Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Vektor

27/10/2016 Contoh Soal Matematika, Rangkuman Materi 2 Komentar 39,272 Dilihat

Rangkuman Vektor

Pengertian

Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. Contoh : vektor $\vec{PQ}$ memiliki titik pangkal P dan titik ujung Q. Sedangkan panjang vektor $\vec{PQ}$ dilambangkan dengan $|\vec{PQ}|$ . Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil misalkan $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ . Misalkan pada gambar dibawah ini:

Maka vektor $\vec{PQ}$ dapat ditulis $\vec{a}$ . Pada diagram cartesius jika dimisalkan titik A (a₁_,a₂) dan titik B (b₁, b₂)

Operasi Aljabar Pada Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan vektor

Secara geometri penjumlahan vektor $\vec{a} \pm \vec{b} = \vec {c}$ dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut

Cara segitiga
titik pangkal vektor $\vec{b}$ berimpit ruas dengan titik ujung vektor $\vec{a}$ . Jumlah vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor $\vec{a}$ ke titik ujung vektor $\vec{b}$ . Ruas garis ini diwakili oleh vektor $\vec{c}$ . Sehingga $\vec{a} \pm \vec{b} = \vec {c}$ .
Aturan jajar genjang
Titik pangkal vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ harus berimpit.

Jika vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ di R²

Jika menggunakan pasangan terurut
$\vec{a}$ + $\vec{b}$ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
$\vec{a}$ – $\vec{b}$ = (a₁ – b₁, a₂ – b₂)

Perkalian Vektor

Perkalian skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor $\vec{a}$ = a₁i + a₂j + a₃k maka vektor k $\vec{a}$ = (ka₁, ka₂, ka₃).
Perkalian skalar dua vektor
Jika vektor $\vec{a}$ = a₁i + a₂j + a₃k dan vektor $\vec{b}$ = b₁i + b₂j + b₃k maka $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Perkalian skalar dua vektor jika membentuk sudut

Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ vektor tak nol dan sudut α diantara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ . Maka perkalian skalar vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah . = | $\vec{a}$ |.| $\vec{b}$ | cos α

Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor

Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain

Saling Tegak Lurus

Jika tegak lurus antara vektor $\vec{a}$ dengan vektor $\vec{b}$ maka $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 0

Sejajar

Jika vektor $\vec{a}$ sejajar dengan vektor $\vec{b}$ kalau $\vec{a}$ = β $\vec{b}$ dengan syarat β ≠ 0

Jika β > 0 dua vektor tersebut searah

Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah

Sudut Dua Vektor

Jika vector (a₁, a₂, a₃) dan vektor (b₁, b₂, b₃) sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor terbut adalah

Proyeksi vektor

Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah $\vec{c}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{b}|}$
Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor $\vec{c}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{b}|^2}.\vec{b}$

Perbandingan vektor

Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:

Titik N membagi PQ di dalam

PN : NQ = m : n

Titik N membagi PQ di luar

PN : NQ = m : (-n)

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Soal No.1 (SBMPTN 2014)

Vektor-vektor u, v, dan w tak nol dan | u | = | v |, Jika | v-w | = | u-w | maka…

u.v = | w |
$w=\frac{2u+3v}{5}$
| u-w | = | v |
u – v tegak lurus w
u + v tegak lurus w

PEMBAHASAN :
Diketahui:
| v – w | = | u – w |
Kedua sisi di akarkan
$\sqrt{(v-w)^2}=\sqrt{(u-w)^2}$
v.v + w.w – 2v.w = u.u + w.w – 2 u.w
|v|² + |w|² – 2v.w = |u|² + |w|² – 2u.w
Dari soal diketahui | u | = | v | maka
v.w = u.w
u.w – v.w = 0
(u.w).w = 0
Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w
Jawaban : D

Soal No.2 (UN 2014)

Diketahui vektor $\vec{a}$ = , $\vec{b}$ = ,dan $\vec{c}$ = . Jika $\vec{a}$ tegak lurus $\vec{b}$ , hasil dari $\vec{a}$ + $\vec{b}$ -2 $\vec{c}$ =……

$\begin{pmatrix} -1\\ 14\\ -9 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1\\ 14\\ -4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1\\ 14\\ -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1\\ 14\\ -2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1\\ 14\\ -1 \end{pmatrix}$

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.3 (SBMPTN 2014)

Vektor – vektor u, v, dan x tidak nol. Vektor u + v tegak lurus u –x , jika …

| u + v | = | u – v |
| v | = | x |
u.u = v.v, v = -x
u.u = v.v , v = x
u.v = v.v

PEMBAHASAN :
Diketahui
u + v tegak lurus u – x, maka:
(u + v ) . ( u – x ) = 0
u.u –u .x +u.v – v.x = 0
Jika v = x maka
u.u – u.v + u.v – v.v = 0
u.u – v.v = 0
u.u = v.v = 0
Jawaban : D

Soal No.4 (UN 2012)

Diketahui vektor $\vec{a}$ = i +2j –xk, $\vec{b}$ = 3i – 2j + k, dan $\vec{c}$ = 2i + j + 2k . Vektor $\vec{a}$ tegak lurus $\vec{c}$ maka( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) .( $\vec{a}$ – $\vec{c}$ ) adalah…

-4
-2
0
2
4

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.5 (SBMPTN 2014)

Diberikan limas T.ABC.

Misalkan u = $\vec{TA}$ ,v = $\vec{TB}$ , w = $\vec{TC}$ . Jika P adalah titik berat ΔABC maka =

$\frac{1}{3}$ ( u + v + w )
$\frac{1}{2}$ ( u + v + w )
$\frac{2}{3}$ ( u + v + w )
$\frac{3}{4}$ ( u + v + w )
u + v + w

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.6 (UN 2005)

Diketahui titik A(6,4,7), B(2,-4,3),dan P(-1,4,2), titik R terletak pada garis AB sehingga AR:RB = 3:1. Panjang vektor PR adalah…

$2\sqrt{7}$
$2\sqrt{11}$
$2\sqrt{14}$
$4\sqrt{11}$
$4\sqrt{14}$

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.7 (SNMPTN 2010)

Diketahui $\vec{a}$ , $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ vektor dalam dimensi -3 . Jika $\vec{a}$ $\perp$ $\vec{b}$ dan $\vec{a}$ $\perp$ ( $\vec{b}$ + 2 $\vec{c}$ ), Maka $\vec{a}$ .(2 $\vec{b}$ – $\vec{c}$ ) adalah …

4
2
1
0
-1

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.8 (SBMPTN 2014)

Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C segaris (kolinier), perbandingan $\vec{AB} : \vec{BC}$ ….

1 : 2
2 : 1
2 : 5
5 : 7
7 : 5

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.9 (SNMPTN 2012)

Diketahui |u| = 1 dan |v| = 2. Jika $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ membentuk sudut 30° maka ( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ). $\vec{v}$ =….

$\sqrt{3}+4$
$\sqrt{3}+2$
$2\sqrt{3}+4$
3
5

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.10 (EBTANAS 1989)

Titik R adalah terletak di antara titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1) yang membagi garis PQ di dalam perbandingan 2:1 maka koordinat R adalah….

(0,9,6)
(0,3,2)
$\left ( \frac{1}{2}, 4, 3 \frac{1}{2} \right )$
$\left ( 1, 7 \frac{1}{3}, 2 \frac{1}{3} \right )$
(1,8,7)

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.11 (SIMAK UI 2010)

Diketahui: $\vec {a}= \begin{pmatrix} 4\\ -12\\ -6 \end{pmatrix}$ dan $\vec {b}= \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ -4 \end{pmatrix}$ dan vektor $\vec {c}$ merupakan proyeksi ortogonal vektor $\vec {a}$ terhadap $\vec {b}$ . Jika vektor $\vec {d}= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ x \end{pmatrix}$ memiliki panjang yang sama dengan vektor $\vec {c}$ , maka nilai dari x adalah….

$\frac{\sqrt{23}}{3}$
$\frac{\sqrt{17}}{3}$
$\frac{\sqrt{19}}{3}$
$\frac{\sqrt{23}}{3}$
$\frac{\sqrt{29}}{3}$

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.12 (UN 2014)

Diketahui vektor-vektor $\vec{u}$ = bi – 12j + ak dan $\vec{v}$ = ai + aj – bk. Sudut antara vektor dan vektor $\vec{u}$ dan vektor $\vec{v}$ adalah θ dengan cos θ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ . Proyeksi vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{v}$ = -4i-4j+4k. Nilai dari b =…..

$2\sqrt{7}$
$2\sqrt{11}$
$2\sqrt{14}$
$4\sqrt{11}$
$4\sqrt{14}$

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.13 (SIMAK UI 2010 IPA)

Diketahui vektor-vektor $\vec{a}$ = (2, 2, z), $\vec{b}$ = (-8, y, -5) , $\vec{c}$ = (x, 4y, 4) dan $\vec{d}$ = (2x, 22, -z, 8). Jika vektor $\vec{a}$ tegak lurus dengan vektor $\vec{b}$ dan vektor $\vec{c}$ sejajar dengan $\vec{d}$ maka (y+z) =

-5
-1
1
2
5

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.14 (UN 2013)

Diketahui $\vec{p} = \begin{pmatrix} -3\\ 3\\ 0 \end{pmatrix}$ dan $\vec{q} = \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ -2 \end{pmatrix}$ apabila α adalah sudut yang di bentuk antara vektor $\vec{p}$ dan vektor $\vec{q}$ maka tan α =….

$\frac{1}{6} \sqrt{6}$
$\frac{1}{7} \sqrt{7}$
$\frac{6}{6} \sqrt{7}$
$\sqrt{6}$
$\sqrt{7}$

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.15 (SIMAK UI 2010)

Vektor $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ adalah vektor-vektor unit yang masing-masing membentuk sudut 60^o dengan vektor lainnya. Maka ( $\vec{a}$ – $\vec{b}$ )( $\vec{b}$ – $\vec{c}$ ) adalah….

$-\frac{1}{4}$
$-\frac{1}{2}$
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.16 (UN 2011)

Diketahui segitiga ABC dengan A(2,1,2), B(6,1,2), dan C(6,5,2). Jika $\vec{u}$ mewakili $\vec{AB}$ dan $\vec{v}$ mewakili $\vec{AC}$ maka sudut yang dibentuk oleh vector $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah…

30^o
45^o
60^o
90^o
120^o

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.17 (UM UGM 2010 IPA)

vektor $\vec{u}$ $\vec{v}$ = (x, y, 1) sejajar = (-1, 3, z) , jika $\vec{u}$ tegak lurus (3, -2, 3) maka y = ….

3
1
$\frac{1}{3}$
$-\frac{1}{3}$
-1

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.18 (EBTANAS 2001)

Diketahui | $\vec{a}$ || $\vec{b}$ |dan | $\vec{a}$ – $\vec{b}$ | berturut-turut adalah 4, 6 dan $2\sqrt{19}$ nilai | $\vec{a}$ + $\vec{b}$ | =…

$4\sqrt{19}$
$\sqrt{19}$
$4\sqrt{7}$
$2\sqrt{7}$
$\sqrt{7}$

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.19 (UMB PTN 2009)

Jika vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ merupakan ( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ). $\vec{b}$ = 12 , | $\vec{a}$ | = 2 dan | $\vec{b}$ | = 3 maka sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah….

60°
45°
30⁰
25⁰
20⁰

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.20 (UN 2009)

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan koordinat titik sudut A (3,0,0), C(0, $\sqrt{7}$ ,0), D(0,0,0), F(3, $\sqrt{7}$ , 4) dan H(0,0,4). Besar sudut antara vektor $\vec{DH}$ dan $\vec{DF}$ adalah….

15^o
30^o
45^o
90^o
120^o

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.21 (SNMPTN 2009)

Diketahui segi tiga ABC. Titik p di tengah AC dan Q pada BC sehingga BQ = QC. Jika $\vec{AB}$ = $\vec{c}$ , $\vec{AC}$ = $\vec{b}$ dan $\vec{BC}$ = $\vec{a}$ maka $\vec{PQ}$ =…..

$\frac{1}{2}(-\vec{a}+\vec{b})$
$\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})$
$\frac{1}{2}(-\vec{a}+\vec{c})$
$\frac{1}{2}(-\vec{b}+\vec{c})$
$\frac{1}{2}(\vec{b} -\vec{c})$

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.22 (UMPTN 2001)

Jika $\vec{a}$ = (2, k) dan $\vec{b}$ = (3, 5) dan ∠( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = $\frac{\pi}{4}$ maka konstanta positif k adalah…..

$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
2
4
8

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.23 (UN 2014)

Diketahui vektor $\vec{a}$ = 2i – 2pj + 4k dan $\vec{b}$ = i – 3j + 4k. Jika panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\frac{6}{\sqrt{26}}$ . nilai p =….

-3
-2
-1
1
3

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.24 (UMPTN 2004)

Bila panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ = i – 2j pada vektor $\vec{a}$ = xi + yj dengan x,y > 0 adalah 1 maka nilai 4x – 3y + 1=…..

1
-1
0
2
3

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.25 (UN 2009)

Diketahui titik A(2,7,8), B(-1,1-1) dan C(0,3,2). Jika $\vec{AB}$ wakil $\vec{u}$ dan $\vec{BC}$ wakil $\vec{v}$ maka proyeksi orthogonal vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah …

-3i – 6j – 9k
i + 2j + 3k
$\frac{1}{3}$ i + $\frac{2}{3}$ j + k
-9i – 18j – 27k
3i + 6j +9k

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.26 (SNMPTN 2011)

Diketahui vektor $\vec{u}$ = ( $\frac{1}{3}$ a³– 2a², -9, -1+ b ), $\vec{v}$ = (3, -a + b, 9) dengan -4 < a < 4. Nilai maksimum $\vec{u}$ . $\vec{v}$ adalah….

-9
-7
-5
5
9

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.27 (UN 2006)

Vektor z adalah proyeksi vektor x = (- $\sqrt{3}$ , 3, 1) pada vektor y = ( $\sqrt{3}$ , 2, 3). Panjang vektor z =…

$\frac{1}{2}$
1
$\frac{3}{2}$
2
$\frac{5}{2}$

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.28 (SBMPTN 2013)

Diketahui A (4,0,0), B(0,-4,0), dan C (0,0,8) Panjang vektor proyeksi $\vec{AC}$ ke vektor $\vec{AB}$ adalah…..

$2\sqrt{2}$
$3\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\sqrt{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.29 (UN 2013)

Diketahui vektor $\vec{a}$ = i – 2j + k dan $\vec{b}$ = 3i + j – 2k. Vektor $\vec{c}$ mewakili vektor hasil proyeksi orthogonal vektor $\vec{b}$ pada vektor $\vec{a}$ maka vektor $\vec{c}$ = …

$-\frac{1}{6}$ (i – 2j + k)
$-\frac{1}{6}$ (3i – 2j + 2k)
$-\frac{1}{14}$ (i – 2j + k)
$-\frac{1}{14}$ (3i – j + 2k)
$\frac{1}{6}$ (i – 2j + k)

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.30 (UN 2004)

Diketahui vektor $\vec{u}=\begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 2\\ p\\ 2 \end{pmatrix}$ . Jika proyeksi skalar orthogonal $\vec{u}$ pada arah vektor $\vec{v}$ sama dengan setengah panjang vektor $\vec{v}$ maka nilai p = ….

-4 atau -2
-4 atau 2
4 atau -2
8 atau -1
-8 atau 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

tanya-tanya.com

Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Vektor

Rangkuman Vektor

Pengertian

Operasi Aljabar Pada Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan vektor

Perkalian Vektor

Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor

Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain

Saling Tegak Lurus

Sejajar

Sudut Dua Vektor

Proyeksi vektor

Perbandingan vektor

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Materi yang berhubungan

Lihat Juga

Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Turunan

Leave a Reply Cancel reply

Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Vektor

Rangkuman Vektor

Pengertian

Operasi Aljabar Pada Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan vektor

Perkalian Vektor

Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor

Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain

Saling Tegak Lurus

Sejajar

Sudut Dua Vektor

Proyeksi vektor

Perbandingan vektor

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Materi yang berhubungan

Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Fungsi Kuadrat

Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Logika Matematika

Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Lingkaran

Lihat Juga

Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Turunan

Leave a Reply Cancel reply