Rangkuman Materi Vektor Kelas X/10

Pengertian

Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. Contoh : vektor  memiliki titik pangkal P dan titik ujung Q. Sedangkan panjang vektor dilambangkan dengan . Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil misalkan , , . Misalkan pada gambar dibawah ini:

Maka vektor dapat ditulis . Pada diagram cartesius jika dimisalkan titik A (a_1, a₂) dan titik B (b₁, b₂)

Operasi Aljabar Pada Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan vektor

Secara geometri penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut

1. Cara segitiga
   titik pangkal vektor  berimpit ruas dengan titik ujung vektor . Jumlah vektor dan  didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor ke titik ujung vektor . Ruas garis ini diwakili oleh vektor . Sehingga .
   
2. Aturan jajar genjang
   Titik pangkal vektor dan  harus berimpit.
   
   Jika vektor  dan di R²
   
   Jika menggunakan pasangan terurut
    + = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
    – = (a₁ – b₁, a₂ – b₂)

Perkalian Vektor

1. Perkalian skalar dengan vektor
   Jika k skalar tak nol dan vektor  = a₁ i + a₂ j + a₃ k maka vektor k = (ka₁, ka₂, ka₃).
2. Perkalian skalar dua vektor
   Jika vektor  = a₁ i + a₂ j + a₃ k dan vektor = b₁ i + b₂ j + b₃ k maka . = a₁ b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
3. Perkalian skalar dua vektor jika membentuk sudut
   
   Jika  dan vektor tak nol dan sudut α diantara vektor  dan . Maka perkalian skalar vektor  dan adalah . = ||.|| cos α

Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor

Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain

Saling Tegak Lurus

Jika tegak lurus antara vektor  dengan vektor maka . = 0

Sejajar

Jika vektor  sejajar dengan vektor kalau  = β dengan syarat β ≠ 0

Jika β > 0 dua vektor tersebut searah

Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah

Sudut Dua Vektor

Jika vector (a₁, a₂, a₃) dan vektor (b₁, b₂, b₃) sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor terbut adalah

Proyeksi vektor

1. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah
2. Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor

Perbandingan vektor

Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:

2. Titik N membagi PQ di dalam
   
   PN : NQ = m : n
3. Titik N membagi PQ di luar
   
   PN : NQ = m : (-n)

Contoh Soal & Pembahasan Vektor Kelas X/10

Soal No.1 (SBMPTN 2017)

Vektor a dan b membentuk sudut α dengan sin α = . Jika |a| =  dan a.b = maka b.b =…

1. 5
2. 6
3. 7
4. 8
5. 9

PEMBAHASAN :
Diketahui:
|a| =
a.b =
sin α =
menentukan |b| dari rumusan cosinus



|b| =
maka, b.b = |b|² = ()² = 7
Jawaban : C

1. u.v = | w |
2. 
3. | u-w | = | v |
4. u – v tegak lurus w
5. u + v tegak lurus w

PEMBAHASAN :
Diketahui:
| v – w | = | u – w |
Kedua sisi di akarkan

v.v + w.w – 2v.w = u.u + w.w – 2 u.w
|v|² + |w|² – 2v.w = |u|² + |w|² – 2u.w
Dari soal diketahui | u | = | v | maka
v.w = u.w
u.w – v.w = 0
(u.w).w = 0
Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w
Jawaban : D

Diketahui vektor = , = ,dan = . Jika  tegak lurus , hasil dari +-2 =……

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.4 (SBMPTN 2014)

Vektor – vektor u, v, dan x tidak nol. Vektor u + v tegak lurus u –x , jika …

1. | u + v | = | u – v |
2. | v | = | x |
3. u.u = v.v, v = -x
4. u.u = v.v , v = x
5. u.v = v.v

PEMBAHASAN :
Diketahui
u + v tegak lurus u – x, maka:
(u + v ) . ( u – x ) = 0
u.u –u .x +u.v – v.x = 0
Jika v = x maka
u.u – u.v + u.v – v.v = 0
u.u – v.v = 0
u.u = v.v = 0
Jawaban : D

Soal No.5 (UN 2012)

Diketahui vektor = i +2j –xk, = 3i – 2j + k, dan = 2i + j + 2k . Vektor  tegak lurus maka( + ) .( – ) adalah…

1. -4
2. -2
3. 0
4. 2
5. 4

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.6 (SBMPTN 2014)

Diberikan limas T.ABC.

Misalkan u = ,v = , w = . Jika P adalah titik berat ΔABC maka =

1. ( u + v + w )
2. ( u + v + w )
3. ( u + v + w )
4. ( u + v + w )
5. u + v + w

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.7 (UN 2005)

Diketahui titik A(6,4,7), B(2,-4,3),dan P(-1,4,2), titik R terletak pada garis AB sehingga AR:RB = 3:1. Panjang vektor PR adalah…

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.8 (SNMPTN 2010)

Diketahui , dan vektor dalam dimensi -3 . Jika   dan   ( + 2), Maka .(2 – ) adalah …

1. 4
2. 2
3. 1
4. 0
5. -1

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.9 (SBMPTN 2014)

Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C segaris (kolinier), perbandingan ….

1. 1 : 2
2. 2 : 1
3. 2 : 5
4. 5 : 7
5. 7 : 5

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.10 (SNMPTN 2012)

Diketahui |u| = 1 dan |v| = 2. Jika dan membentuk sudut 30° maka ( + ). =….

1. 
2. 
3. 
4. 3
5. 5

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.11 (EBTANAS 1989)

Titik R adalah terletak di antara titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1) yang membagi garis PQ di dalam perbandingan 2:1 maka koordinat R adalah….

1. (0,9,6)
2. (0,3,2)
3. 
4. 
5. (1,8,7)

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.12 (SIMAK UI 2010)

Diketahui: dan dan vektor merupakan proyeksi ortogonal vektor terhadap . Jika vektor memiliki panjang yang sama dengan vektor , maka nilai dari x adalah….

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.13 (UN 2014)

Diketahui vektor-vektor = bi – 12j + ak dan = ai + aj – bk. Sudut antara vektor dan vektor dan vektor adalah θ dengan cos θ = . Proyeksi vektor pada adalah = -4i-4j+4k. Nilai dari b =…..

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.14 (SIMAK UI 2010 IPA)

Diketahui vektor-vektor = (2, 2, z), = (-8, y, -5) , = (x, 4y, 4) dan = (2x, 22, -z, 8). Jika vektor  tegak lurus dengan vektor dan vektor sejajar dengan maka (y+z) =

1. -5
2. -1
3. 1
4. 2
5. 5

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.15 (UN 2013)

Diketahui dan apabila α adalah sudut yang di bentuk antara vektor dan vektor maka tan α =….

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.16 (SIMAK UI 2010)

Vektor , , adalah vektor-vektor unit yang masing-masing membentuk sudut 60^o dengan vektor lainnya. Maka ( – )( – ) adalah….

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.17 (UN 2011)

Diketahui segitiga ABC dengan A(2,1,2), B(6,1,2), dan C(6,5,2). Jika mewakili dan mewakili maka sudut yang dibentuk oleh vector dan adalah…

1. 30^o
2. 45^o
3. 60^o
4. 90^o
5. 120^o

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.18 (UM UGM 2010 IPA)

vektor = (x, y, 1) sejajar = (-1, 3, z) , jika tegak lurus (3, -2, 3) maka y = ….

1. 3
2. 1
3. 
4. 
5. -1

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.19 (EBTANAS 2001)

Diketahui ||||dan | – | berturut-turut adalah 4, 6 dan nilai | + | =…

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.20 (UMB PTN 2009)

Jika vektor  dan merupakan ( + ). = 12 , || = 2 dan || = 3 maka sudut antara  dan adalah….

1. 60°
2. 45°
3. 30⁰
4. 25⁰
5. 20⁰

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.21 (UN 2009)

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan koordinat titik sudut A (3,0,0), C(0, ,0), D(0,0,0), F(3, , 4) dan H(0,0,4). Besar sudut antara vektor dan adalah….

1. 15^o
2. 30 ^o
3. 45^o
4. 90^o
5. 120 ^o

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.22 (SNMPTN 2009)

Diketahui segi tiga ABC. Titik p di tengah AC dan Q pada BC sehingga BQ = QC. Jika = , = dan =  maka =…..

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.23 (UMPTN 2001)

Jika  = (2, k) dan = (3, 5) dan ∠( ,) = maka konstanta positif k adalah…..

1. 
2. 
3. 2
4. 4
5. 8

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.24 (UN 2014)

Diketahui vektor  = 2i – 2pj + 4k dan = i – 3j + 4k. Jika panjang proyeksi vektor  pada adalah . nilai p =….

1. -3
2. -2
3. -1
4. 1
5. 3

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.25 (UMPTN 2004)

Bila panjang proyeksi vektor = i – 2j pada vektor  = xi + yj dengan x,y > 0 adalah 1 maka nilai 4x – 3y + 1=…..

1. 1
2. -1
3. 0
4. 2
5. 3

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.26 (UN 2009)

Diketahui titik A(2,7,8), B(-1,1-1) dan C(0,3,2). Jika wakil dan wakil maka proyeksi orthogonal vektor pada adalah …

1. -3i – 6j – 9k
2. i + 2j + 3k
3. i + j + k
4. -9i – 18j – 27k
5. 3i + 6j +9k

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.27 (SNMPTN 2011)

Diketahui vektor = (a³ – 2a², -9, -1+ b ), = (3, -a + b, 9) dengan -4 < a < 4. Nilai maksimum . adalah….

1. -9
2. -7
3. -5
4. 5
5. 9

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.28 (UN 2006)

Vektor z adalah proyeksi vektor x = (-, 3, 1) pada vektor y = (, 2, 3). Panjang vektor z =…

1. 
2. 1
3. 
4. 2
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.29 (SBMPTN 2013)

Diketahui A (4,0,0), B(0,-4,0), dan C (0,0,8) Panjang vektor proyeksi ke vektor adalah…..

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.30 (UN 2013)

Diketahui vektor  = i – 2j + k dan = 3i + j – 2k. Vektor mewakili vektor hasil proyeksi orthogonal vektor pada vektor  maka vektor = …

1. (i – 2j + k)
2. (3i – 2j + 2k)
3. (i – 2j + k)
4. (3i – j + 2k)
5. (i – 2j + k)

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.31 (UN 2004)

Diketahui vektor dan vektor . Jika proyeksi skalar orthogonal pada arah vektor sama dengan setengah panjang vektor maka nilai p = ….

1. -4 atau -2
2. -4 atau 2
3. 4 atau -2
4. 8 atau -1
5. -8 atau 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : B