Rangkuman, 70 Contoh Soal & Pembahasan Vektor Kelas X

Pengertian

Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. Contoh : vektor  memiliki titik pangkal P dan titik ujung Q. Sedangkan panjang vektor dilambangkan dengan . Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil misalkan , , . Misalkan pada gambar dibawah ini:

Maka vektor dapat ditulis . Pada diagram cartesius jika dimisalkan titik A (a_1, a₂) dan titik B (b₁, b₂)

Operasi Aljabar Pada Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan vektor

Secara geometri penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut

1. Cara segitiga
   titik pangkal vektor  berimpit ruas dengan titik ujung vektor . Jumlah vektor dan  didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor ke titik ujung vektor . Ruas garis ini diwakili oleh vektor . Sehingga .
   
2. Aturan jajar genjang
   Titik pangkal vektor dan  harus berimpit.
   
   Jika vektor dan  di R²
   
   Jika menggunakan pasangan terurut
   +  = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
   –  = (a₁ – b₁, a₂ – b₂)

Perkalian Vektor

1. Perkalian skalar dengan vektor
   Jika k skalar tak nol dan vektor  = a₁ i + a₂ j + a₃ k maka vektor k = (ka₁, ka₂, ka₃).
2. Perkalian skalar dua vektor
   Jika vektor  = a₁ i + a₂ j + a₃ k dan vektor  = b₁ i + b₂ j + b₃ k maka . = a₁ b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
3. Perkalian skalar dua vektor jika membentuk sudut
   
   Jika dan  vektor tak nol dan sudut α diantara vektor dan . Maka perkalian skalar vektor dan  adalah . = ||.|| cos α

Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor

Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain

Saling Tegak Lurus

Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor  maka . = 0

Sejajar

Jika vektor sejajar dengan vektor  kalau = β dengan syarat β ≠ 0

Jika β > 0 dua vektor tersebut searah

Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah

Sudut Dua Vektor

Jika vector (a₁, a₂, a₃) dan vektor (b₁, b₂, b₃) sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor terbut adalah

Proyeksi vektor

1. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah
2. Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor

Perbandingan vektor

Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:

2. Titik N membagi PQ di dalam
   
   PN : NQ = m : n
3. Titik N membagi PQ di luar
   
   PN : NQ = m : (-n)

Contoh Soal & Pembahasan Vektor Kelas X/10

Soal No.51

Jika diketahui titik-titik sudut suatu segitiga ABC adalah A = (3, 8, 2), B = (4, 1, -2), dan C = (-1, 3, 5). Luas dari segitiga ABC tersebut adalah….

1. 12,2
2. 16,2
3. 27,1
4. 34,2
5. 54,3

PEMBAHASAN :

Jika dimisalkan
Vektor =
.                 = (4, 1, -2) – (3, 8, 2) = (1, -7, -4)
Vektor =
.                = (-1, 3, 5) – (3, 8, 2) = (-4, -5, 3)

.        = ((-7).3 – (-5).(-4)) + ((-4).(-4) – 3.1) + (1.-5 – (-7).(-4))
.        =(-21 – 20) + (16 – 3) + (-5 – 28)
.        =(-41) + 13 -33

Jawaban : C

Soal No.52

Jika vektor = 10 + +  dan = 3 + 2 + 2. Proyeksi ortogonal untuk vektor  dan  adalah …

1. 4 + 2 + 3
2. -4 –  + 3
3. 6 + 3 + 2
4. + 4 – 6
5. 6 + 4 + 4

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.53

Terdapat kubus OABCDEFG dengan = (1, 0, 2), = (0, 2, 1), dan = (0, 1, 2). Proyeksi vektor ke  adalah …

1. (1, 1, 1)
2. (1, 3, 5)
3. (3, 1, 1)
4. (3, 1, 2)
5. (1, 1, 3)

PEMBAHASAN :
Perhatikan gambar kubus OABCDEFG!
Gambar

Jawaban : B

Soal No.54

Jika P(-2, 0, 0), Q(0, 2, 0), dan R(0, 0, 1). Maka panjang proyeksi vektor  ke  = …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.55

Jika panjang proyeksi vektor = 4 – 2 terhadap vector = p + q dengan (p,q) > 0 yaitu 2. Maka nilai dari 3p – 4q – 4 = …..

1. -1
2. -2
3. -3
4. -4
5. -5

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.56

Jika vektor = 6 + 2 – dan vektor = 4 + 2 – 2. Maka proyeksi vektor orthogonal vektor  pada vektor  adalah …

1. 3 + 2 + 2,5
2. 5 + 2,5 – 2,5
3. 5 + 1,5 – 2
4. 3 – 2 + 5
5. 3 + 1,5 – 1,5

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Vektor orthogonal vektor  pada vektor =
Vektor = 6 + 2 –
Vektor = 4 + 2 – 2
Dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

Jawaban : B

Soal No.57

Jika vektor-vektor = + –  dan = + – . Maka sudut antara vektor  dan  adalah …

1. 0⁰
2. 30⁰
3. 60⁰
4. 90⁰
5. 180⁰

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Vektor = + –
Vektor = + –

Dapat menggunakan rumus perkalian skalar sebagai berikut:
. = ||.|| cos α

Sudut  dan misalkan adalah α, maka:
1 + 2 + 3 =
6 = 6 → cos a
cos a = 1
α = 0⁰
Jawaban : A

Soal No.58

Jika titik P(2,3,5) , Q(1, -2, 1) , dan R(3,0,1) dengan = dan =  dan  maka proyeksi orthogonal vektor  dan  adalah …

1. 3 – 6 +
2. -3 + 6 +
3. -3 + 6
4. 3 + 6
5. -3 – 6

PEMBAHASAN :
Diketahui:
P(2,3,5)
Q(1, -2, 1)
R(3,0,1)
= dan = 

Jawaban : E

Soal No.59

Jika vektor-vektor = + p + 2, = 2 + 2 + , dan = – 2 + 3 dengan  tegak lurus . Maka (2 + )  adalah …

1. 10
2. 22
3. 13
4. 17
5. 52

PEMBAHASAN :
Diketahui:
= + p + 2, = 2 + 2 + , dan = – 2 + 3
 tegak lurus  berlaku .   = 0
1.2 + 2.p + 2.1 = 0
2 + 2p + 2 = 0
4 + 2p = 0
2p = – 4
p = – 2 → = – 2 + 2

Jawaban : D

Soal No.60

Jika vektor = (2, p, -3) dan  = (1, 4, 2p) dengan vektor  tegak lurus pada  maka nilai p adalah …

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4

PEMBAHASAN :
Diketahui:
vektor  = (2, p, -3) dan  = (1, 4, 2p)
vektor tegak lurus pada

Maka berlaku . = 0
(2.1) + (p.4) + (-3.2p) = 0
2 + 4p -6p = 0
-2p = -2
p = 1
Jawaban : B