½
  2. 1
  3. 2

PEMBAHASAN :
vek41
Jawaban : C

Soal No.29 (SBMPTN 2013)
Diketahui A (4,0,0), B(0,-4,0), dan C (0,0,8) Panjang vektor proyeksi  ke vektor  adalah…..

PEMBAHASAN :
vek42
Jawaban : B

Soal No.30 (UN 2013)
Diketahui vektor = i – 2j + k dan = 3i + j – 2k. Vektor  mewakili vektor hasil proyeksi orthogonal vektor  pada vektor maka vektor  = …
  1. (i – 2j + k)
  2. (3i – 2j + 2k)
  3. (i – 2j + k)
  4. (3i – j + 2k)
  5. (i – 2j + k)

PEMBAHASAN :
vek43
Jawaban : A

Soal No.31 (UN 2004)
Diketahui vektor dan vektor . Jika proyeksi skalar orthogonal pada arah vektor sama dengan setengah panjang vektor  maka nilai p = ….
  1. -4 atau -2
  2. -4 atau 2
  3. 4 atau -2
  4. 8 atau -1
  5. -8 atau 1

PEMBAHASAN :
vek44
Jawaban : B

Soal No.32
Diketahui titik P (4, 0, -2) dan P(2, 3, -4), tentukan:
  1. vektor
  2. panjang vektor 
  3. vektor satuan dari vektor 

PEMBAHASAN :


  1. = (2, 3, -4) – (4, 0, -2)
    = (-2, 3, -2)
    = -2+3-2
  2. panjang vektor 
  3. vektor satuan dari vektor 
Soal No.33 
Tentukan nilai c agar panjang vector adalah 4!
  1. ±
  2. ±
  3. ±
  4. ±10
  5. ±5

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.34 
Jika ,, dan berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajar genjang ABCD dengan AB sejajar CD, maka  …
  1. +
  2. +
  3. + +
  4. +

PEMBAHASAN :
ABCD adalah jajar genjang, maka berlaku hubungan:


Jawaban : B

Soal No.35 
O merupakan titik awal dengan  adalah vektor posisi dari titik P,  adalah vektor posisi dari titik Q,  adalah vektor posisi dari titik R. = , dan = , jadi vektor posisi titik A adalah …
  1. + 2
  2. – 2
  3. – 2 +
  4. + 2 +
  5. + 2 +

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.36 
Diketahui vektor = 2 + 3,  = + 2, dan  = 2. Vektor yang mewakili 3 + + 2 adalah …
  1. 3 + – 2
  2. 7 + + 2
  3. 7 + 13 – 3
  4. + 3 – 2
  5. 3 + + 2

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.37 
Diketahui || = 3, || = 1, dan sudut (,) = 60o, maka |2 + | = ….

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.38 
Diketahui besar sudut antara vektor dan  adalah 600 . Jika Panjang a dan b masing-masing 8 dan 4, maka panjang vektor () adalah …
  1. 5
  2. 6
  3. 2
  4. 4
  5. 3

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.39 
Terdapat ΔABC, jika T titik berat ΔABC, U titik tengah AC, = , dan = . Maka TU adalah …
  1. +
  2. +

PEMBAHASAN :


Jawaban : A

Soal No.40 
Jika persegi Panjang OPQR dan S titik tengah OP, RS memotong diagonal PQ di T dengan = dan = , maka adalah…
  1. – 
  2. +
  3. – 
  4. +

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.41 
Diketahui titik-titik A(3,-5,4) dan B(3,-5,12) dengan P pada ruas garis AB dan = 3, maka vektor posisi titik P adalah …
  1. (1, -2, 15)
  2. (-3, -2, 1)
  3. (2, 5, 12)
  4. (3, -2, 10)
  5. (3, -5, 10)

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.42 
Diketahui vektor  = (2,3) dan vektor  = (1,2) dengan titik T terletak pada RS sehingga RT : TS = 2 : 3, maka Panjang vektor  adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.42 
Diketahui vektor = (2, x, 3) dan = (y, 4, 6). Kedua vektor tersebut adalah segaris, maka nilai yang seharusnya dari x + y adalah …
  1. 6
  2. 3
  3. -5
  4. 1
  5. -7

PEMBAHASAN :
Syarat vektor segaris yaitu = k

Perhatikan persamaan (3) dapat diketahui bahwa k = ½
Dengan k = ½
Persamaan (1) → y = 4
Persamaan (2) → x = 2
Maka x + y = 2 + 4 = 6
Jawaban : A

Soal No.43 
Jika = 2 + 3,  = 3, dan = -5 – 4 dengan = k – m. Sehingga k – m adalah …
  1. 5
  2. 3
  3. -2
  4. 6
  5. -9

PEMBAHASAN :
Perhatikan persamaan berikut:

Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m                                  → – 5 = 2k – 3m
Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m
.                                                                                                7 = -7k
.                                                                                                k = – 1
-5 = 2k – 3m
-5 = 2(-1) – 3m
-5 = -2 – 3m
3m = -2 + 5
3m = 3
m = 1
maka k – m = – 1 – 1 = – 2
Jawaban : C

Soal No.44 
Diketahui dan  adalah vektor satuan yang membentuk sudut 450 , maka ()  adalah …
  1. 5
  2. 3
  3. -2
  4. 6
  5. -9

PEMBAHASAN :
Perhatikan persamaan berikut:

Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m                                  → – 5 = 2k – 3m
Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m
.                                                                                                7 = -7k
.                                                                                                k = – 1
-5 = 2k – 3m
-5 = 2(-1) – 3m
-5 = -2 – 3m
3m = -2 + 5
3m = 3
m = 1
maka k – m = – 1 – 1 = – 2
Jawaban : C

Soal No.45 
Diketahui dan  adalah vektor satuan yang membentuk sudut 450, maka () adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.46 
Jika vektor dengan vektor ( + ) tegak lurus terhadap vektor . Maka nilai 3x adalah …
  1. 9 atau -1½
  2. 3 atau -½
  3. 1 atau ½
  4. 9 atau -½
  5. 3 atau 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.47 
Jika titik A (1, 2, 2), B (5, 4, 2), dan C (0, – 3, 5) maka sudut antara vektor dengan  = …

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.48
Diketahui = (4,2p) dan  = (2,2) dan ∠(,) = 60o. Maka konstanta p adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.49
Jika  =0,6 + a dan vektor  = b + 2. Vektor  tegak lurus vektor , maka a.b adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.50
Jika vektor  = (6a, 1, a3) dan  = (1, 5a2 , 1)  Sehingga untuk .  nilai a = …
  1. 1 dan 2
  2. 2 dan -3
  3. -2 dan -3
  4. 4 dan -1
  5. -1 dan -3

PEMBAHASAN :
Diketahui:
 = (6a, 1, a3)
= (1, 5a2 , 1)
. = (6a)(1) + (1)(5a2 ) + (a3 )(1)
F (a) = 6a + 5a2 + a3
Syarat stasioner, sebagai berikut:
F(a) = 0
6a + 5a2 + a3 = 0 (dibagi a)
6 + 5a + a2 = 0
(a + 3)(a + 2) = 0
Jawaban : C

Soal No.51
Jika diketahui titik-titik sudut suatu segitiga ABC adalah A = (3, 8, 2), B = (4, 1, -2), dan C = (-1, 3, 5). Luas dari segitiga ABC tersebut adalah….
  1. 12,2
  2. 16,2
  3. 27,1
  4. 34,2
  5. 54,3

PEMBAHASAN :

Jika dimisalkan
Vektor =
.                 = (4, 1, -2) – (3, 8, 2) = (1, -7, -4)
Vektor =
.                = (-1, 3, 5) – (3, 8, 2) = (-4, -5, 3)

.        = ((-7).3 – (-5).(-4)) + ((-4).(-4) – 3.1) + (1.-5 – (-7).(-4))
.        =(-21 – 20) + (16 – 3) + (-5 – 28)
.        =(-41) + 13 -33

Jawaban : C

Soal No.52
Jika vektor = 10 + +  dan = 3 + 2 + 2. Proyeksi ortogonal untuk vektor  dan  adalah …
  1. 4 + 2 + 3
  2. -4 –  + 3
  3. 6 + 3 + 2
  4. + 4 – 6
  5. 6 + 4 + 4

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.53
Terdapat kubus OABCDEFG dengan = (1, 0, 2), = (0, 2, 1), dan = (0, 1, 2). Proyeksi vektor ke  adalah …
  1. (1, 1, 1)
  2. (1, 3, 5)
  3. (3, 1, 1)
  4. (3, 1, 2)
  5. (1, 1, 3)

PEMBAHASAN :
Perhatikan gambar kubus OABCDEFG!
Gambar

Jawaban : B

Soal No.54
Jika P(-2, 0, 0), Q(0, 2, 0), dan R(0, 0, 1). Maka panjang proyeksi vektor  ke  = …

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.55
Jika panjang proyeksi vektor = 4 – 2 terhadap vector = p + q dengan (p,q) > 0 yaitu 2. Maka nilai dari 3p – 4q – 4 = …..
  1. -1
  2. -2
  3. -3
  4. -4
  5. -5

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Sebelumnya Rangkuman Materi, Contoh Soal & Pembahasan Bumi Sebagai Ruang Kehidupan
Selanjutnya Rangkuman, Contoh Soal Fungsi & Komposisi Berikut Pembahasannya

Satu komentar

  1. contoh dan soal teknik fisika serta pembahasan sangat membantu untuk saya belajar lebih semangat

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.