Rangkuman Materi Vektor Kelas X/10
Pengertian
Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. Contoh : vektor memiliki titik pangkal P dan titik ujung Q. Sedangkan panjang vektor dilambangkan dengan
. Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil misalkan
,
,
. Misalkan pada gambar dibawah ini:
Maka vektor dapat ditulis
. Pada diagram cartesius jika dimisalkan titik A (a1, a2) dan titik B (b1, b2)
Operasi Aljabar Pada Vektor
Penjumlahan dan Pengurangan vektor
Secara geometri penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut
- Cara segitiga
titik pangkal vektorberimpit ruas dengan titik ujung vektor
. Jumlah vektor
dan
didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor
ke titik ujung vektor
. Ruas garis ini diwakili oleh vektor
. Sehingga
.
- Aturan jajar genjang
Titik pangkal vektordan
harus berimpit.
Jika vektordan
di R2
Jika menggunakan pasangan terurut
+
= (a1 + b1, a2 + b2)
–
= (a1 – b1, a2 – b2)
Perkalian Vektor
- Perkalian skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor= a1 i + a2 j + a3 k maka vektor k
= (ka1, ka2, ka3).
- Perkalian skalar dua vektor
Jika vektor= a1 i + a2 j + a3 k dan vektor
= b1 i + b2 j + b3 k maka
.
= a1 b1 + a2b2 + a3b3
- Perkalian skalar dua vektor jika membentuk sudut
Jikadan
vektor tak nol dan sudut α diantara vektor
dan
. Maka perkalian skalar vektor
dan
adalah . = |
|.|
| cos α
Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor
Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain
Saling Tegak Lurus
Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor
maka
.
= 0
Sejajar
Jika vektor sejajar dengan vektor
kalau
= β
dengan syarat β ≠ 0
Jika β > 0 dua vektor tersebut searah
Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah
Sudut Dua Vektor
Jika vector (a1, a2, a3) dan vektor (b1, b2, b3) sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor terbut adalah
Proyeksi vektor
- Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah
- Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor
Perbandingan vektor
Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:
Contoh Soal & Pembahasan Vektor Kelas X/10
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
PEMBAHASAN :
Diketahui:
|a| =
a.b =
sin α =
menentukan |b| dari rumusan cosinus
|b| =
maka, b.b = |b|2 = ()2 = 7
Jawaban : C
- u.v = | w |
- | u-w | = | v |
- u – v tegak lurus w
- u + v tegak lurus w
PEMBAHASAN :
Diketahui:
| v – w | = | u – w |
Kedua sisi di akarkan
v.v + w.w – 2v.w = u.u + w.w – 2 u.w
|v|2 + |w|2 – 2v.w = |u|2 + |w|2 – 2u.w
Dari soal diketahui | u | = | v | maka
v.w = u.w
u.w – v.w = 0
(u.w).w = 0
Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w
Jawaban : D








- | u + v | = | u – v |
- | v | = | x |
- u.u = v.v, v = -x
- u.u = v.v , v = x
- u.v = v.v
PEMBAHASAN :
Diketahui
u + v tegak lurus u – x, maka:
(u + v ) . ( u – x ) = 0
u.u –u .x +u.v – v.x = 0
Jika v = x maka
u.u – u.v + u.v – v.v = 0
u.u – v.v = 0
u.u = v.v = 0
Jawaban : D









- -4
- -2
- 0
- 2
- 4



( u + v + w )
( u + v + w )
( u + v + w )
( u + v + w )
- u + v + w











- 4
- 2
- 1
- 0
- -1

- 1 : 2
- 2 : 1
- 2 : 5
- 5 : 7
- 7 : 5





- 3
- 5
- (0,9,6)
- (0,3,2)
- (1,8,7)























- -5
- -1
- 1
- 2
- 5











- -¼
- -½
- ¼
- ½






- 30o
- 45o
- 60o
- 90o
- 120o



- 3
- 1
- 1/3
- -1/3
- -1
















- 60°
- 45°
- 300
- 250
- 200




- 15o
- 30 o
- 45o
- 90o
- 120 o
PEMBAHASAN :












- ¼
- ½
- 2
- 4
- 8
PEMBAHASAN :





- -3
- -2
- -1
- 1
- 3


- 1
- -1
- 0
- 2
- 3






- -3i – 6j – 9k
- i + 2j + 3k
i +
j + k
- -9i – 18j – 27k
- 3i + 6j +9k





- -9
- -7
- -5
- 5
- 9

- ½
- 1
- 2








(i – 2j + k)
(3i – 2j + 2k)
(i – 2j + k)
(3i – j + 2k)
(i – 2j + k)





- -4 atau -2
- -4 atau 2
- 4 atau -2
- 8 atau -1
- -8 atau 1
- vektor
- panjang vektor
- vektor satuan dari vektor
PEMBAHASAN :
= (2, 3, -4) – (4, 0, -2)
= (-2, 3, -2)
= -2+3
-2
- panjang vektor
- vektor satuan dari vektor

- ±
- ±
- ±
- ±10
- ±5
PEMBAHASAN :
Jawaban : A




+
–
–
+
–
–
+
+
- –
+
–
PEMBAHASAN :
ABCD adalah jajar genjang, maka berlaku hubungan:
Jawaban : B







+ 2
–
- –
– 2
–
– 2
+
- –
+ 2
+
+ 2
+
PEMBAHASAN :
Jawaban : E













- 3
+
– 2
- 7
+
+ 2
- 7
+ 13
– 3
+ 3
– 2
- 3
+
+ 2
PEMBAHASAN :
Jawaban : C






PEMBAHASAN :
Jawaban : A




- 5
- 6
- 2
- 4
- 3
PEMBAHASAN :
Jawaban : D




–
+
- –
–
–
+
PEMBAHASAN :
Jawaban : A





–
+
- –
+
- –
–
+
PEMBAHASAN :
Jawaban : B

- (1, -2, 15)
- (-3, -2, 1)
- (2, 5, 12)
- (3, -2, 10)
- (3, -5, 10)
PEMBAHASAN :
Jawaban : E



PEMBAHASAN :
Jawaban : D


- 6
- 3
- -5
- 1
- -7
PEMBAHASAN :
Syarat vektor segaris yaitu = k
Perhatikan persamaan (3) dapat diketahui bahwa k = ½
Dengan k = ½
Persamaan (1) → y = 4
Persamaan (2) → x = 2
Maka x + y = 2 + 4 = 6
Jawaban : A












- 5
- 3
- -2
- 6
- -9
PEMBAHASAN :
Perhatikan persamaan berikut:
Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m → – 5 = 2k – 3m
Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m
. 7 = -7k
. k = – 1
-5 = 2k – 3m
-5 = 2(-1) – 3m
-5 = -2 – 3m
3m = -2 + 5
3m = 3
m = 1
maka k – m = – 1 – 1 = – 2
Jawaban : C




- 5
- 3
- -2
- 6
- -9
PEMBAHASAN :
Perhatikan persamaan berikut:
Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m → – 5 = 2k – 3m
Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m
. 7 = -7k
. k = – 1
-5 = 2k – 3m
-5 = 2(-1) – 3m
-5 = -2 – 3m
3m = -2 + 5
3m = 3
m = 1
maka k – m = – 1 – 1 = – 2
Jawaban : C





PEMBAHASAN :
Jawaban : B




- 9 atau -1½
- 3 atau -½
- 1 atau ½
- 9 atau -½
- 3 atau 1
PEMBAHASAN :
Jawaban : A


PEMBAHASAN :
Jawaban : C




PEMBAHASAN :
Jawaban : E








PEMBAHASAN :
Jawaban : D




- 1 dan 2
- 2 dan -3
- -2 dan -3
- 4 dan -1
- -1 dan -3
PEMBAHASAN :
Diketahui:
= (6a, 1, a3)
= (1, 5a2 , 1)
.
= (6a)(1) + (1)(5a2 ) + (a3 )(1)
F (a) = 6a + 5a2 + a3
Syarat stasioner, sebagai berikut:
F(a) = 0
6a + 5a2 + a3 = 0 (dibagi a)
6 + 5a + a2 = 0
(a + 3)(a + 2) = 0
Jawaban : C
- 12,2
- 16,2
- 27,1
- 34,2
- 54,3
PEMBAHASAN :
Jika dimisalkan
Vektor =
. = (4, 1, -2) – (3, 8, 2) = (1, -7, -4)
Vektor =
. = (-1, 3, 5) – (3, 8, 2) = (-4, -5, 3)
. = ((-7).3 – (-5).(-4)) + ((-4).(-4) – 3.1)
+ (1.-5 – (-7).(-4))
. =(-21 – 20) + (16 – 3)
+ (-5 – 28)
. =(-41) + 13
-33
Jawaban : C










- 4
+ 2
+ 3
- -4
–
+ 3
- 6
+ 3
+ 2
+ 4
– 6
- 6
+ 4
+ 4
PEMBAHASAN :
Jawaban : E





(1, 1, 1)
(1, 3, 5)
(3, 1, 1)
(3, 1, 2)
(1, 1, 3)
PEMBAHASAN :
Perhatikan gambar kubus OABCDEFG!
Gambar
Jawaban : B


PEMBAHASAN :
Jawaban : E






- -1
- -2
- -3
- -4
- -5
PEMBAHASAN :
Jawaban : D










- 3
+ 2
+ 2,5
- 5
+ 2,5
– 2,5
- 5
+ 1,5
– 2
- 3
– 2
+ 5
- 3
+ 1,5
– 1,5
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Vektor orthogonal vektor pada vektor
=
Vektor = 6
+ 2
–
Vektor = 4
+ 2
– 2
Dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
Jawaban : B












- 00
- 300
- 600
- 900
- 1800
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Vektor =
+
–
Vektor =
+
–
Dapat menggunakan rumus perkalian skalar sebagai berikut:
.
= |
|.|
| cos α
Sudut dan
misalkan adalah α, maka:
1 + 2 + 3 =
6 = 6 → cos a
cos a = 1
α = 00
Jawaban : A






- 3
– 6
+
- -3
+ 6
+
- -3
+ 6
- 3
+ 6
- -3
– 6
PEMBAHASAN :
Diketahui:
P(2,3,5)
Q(1, -2, 1)
R(3,0,1)
=
dan
=
Jawaban : E

















- 10
- 22
- 13
- 17
- 52
PEMBAHASAN :
Diketahui:
=
+ p
+ 2
,
= 2
+ 2
+
, dan
=
– 2
+ 3
tegak lurus
berlaku
.
= 0
1.2 + 2.p + 2.1 = 0
2 + 2p + 2 = 0
4 + 2p = 0
2p = – 4
p = – 2 → =
– 2
+ 2
Jawaban : D




- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
PEMBAHASAN :
Diketahui:
vektor = (2, p, -3) dan
= (1, 4, 2p)
vektor tegak lurus pada
Maka berlaku .
= 0
(2.1) + (p.4) + (-3.2p) = 0
2 + 4p -6p = 0
-2p = -2
p = 1
Jawaban : B


PEMBAHASAN :
Diketahui:
Persegi panjang OPRQ
S adalah titik tengah OP
C titik potong RS dengan diagonal PQ
dan
RC : SC = 2 : 1
Maka:
Jawaban : C

- -3
- 2
- 3
- 0
- -2
PEMBAHASAN :
Titik A(2, 4, 8) dan B(2, 4, -4)
Titik P membagi AB dengan perbandingan 3 : 1
Menghitung vektor P sebagai berikut:
Maka panjang = |
|
Jawaban : C
















–
+
- –
+
+
+
+ 2
- 3
–
–
- 2
– 5
+
PEMBAHASAN :
Diketahui:
vektor = 2
+ 3
–
vektor = a
– 2
+ 2
vektor = -3
+
–
Vektor tegak lurus vektor
Jawaban : A








- 1
- -1
- 3
- -3
- 0
PEMBAHASAN :
Diketahui:
= 2
+ 3
–
= a
– 2
+ 2
Vektor saling tegak lurus .
= 0
⇒ 3.2 + a.4 + (-2).1 = 0
⇒ 6 + 4a – 2 = 0
⇒ 4a = – 4
⇒ a = – 1
Jawaban : B










PEMBAHASAN :
Jawaban : D
contoh dan soal teknik fisika serta pembahasan sangat membantu untuk saya belajar lebih semangat