Home / Contoh Soal Matematika / Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Vektor

Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Vektor

Rangkuman Vektor

Pengertian

Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. Contoh : vektor memiliki titik pangkal P dan titik ujung Q. Sedangkan panjang vektor dilambangkan dengan . Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil misalkan , , . Misalkan pada gambar dibawah ini:

vek1

Maka vektor dapat ditulis . Pada diagram cartesius jika dimisalkan titik A (a1, a2) dan titik B (b1, b2)

vek2

 

vek3

vek4

Operasi Aljabar Pada Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan vektor

Secara geometri penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut

  1. Cara segitiga
    titik pangkal vektor berimpit ruas dengan titik ujung vektor . Jumlah vektor dan didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor ke titik ujung vektor . Ruas garis ini diwakili oleh vektor . Sehingga .
    vek5
  2. Aturan jajar genjang
    Titik pangkal vektor dan harus berimpit.
    vek6
    Jika vektor dan di R2
    vek7
    Jika menggunakan pasangan terurut
    + = (a1 + b1, a2 + b2)
    = (a1 – b1, a2 – b2)

Perkalian Vektor

  1. Perkalian skalar dengan vektor
    Jika k skalar tak nol dan vektor = a1 i + a2 j + a3 k maka vektor k = (ka1, ka2, ka3).
  2. Perkalian skalar dua vektor
    Jika vektor = a1 i + a2 j + a3 k dan vektor = b1 i + b2 j + b3 k maka . = a1 b1 + a2b2 + a3b3
  3. Perkalian skalar dua vektor jika membentuk sudut
    vek8
    Jika dan vektor tak nol dan sudut α diantara vektor dan . Maka perkalian skalar vektor dan adalah . = ||.|| cos α

Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor

 

vek9

Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain

Saling Tegak Lurus

Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor maka . = 0

Sejajar

Jika vektor sejajar dengan vektor kalau = β dengan syarat β ≠ 0

Jika β > 0 dua vektor tersebut searah

Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah

Sudut Dua Vektor

Jika vector (a1, a2, a3) dan vektor (b1, b2, b3) sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor terbut adalah

vek10

Proyeksi vektor

vek11

  1. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah
  2. Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor

Perbandingan vektor

vek12

vek13

Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:

  1. Titik N membagi PQ di dalam
    vek14
    PN : NQ = m : n
  1. Titik N membagi PQ di luar
    vek15
    PN : NQ = m : (-n)

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Soal No.1 (SBMPTN 2014)
Vektor-vektor u, v, dan w tak nol dan | u | = | v |, Jika | v-w | = | u-w | maka…
  1. u.v = | w |
  2. | u-w | = | v |
  3. u – v tegak lurus w
  4. u + v tegak lurus w

PEMBAHASAN :
Diketahui:
| v – w | = | u – w |
Kedua sisi di akarkan

v.v + w.w – 2v.w = u.u + w.w – 2 u.w
|v|2 + |w|2 – 2v.w = |u|2 + |w|2 – 2u.w
Dari soal diketahui | u | = | v | maka
v.w = u.w
u.w – v.w = 0
(u.w).w = 0
Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w
Jawaban : D

Soal No.2 (UN 2014)
Diketahui vektor = , = ,dan = . Jika tegak lurus , hasil dari +-2 =……

PEMBAHASAN :
vek16
Jawaban : A

Soal No.3 (SBMPTN 2014)
Vektor – vektor u, v, dan x tidak nol. Vektor u + v tegak lurus u –x , jika …
  1. | u + v | = | u – v |
  2. | v | = | x |
  3. u.u = v.v, v = -x
  4. u.u = v.v , v = x
  5. u.v = v.v

PEMBAHASAN :
Diketahui
u + v tegak lurus u – x, maka:
(u + v ) . ( u – x ) = 0
u.u –u .x +u.v – v.x = 0
Jika v = x maka
u.u – u.v + u.v – v.v = 0
u.u – v.v = 0
u.u = v.v = 0
Jawaban : D

Soal No.4 (UN 2012)
Diketahui vektor = i +2j –xk, = 3i – 2j + k, dan = 2i + j + 2k . Vektor tegak lurus maka( + ) .() adalah…
  1. -4
  2. -2
  3. 0
  4. 2
  5. 4

PEMBAHASAN :
vek17
Jawaban : C

Soal No.5 (SBMPTN 2014)
Diberikan limas T.ABC.
vek18
Misalkan u = ,v = , w = . Jika P adalah titik berat ΔABC maka =
  1. ( u + v + w )
  2. ( u + v + w )
  3. ( u + v + w )
  4. ( u + v + w )
  5. u + v + w

PEMBAHASAN :
vek19
Jawaban : A

Soal No.6 (UN 2005)
Diketahui titik A(6,4,7), B(2,-4,3),dan P(-1,4,2), titik R terletak pada garis AB sehingga AR:RB = 3:1. Panjang vektor PR adalah…

PEMBAHASAN :
vek20
Jawaban : C

Soal No.7 (SNMPTN 2010)
Diketahui , dan vektor dalam dimensi -3 . Jika dan ( + 2), Maka .(2) adalah …
  1. 4
  2. 2
  3. 1
  4. 0
  5. -1

PEMBAHASAN :
vek21
Jawaban : D

Soal No.8 (SBMPTN 2014)
Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C segaris (kolinier), perbandingan ….
  1. 1 : 2
  2. 2 : 1
  3. 2 : 5
  4. 5 : 7
  5. 7 : 5

PEMBAHASAN :
vek22
Jawaban : A

Soal No.9 (SNMPTN 2012)
Diketahui |u| = 1 dan |v| = 2. Jika dan membentuk sudut 30° maka ( + ). =….
  1. 3
  2. 5

PEMBAHASAN :
vek23
Jawaban : A

Soal No.10 (EBTANAS 1989)
Titik R adalah terletak di antara titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1) yang membagi garis PQ di dalam perbandingan 2:1 maka koordinat R adalah….
  1. (0,9,6)
  2. (0,3,2)
  3. (1,8,7)

PEMBAHASAN :
vek24
Jawaban : B

Soal No.11 (SIMAK UI 2010)
Diketahui: dan dan vektor merupakan proyeksi ortogonal vektor terhadap . Jika vektor memiliki panjang yang sama dengan vektor , maka nilai dari x adalah….

PEMBAHASAN :
vek25
Jawaban : C

Soal No.12 (UN 2014)
Diketahui vektor-vektor = bi – 12j + ak dan = ai + aj – bk. Sudut antara vektor dan vektor dan vektor adalah θ dengan cos θ = . Proyeksi vektor pada adalah = -4i-4j+4k. Nilai dari b =…..

PEMBAHASAN :
vek26
Jawaban : B

Soal No.13 (SIMAK UI 2010 IPA)
Diketahui vektor-vektor = (2, 2, z), = (-8, y, -5) , = (x, 4y, 4) dan = (2x, 22, -z, 8). Jika vektor tegak lurus dengan vektor dan vektor sejajar dengan maka (y+z) =
  1. -5
  2. -1
  3. 1
  4. 2
  5. 5

PEMBAHASAN :
vek27
Jawaban : C

Soal No.14 (UN 2013)
Diketahui dan apabila α adalah sudut yang di bentuk antara vektor dan vektor maka tan α =….

PEMBAHASAN :
vek28
Jawaban : D

Soal No.15 (SIMAK UI 2010)
Vektor , , adalah vektor-vektor unit yang masing-masing membentuk sudut 60o dengan vektor lainnya. Maka ()() adalah….

PEMBAHASAN :
vek29
Jawaban : B

Soal No.16 (UN 2011)
Diketahui segitiga ABC dengan A(2,1,2), B(6,1,2), dan C(6,5,2). Jika mewakili dan mewakili maka sudut yang dibentuk oleh vector dan adalah…
  1. 30o
  2. 45o
  3. 60o
  4. 90o
  5. 120o

PEMBAHASAN :
vek30
Jawaban : B

Soal No.17 (UM UGM 2010 IPA)
vektor = (x, y, 1) sejajar = (-1, 3, z) , jika tegak lurus (3, -2, 3) maka y = ….
  1. 3
  2. 1
  3. -1

PEMBAHASAN :
vek31
Jawaban : E

Soal No.18 (EBTANAS 2001)
Diketahui ||||dan || berturut-turut adalah 4, 6 dan nilai | + | =…

PEMBAHASAN :
vek32
Jawaban : D

Soal No.19 (UMB PTN 2009)
Jika vektor dan merupakan ( + ). = 12 , || = 2 dan || = 3 maka sudut antara dan adalah….
  1. 60°
  2. 45°
  3. 300
  4. 250
  5. 200

PEMBAHASAN :
vek33
Jawaban : A

Soal No.20 (UN 2009)
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan koordinat titik sudut A (3,0,0), C(0, ,0), D(0,0,0), F(3, , 4) dan H(0,0,4). Besar sudut antara vektor dan adalah….
  1. 15o
  2. 30 o
  3. 45o
  4. 90o
  5. 120 o

PEMBAHASAN :

vek34
Jawaban : C

Soal No.21 (SNMPTN 2009)
Diketahui segi tiga ABC. Titik p di tengah AC dan Q pada BC sehingga BQ = QC. Jika = , = dan = maka =…..

PEMBAHASAN :
vek35
Jawaban : A

Soal No.22 (UMPTN 2001)
Jika = (2, k) dan = (3, 5) dan ∠( ,) = maka konstanta positif k adalah…..
  1. 2
  2. 4
  3. 8

PEMBAHASAN :

vek36
Jawaban : B

Soal No.23 (UN 2014)
Diketahui vektor = 2i – 2pj + 4k dan = i – 3j + 4k. Jika panjang proyeksi vektor pada adalah . nilai p =….
  1. -3
  2. -2
  3. -1
  4. 1
  5. 3

PEMBAHASAN :
vek37
Jawaban : B

Soal No.24 (UMPTN 2004)
Bila panjang proyeksi vektor = i – 2j pada vektor = xi + yj dengan x,y > 0 adalah 1 maka nilai 4x – 3y + 1=…..
  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. 2
  5. 3

PEMBAHASAN :
vek38
Jawaban : A

Soal No.25 (UN 2009)
Diketahui titik A(2,7,8), B(-1,1-1) dan C(0,3,2). Jika wakil dan wakil maka proyeksi orthogonal vektor pada adalah …
  1. -3i – 6j – 9k
  2. i + 2j + 3k
  3. i + j + k
  4. -9i – 18j – 27k
  5. 3i + 6j +9k

PEMBAHASAN :
vek39
Jawaban : A

Soal No.26 (SNMPTN 2011)
Diketahui vektor = (a3 – 2a2, -9, -1+ b ), = (3, -a + b, 9) dengan -4 < a < 4. Nilai maksimum . adalah….
  1. -9
  2. -7
  3. -5
  4. 5
  5. 9

PEMBAHASAN :
vek40
Jawaban : C

Soal No.27 (UN 2006)
Vektor z adalah proyeksi vektor x = (-, 3, 1) pada vektor y = (, 2, 3). Panjang vektor z =…
  1. 1
  2. 2

PEMBAHASAN :
vek41
Jawaban : C

Soal No.28 (SBMPTN 2013)
Diketahui A (4,0,0), B(0,-4,0), dan C (0,0,8) Panjang vektor proyeksi ke vektor adalah…..

PEMBAHASAN :
vek42
Jawaban : B

Soal No.29 (UN 2013)
Diketahui vektor = i – 2j + k dan = 3i + j – 2k. Vektor mewakili vektor hasil proyeksi orthogonal vektor pada vektor maka vektor = …
  1. (i – 2j + k)
  2. (3i – 2j + 2k)
  3. (i – 2j + k)
  4. (3i – j + 2k)
  5. (i – 2j + k)

PEMBAHASAN :
vek43
Jawaban : A

Soal No.30 (UN 2004)
Diketahui vektor dan vektor . Jika proyeksi skalar orthogonal pada arah vektor sama dengan setengah panjang vektor maka nilai p = ….
  1. -4 atau -2
  2. -4 atau 2
  3. 4 atau -2
  4. 8 atau -1
  5. -8 atau 1

PEMBAHASAN :
vek44
Jawaban : B

Lihat Juga

Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Turunan

Turunan Pertama Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Jika f(x) = xn, maka f …

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

error: