DAFTAR ISI
Rangkuman Materi Vektor Kelas X/10
Pengertian
Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. Contoh : vektor memiliki titik pangkal P dan titik ujung Q. Sedangkan panjang vektor dilambangkan dengan
. Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil misalkan
,
,
. Misalkan pada gambar dibawah ini:
Maka vektor dapat ditulis
. Pada diagram cartesius jika dimisalkan titik A (a1, a2) dan titik B (b1, b2)
Operasi Aljabar Pada Vektor
Penjumlahan dan Pengurangan vektor
Secara geometri penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut
- Cara segitiga
titik pangkal vektorberimpit ruas dengan titik ujung vektor
. Jumlah vektor
dan
didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor
ke titik ujung vektor
. Ruas garis ini diwakili oleh vektor
. Sehingga
.
- Aturan jajar genjang
Titik pangkal vektordan
harus berimpit.
Jika vektordan
di R2
Jika menggunakan pasangan terurut
+
= (a1 + b1, a2 + b2)
–
= (a1 – b1, a2 – b2)
Perkalian Vektor
- Perkalian skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor= a1 i + a2 j + a3 k maka vektor k
= (ka1, ka2, ka3).
- Perkalian skalar dua vektor
Jika vektor= a1 i + a2 j + a3 k dan vektor
= b1 i + b2 j + b3 k maka
.
= a1 b1 + a2b2 + a3b3
- Perkalian skalar dua vektor jika membentuk sudut
Jikadan
vektor tak nol dan sudut α diantara vektor
dan
. Maka perkalian skalar vektor
dan
adalah . = |
|.|
| cos α
Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor
Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain
Saling Tegak Lurus
Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor
maka
.
= 0
Sejajar
Jika vektor sejajar dengan vektor
kalau
= β
dengan syarat β ≠ 0
Jika β > 0 dua vektor tersebut searah
Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah
Sudut Dua Vektor
Jika vector (a1, a2, a3) dan vektor (b1, b2, b3) sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor terbut adalah
Proyeksi vektor
- Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah
- Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor
Perbandingan vektor
Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:
Contoh Soal & Pembahasan Vektor Kelas X/10
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
PEMBAHASAN :
Diketahui:
|a| =
a.b =
sin α =
menentukan |b| dari rumusan cosinus
|b| =
maka, b.b = |b|2 = ()2 = 7
Jawaban : C
- u.v = | w |
- | u-w | = | v |
- u – v tegak lurus w
- u + v tegak lurus w
PEMBAHASAN :
Diketahui:
| v – w | = | u – w |
Kedua sisi di akarkan
v.v + w.w – 2v.w = u.u + w.w – 2 u.w
|v|2 + |w|2 – 2v.w = |u|2 + |w|2 – 2u.w
Dari soal diketahui | u | = | v | maka
v.w = u.w
u.w – v.w = 0
(u.w).w = 0
Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w
Jawaban : D








- | u + v | = | u – v |
- | v | = | x |
- u.u = v.v, v = -x
- u.u = v.v , v = x
- u.v = v.v
PEMBAHASAN :
Diketahui
u + v tegak lurus u – x, maka:
(u + v ) . ( u – x ) = 0
u.u –u .x +u.v – v.x = 0
Jika v = x maka
u.u – u.v + u.v – v.v = 0
u.u – v.v = 0
u.u = v.v = 0
Jawaban : D









- -4
- -2
- 0
- 2
- 4



( u + v + w )
( u + v + w )
( u + v + w )
( u + v + w )
- u + v + w











- 4
- 2
- 1
- 0
- -1

- 1 : 2
- 2 : 1
- 2 : 5
- 5 : 7
- 7 : 5





- 3
- 5
- (0,9,6)
- (0,3,2)
- (1,8,7)























- -5
- -1
- 1
- 2
- 5











- -¼
- -½
- ¼
- ½






- 30o
- 45o
- 60o
- 90o
- 120o



- 3
- 1
- 1/3
- -1/3
- -1
















- 60°
- 45°
- 300
- 250
- 200




- 15o
- 30 o
- 45o
- 90o
- 120 o
PEMBAHASAN :












- ¼
- ½
- 2
- 4
- 8
PEMBAHASAN :





- -3
- -2
- -1
- 1
- 3


- 1
- -1
- 0
- 2
- 3






- -3i – 6j – 9k
- i + 2j + 3k
i +
j + k
- -9i – 18j – 27k
- 3i + 6j +9k





- -9
- -7
- -5
- 5
- 9

- ½
- 1
- 2








(i – 2j + k)
(3i – 2j + 2k)
(i – 2j + k)
(3i – j + 2k)
(i – 2j + k)





- -4 atau -2
- -4 atau 2
- 4 atau -2
- 8 atau -1
- -8 atau 1
- vektor
- panjang vektor
- vektor satuan dari vektor
PEMBAHASAN :
= (2, 3, -4) – (4, 0, -2)
= (-2, 3, -2)
= -2+3
-2
- panjang vektor
- vektor satuan dari vektor

- ±
- ±
- ±
- ±10
- ±5
PEMBAHASAN :
Jawaban : A




+
–
–
+
–
–
+
+
- –
+
–
PEMBAHASAN :
ABCD adalah jajar genjang, maka berlaku hubungan:
Jawaban : B







+ 2
–
- –
– 2
–
– 2
+
- –
+ 2
+
+ 2
+
PEMBAHASAN :
Jawaban : E













- 3
+
– 2
- 7
+
+ 2
- 7
+ 13
– 3
+ 3
– 2
- 3
+
+ 2
PEMBAHASAN :
Jawaban : C






PEMBAHASAN :
Jawaban : A




- 5
- 6
- 2
- 4
- 3
PEMBAHASAN :
Jawaban : D




–
+
- –
–
–
+
PEMBAHASAN :
Jawaban : A





–
+
- –
+
- –
–
+
PEMBAHASAN :
Jawaban : B

- (1, -2, 15)
- (-3, -2, 1)
- (2, 5, 12)
- (3, -2, 10)
- (3, -5, 10)
PEMBAHASAN :
Jawaban : E



PEMBAHASAN :
Jawaban : D


- 6
- 3
- -5
- 1
- -7
PEMBAHASAN :
Syarat vektor segaris yaitu = k
Perhatikan persamaan (3) dapat diketahui bahwa k = ½
Dengan k = ½
Persamaan (1) → y = 4
Persamaan (2) → x = 2
Maka x + y = 2 + 4 = 6
Jawaban : A












- 5
- 3
- -2
- 6
- -9
PEMBAHASAN :
Perhatikan persamaan berikut:
Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m → – 5 = 2k – 3m
Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m
. 7 = -7k
. k = – 1
-5 = 2k – 3m
-5 = 2(-1) – 3m
-5 = -2 – 3m
3m = -2 + 5
3m = 3
m = 1
maka k – m = – 1 – 1 = – 2
Jawaban : C




- 5
- 3
- -2
- 6
- -9
PEMBAHASAN :
Perhatikan persamaan berikut:
Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m → – 5 = 2k – 3m
Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m
. 7 = -7k
. k = – 1
-5 = 2k – 3m
-5 = 2(-1) – 3m
-5 = -2 – 3m
3m = -2 + 5
3m = 3
m = 1
maka k – m = – 1 – 1 = – 2
Jawaban : C





PEMBAHASAN :
Jawaban : B




- 9 atau -1½
- 3 atau -½
- 1 atau ½
- 9 atau -½
- 3 atau 1
PEMBAHASAN :
Jawaban : A


PEMBAHASAN :
Jawaban : C




PEMBAHASAN :
Jawaban : E








PEMBAHASAN :
Jawaban : D




- 1 dan 2
- 2 dan -3
- -2 dan -3
- 4 dan -1
- -1 dan -3
PEMBAHASAN :
Diketahui:
= (6a, 1, a3)
= (1, 5a2 , 1)
.
= (6a)(1) + (1)(5a2 ) + (a3 )(1)
F (a) = 6a + 5a2 + a3
Syarat stasioner, sebagai berikut:
F(a) = 0
6a + 5a2 + a3 = 0 (dibagi a)
6 + 5a + a2 = 0
(a + 3)(a + 2) = 0
Jawaban : C
- 12,2
- 16,2
- 27,1
- 34,2
- 54,3
PEMBAHASAN :
Jika dimisalkan
Vektor =
. = (4, 1, -2) – (3, 8, 2) = (1, -7, -4)
Vektor =
. = (-1, 3, 5) – (3, 8, 2) = (-4, -5, 3)
. = ((-7).3 – (-5).(-4)) + ((-4).(-4) – 3.1)
+ (1.-5 – (-7).(-4))
. =(-21 – 20) + (16 – 3)
+ (-5 – 28)
. =(-41) + 13
-33
Jawaban : C










- 4
+ 2
+ 3
- -4
–
+ 3
- 6
+ 3
+ 2
+ 4
– 6
- 6
+ 4
+ 4
PEMBAHASAN :
Jawaban : E





(1, 1, 1)
(1, 3, 5)
(3, 1, 1)
(3, 1, 2)
(1, 1, 3)
PEMBAHASAN :
Perhatikan gambar kubus OABCDEFG!
Gambar
Jawaban : B


PEMBAHASAN :
Jawaban : E






- -1
- -2
- -3
- -4
- -5
PEMBAHASAN :
Jawaban : D










- 3
+ 2
+ 2,5
- 5
+ 2,5
– 2,5
- 5
+ 1,5
– 2
- 3
– 2
+ 5
- 3
+ 1,5
– 1,5
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Vektor orthogonal vektor pada vektor
=
Vektor = 6
+ 2
–
Vektor = 4
+ 2
– 2
Dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
Jawaban : B












- 00
- 300
- 600
- 900
- 1800
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Vektor =
+
–
Vektor =
+
–
Dapat menggunakan rumus perkalian skalar sebagai berikut:
.
= |
|.|
| cos α
Sudut dan
misalkan adalah α, maka:
1 + 2 + 3 =
6 = 6 → cos a
cos a = 1
α = 00
Jawaban : A






- 3
– 6
+
- -3
+ 6
+
- -3
+ 6
- 3
+ 6
- -3
– 6
PEMBAHASAN :
Diketahui:
P(2,3,5)
Q(1, -2, 1)
R(3,0,1)
=
dan
=
Jawaban : E

















- 10
- 22
- 13
- 17
- 52
PEMBAHASAN :
Diketahui:
=
+ p
+ 2
,
= 2
+ 2
+
, dan
=
– 2
+ 3
tegak lurus
berlaku
.
= 0
1.2 + 2.p + 2.1 = 0
2 + 2p + 2 = 0
4 + 2p = 0
2p = – 4
p = – 2 → =
– 2
+ 2
Jawaban : D




- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
PEMBAHASAN :
Diketahui:
vektor = (2, p, -3) dan
= (1, 4, 2p)
vektor tegak lurus pada
Maka berlaku .
= 0
(2.1) + (p.4) + (-3.2p) = 0
2 + 4p -6p = 0
-2p = -2
p = 1
Jawaban : B


PEMBAHASAN :
Diketahui:
Persegi panjang OPRQ
S adalah titik tengah OP
C titik potong RS dengan diagonal PQ
dan
RC : SC = 2 : 1
Maka:
Jawaban : C

- -3
- 2
- 3
- 0
- -2
PEMBAHASAN :
Titik A(2, 4, 8) dan B(2, 4, -4)
Titik P membagi AB dengan perbandingan 3 : 1
Menghitung vektor P sebagai berikut:
Maka panjang = |
|
Jawaban : C
















–
+
- –
+
+
+
+ 2
- 3
–
–
- 2
– 5
+
PEMBAHASAN :
Diketahui:
vektor = 2
+ 3
–
vektor = a
– 2
+ 2
vektor = -3
+
–
Vektor tegak lurus vektor
Jawaban : A








- 1
- -1
- 3
- -3
- 0
PEMBAHASAN :
Diketahui:
= 2
+ 3
–
= a
– 2
+ 2
Vektor saling tegak lurus .
= 0
⇒ 3.2 + a.4 + (-2).1 = 0
⇒ 6 + 4a – 2 = 0
⇒ 4a = – 4
⇒ a = – 1
Jawaban : B










PEMBAHASAN :
Jawaban : D
Fitur Terbaru!!
Kini kamu bisa bertanya soal yang tidak ada di artikel kami.
Ajukan pernyataan dan dapatkan jawaban dari tim ahli kami.
Untuk bertanya KLIK DISINI
contoh dan soal teknik fisika serta pembahasan sangat membantu untuk saya belajar lebih semangat