Rangkuman, Contoh Soal Dan Pembahasan Bab Integral

oleh Admin · Dipublikasikan 06/08/2015 · Di update 18/05/2018

Rangkuman Integral

Pengertian

Integral merupakan kebalikan dari turunan. Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F(x) = f(x), maka F(x) merupakan anti turunan atau integral dari f(x). Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan:
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi integran
F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F(x) = f(x)
c = konstanta pengintegralan

DOWNLOAD RANGKUMAN, CONTOH SOAL & PEMBAHASAN INTEGRAL DALAM BENTUK PDF Klik Disini

Integral Tak Tentu

Integral Tertentu

Menghitung Luas Daerah

Menentukan Luas Daerah diatas sumbu-x

Menentukan Luas Daerah di bawah sumbu-x

Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x

Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva

Menghitung Volume Benda Putar

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) Jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Contoh Soal & Pembahasan Bab Integral

Soal No.1 (UN 2014)

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.2 (UN 2007)

8
4
0
-4
-8

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.3 (UN 2004)

Gradien garis singgung pada suatu kurva dirumuskan sebagai dy/dx = 2x-3. Apabila kurva tersebut melalui titik A(-1,5) maka persamaan kurva nya adalah . . .

y = x² + 3x – 1
y = x² + 3x +1
y = x² – 3x – 1
y = x² – 3x + 1
y = x² – 3x + 1

PEMBAHASAN :
y = ∫ 2x – 3dx = x² – 3x + c
Melalui(-1,5)
5 =(-1)² – 3(-1) + c
5 = 1 + 3 + c
c = 1
maka, y = x² – 3x + 1
Jawaban : C

DOWNLOAD RANGKUMAN, CONTOH SOAL & PEMBAHASAN INTEGRAL DALAM BENTUK PDF Klik Disini

Soal No.4 (SNMPTN 2009 MAT IPA)

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.5 (SBMPTN 2014 Mat IPA)

Jika f(x) = 1+ sin x + sin²x + sin³x +…

-√2
-1
0
1
√2

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.6 (UM UGM 2007)

Perhatikan gambar di atas. Jika p (3/2, 1/2) maka luas daerah terarsir adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.7 (SNMPTN 2008 MAT IPA)

luas daerah yang dibatasi oleh y = 2 sin x , x= π/2 , x = 3π/2 dan sumbu x adalah …

1 satuan luas
2 satuan luas
3 satuan luas
4 satuan luas
5 satuan luas

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.8

Tentukanlah integral x jika diketahui g₁(x)’= x³

PEMBAHASAN :
$g_1(x)=\frac{1}{3+1}x^{3+1}$
$g_1(x)=\frac{1}{4}x^{4}+c$

Soal No.9

Tentukanlah integral x jika diketahui g₁(x)’= 2x⁶ + 3

PEMBAHASAN :
$g_1(x)=\frac{2}{6+1}x^{6+1}+\frac{3}{0+1}x^{0+1}$
$g_1(x)=\frac{2}{7}x^{7}+3x+c$

Soal No.10

Tentukanlah integral x jika diketahui g₁(x)’= x² + 4x- 1/2

PEMBAHASAN :
$g_1(x)=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{4}{1+1}x^{1+1}-\frac{-\frac{1}{2}}{0+1x^0+1}+c$
$g_1(x)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{4}{2}x^{2}-\frac{1}{2}+c$
$g_1(x)=\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2}-\frac{1}{2}x+c$

Soal No.11

Hitunglah integral dari $\int \left ( 3x^2-3x+7 \right )dx!$

PEMBAHASAN :
$3\int x^2dx-3\int xdx+\int 7dx$
$\frac{3}{2+1}x^{2+1}-\frac{3}{1+1}x^{1+1}+7x+c$
$x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+7x+c$

Soal No.12

Hitunglah integral dari $\int x\sqrt{9-x^2}dx$

PEMBAHASAN :
misal u = 9 – x², maka du = -2x dx, x dx = du/-2
$\int (9-x^2)^{\frac{1}{2}}xdx= \int u^{\frac{1}{2}}\left (\frac{du}{-2} \right )$
$-\frac{1}{2} \int u^2du = -\frac{1}{2}x\frac{2u^\frac{3}{2}}{3}+c$
$-\frac{1}{2} \; x\; \sqrt[2]{u^3}\; x\; \frac{2}{3}+c=-\frac{1}{3}u\sqrt{u}+c$
$\frac{1}{3}\left ( 9-x^2 \right )\sqrt{9-x^2}+c$

Soal No.13

Hitunglah integral dari $\int \frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$

PEMBAHASAN :
misal $u = \sqrt{x}=x^\frac{1}{2}$
$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$dx=2\sqrt{x}\; du, sehingga$
$\int \frac{sin u}{\sqrt{x}}.2\sqrt{x}\; du$
$2\int sin\; u \; du$
$-2cos\; u+c$
$-2cos\; \sqrt{x}+c$

Soal No.14

Hitunglah integral dari $\int \frac{x}{\left ( 1-2x^2 \right )}4dx$

PEMBAHASAN :
misal u = 1-2x², maka du = -4x dx
$dx=\frac{du}{-4x}$
$\int \frac{x}{u^4}.\frac{du}{\left ( -4x \right )}$
$-\frac{1}{4}\int u^{-4}du$
$\left ( -\frac{1}{4} \right )\left ( -\frac{1}{3} \right )u^{-3}+c$
$\frac{1}{12}u^{-3}+c$
substitusikan u = 1-2x² ke persamaan 12u^-3 + c
$\int \frac{x}{\left ( 1-2x^2 \right )^4}dx=\frac{1}{12}u^{-3}+c$
$\frac{1}{12}\left ( 1-2x^2 \right )^{-3}+c$

Soal No.15

Hitunglah integral berikut $\int sin\left ( 3x+1 \right )cos\left ( 3x+1 \right )dx$

PEMBAHASAN :
dengan mengubah $sin \alpha \; cos\alpha =\frac{1}{2}sin2\alpha$
maka menjadi
$\int \frac{1}{2}sin\left ( 6x+2 \right )dx$
$\frac{1}{2} \int sin\left ( 6x+2 \right )dx$
$\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{-6} \right )cos\left ( 6x+2 \right )+c$
$-\frac{1}{12} cos\left ( 6x+2 \right )+c$

Soal No.16

Hitunglah integral berikut $\frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}dx$

PEMBAHASAN :
jika dimisalkan x = 3 sin t, maka sin t = x/3 dan dx = 3 cos t dt.
jika dalam sebuah segitiga

$cos t =\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}$
$\sqrt{9-x^2}=3\; cos\; t$
$\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}dx=\int \frac{\left ( 3sin\; t\right)^2}{3cos\; t}.3cos \; t\; dt$
Dengan cos 2t = 1-2 sin² t
$9\int sin^2t=9\int \frac{1}{2}\left ( 1-cos2t \right )dt$
$\frac{9}{2}\int \left ( 1-cos2t \right )dt=\frac{9}{2}\left ( t-\frac{1}{2}sin 2t \right )+c$
$\frac{9}{2}t-\frac{9}{4}sin 2t+c=\frac{9}{2}t-\frac{9}{2}sin\: t\; cos\: t\; +c$
$\frac{9}{2}sin^{-1}\frac{x}{3}-\frac{9}{2}\left(\frac{x}{3}.\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}\right) +c = \frac{9}{2}sin^{-1}\frac{x}{3}-\frac{x}{2}.\sqrt{9-x^2} +c$

Soal No.17

Jika g'(x) = 2x-3 dan g(2) = , tentukanlah g(x).

PEMBAHASAN :
$g(x)=\int g'\left ( x \right )dx=\int \left ( 2x-3 \right )dx=x^2-3x+c$
Untuk menentukan c dapat ditentukan dari g(2) = 1
g(x) = x²-3x+c
g(2) = 2²-3.2 + c
1 = 4-6 + c
1 = -2 + c
c = 1 + 2
c = 3
maka, g(x) = x² – 3x + 3

Soal No.18

Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (-2,12) dan memiliki persamaan gradien garis singgung $\frac{dy}{dx}=6x - 15$

PEMBAHASAN :
$\frac{dy}{dx}=6x - 15$
$y = \int (6x-15)dx=3x^2-15x+c$
$f(x)=3x^2-15x+c$
karena melalui titik (-2, 12), maka
f(-2) = 3(-2)² – 15(-2) + c
12 = 3.4 + 30 + c
12 = 12 + 30 + c
12 = 42 + c
c = 12 – 42
c = -30
Maka persamaan kurvanya adalah f(x) = 3x² – 15x – 30

Soal No.19

Hitunglah $\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}(sin 3x+cos x)dx$

PEMBAHASAN :
$\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}sin 3x dx + \int_{0}^{\frac{\pi }{6}}cosx \; dx$
$\left [ -\frac{1}{3}cos 3x \right ]_{0}^{\frac{\pi }{6}}+\left [ sinx \right ]_{0}^{\frac{\pi }{6}}$
$-\frac{1}{3}\left ( cos\frac{\pi }{2}-cos \; 0 \right )+\left ( sin\frac{\pi }{6}-sin\; 0 \right )$
$-\frac{1}{3}.(-1)+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$

Soal No.20

Tentukan $\int_{-1}^{1}x^2\; dx$

PEMBAHASAN :
karena merupakan fungsi genap, maka:
$\int_{-1}^{1}x^2\; dx=2\int_{0}^{1}x^2dx$
$2\left [ \frac{1}{3}x^3 \right ]_{0}^{1}=\frac{2}{3}(1^3-0^3)=\frac{2}{3}$

DOWNLOAD RANGKUMAN, CONTOH SOAL & PEMBAHASAN INTEGRAL DALAM BENTUK PDF Klik Disini

Rangkuman, Contoh Soal Dan Pembahasan Bab Integral

Mohon Tidak Copy Paste

DAFTAR & LOGIN

Rangkuman, Contoh Soal Dan Pembahasan Bab Integral

Rangkuman Integral

Pengertian

Integral Tak Tentu

Integral Tertentu

Menghitung Luas Daerah

Menentukan Luas Daerah diatas sumbu-x

Menentukan Luas Daerah di bawah sumbu-x

Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x

Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva

Menghitung Volume Benda Putar

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) Jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Contoh Soal & Pembahasan Bab Integral

BINGUNG ADA YANG BELUM JELAS?

ADA YANG MAU DITANYAKAN?

MASUK KESINI : TEMPAT NANYA

UNTUK BERTANYA DAN BERBAGI ILMU BERSAMA

Mohon Tidak Copy Paste

DAFTAR & LOGIN