Rangkuman Materi Integral Kelas 11

Pengertian

Integral merupakan kebalikan dari turunan. Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F(x) = f(x), maka F(x) merupakan anti turunan atau integral dari f(x). Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan:
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi integran
F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F(x) = f(x)
c = konstanta pengintegralan

Integral Tak Tentu

Integral Tertentu

Menghitung Luas Daerah

Menentukan Luas Daerah diatas sumbu-x

Menentukan Luas Daerah di bawah sumbu-x

Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x

Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva

Menghitung Volume Benda Putar

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) Jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Contoh Soal Integral Pembahasan & Jawaban Kelas 11

Soal No.1 (UTBK 2019)
Diberikan fungsi f dengan sifat f(x+3) =f(x) untuk tiap x. Jika ….

1. -4
2. -6
3. -8
4. -10
5. -12

PEMBAHASAN :




Jawaban A

Soal No.2 (UN 2014)

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.3 (SBMPTN 2018)

Daerah R dibatasi oleh y = , y = ax2, untuk x ∈ [0,2]. Jika volume benda padat yang didapat dengan memutar R terhadap sumbu x adalah 5π maka a =…

1. -5
2. -4
3. -3
4. -2
5. -1

PEMBAHASAN :

Jika diasumsikan a < 0
Maka volume benda putar:
Volume = V_I + V_II

5 = |2a² – 6a² – a²|
5 = |-5a²|
(5-a(-5a²))(5+(-5a²)) = 0
(5+5a²)(5-5a²) = 0
a² = -1
(tidak ada a yang memenuhi)
atau a² = 1
a = 1 atau a = -1
Jawaban E

Soal No.4 (SBMPTN 2018)

Nilai ….

1. 19
2. 38
3. 57
4. 76
5. 95

PEMBAHASAN :

Jawaban B

Soal No.5 (UN 2007)

.

1. 8
2. 4
3. 0
4. -4
5. -8

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.6 (UN 2004)

Gradien garis singgung pada suatu kurva dirumuskan sebagai dy/dx = 2x-3. Apabila kurva tersebut melalui titik A(-1,5) maka persamaan kurva nya adalah . . .

1. y = x² + 3x – 1
2. y = x² + 3x +1
3. y = x² – 3x – 1
4. y = x² – 3x + 1
5. y = x² – 3x + 1

PEMBAHASAN :
y = ∫ 2x – 3dx = x² – 3x + c
Melalui(-1,5)
5 =(-1)² – 3(-1) + c
5 = 1 + 3 + c
c = 1
maka, y = x² – 3x + 1
Jawaban : C

Soal No.7 (SNMPTN 2009 MAT IPA)

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.8 (SBMPTN 2014 Mat IPA)

Jika f(x) = 1+ sin x + sin²x + sin³x +…

1. -√2
2. -1
3. 0
4. 1
5. √2

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.9 (UM UGM 2007)

Perhatikan gambar di atas. Jika p (3/2, 1/2) maka luas daerah terarsir adalah …

1. 1/6
2. 1/3
3. 5/8
4. 2/3
5. 3/4

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.10 (SNMPTN 2008 MAT IPA)

luas daerah yang dibatasi oleh y = 2 sin x , x= π/2 , x = 3π/2 dan sumbu x adalah …

1. 1 satuan luas
2. 2 satuan luas
3. 3 satuan luas
4. 4 satuan luas
5. 5 satuan luas

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

PEMBAHASAN :

PEMBAHASAN :

PEMBAHASAN :

Hitunglah integral dari

PEMBAHASAN :

Hitunglah integral dari

PEMBAHASAN :
misal u = 9 – x², maka du = -2x dx, x dx = du/-2

Hitunglah integral dari

PEMBAHASAN :
misal

Hitunglah integral dari

PEMBAHASAN :
misal u = 1-2x², maka du = -4x dx





substitusikan u = 1-2x² ke persamaan 12u^-3 + c

Hitunglah integral berikut

PEMBAHASAN :
dengan mengubah
maka menjadi

Hitunglah integral berikut

PEMBAHASAN :
jika dimisalkan x = 3 sin t, maka sin t = x/3 dan dx = 3 cos t dt.
jika dalam sebuah segitiga

Dengan cos 2t = 1-2 sin² t

PEMBAHASAN :

Untuk menentukan c dapat ditentukan dari g(2) = 1
g(x) = x²-3x+c
g(2) = 2²-3.2 + c
1 = 4-6 + c
1 = -2 + c
c = 1 + 2
c = 3
maka, g(x) = x² – 3x + 3

Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (-2,12) dan memiliki persamaan gradien garis singgung

PEMBAHASAN :



karena melalui titik (-2, 12), maka
f(-2) = 3(-2)² – 15(-2) + c
12 = 3.4 + 30 + c
12 = 12 + 30 + c
12 = 42 + c
c = 12 – 42
c = -30
Maka persamaan kurvanya adalah f(x) = 3x² – 15x – 30

Hitunglah

PEMBAHASAN :

Tentukan

PEMBAHASAN :
karena merupakan fungsi genap, maka:

Hasil

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Hasil dari

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Hasil

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Hasil dari

1. -2 cos (x – 2π) + C
2. -½ cos (x – 2π) + C
3. ½ cos (x – 2π) + C
4. cos (x – 2π) + C
5. 2 cos (x – 2π) + C

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Hasil

1. 4/3
2. 2/3
3. 1/3
4. 7/24
5. -1/3

PEMBAHASAN :
Gunakan rumus trigonometri untuk menyelesaikan soal di atas, yaitu:
Trigonometri 2 sin A cos B = sin (A+B) +sin (A-B)

Jawaban : D

Hasil dari

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Hasil dari

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Hasil dari

PEMBAHASAN :

Sehingga,

Jawaban : D

PEMBAHASAN :
Perhatikan grafik berikut:

Menentukan luas daerah berdasarkan gambar di atas:

Jawaban : E

1. 2/3 satuan luas
2. 4/3 satuan luas
3. 7/4 satuan luas
4. 8/3 satuan luas
5. 15/3 satuan luas

PEMBAHASAN :
Persamaan untuk kurva yang terbentuk pada grafik adalah y = x² + 3x + 4 dan y = 1 – x, maka:
⇒ y = y
⇒ x² + 3x + 4 = 1 – x
⇒ x² + 4x + 3 = 0
⇒ (x + 3) (x + 1)
x = – 3 dan x = – 1

Untuk menghitung luas daerah pada kurva yang terbentuk, sebagai berkut:

Jawaban : B

Volume benda putar yang terbentuk dari daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva , sumbu y dan lingkaran x² + y² = 1, diputar mengelilingi sumbu y adalah …

1. 4/60 π satuan volume
2. 17/60 π satuan volume
3. 23/60 π satuan volume
4. 44/60 π satuan volume
5. 112/60 π satuan volume

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan yang membatasi kurva  dan x² + y² = 1

Gambar kurva yang dimaksud pada soal, sebagai berikut:

Titik potong:

Dari gambar di atas, maka untuk menghitung volume benda  adalah sebagai berikut:

Jawaban : B

Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu x, di dalam lingkaran x² + y² = 4 diputar mengelilingi sumbu x adalah …

1. 80/15 π satuan volume
2. 68/15 π satuan volume
3. 64/15 π satuan volume
4. 34/15 π satuan volume
5. 32/15 π satuan volume

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan yang membatasi kurva  dan x² + y² = 4

Gambar kurva yang dimaksud pada soal, sebagai berikut:

Titik potong:

Dari gambar di atas, maka untuk menghitung volume benda  adalah sebagai berikut:

Jawaban : B

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan yang membatasi kurva:  y = 6 – x² dan y = |x|

Titik perpotongan pada:

Jawaban : B

1. 2 : 1
2. 3 : 1
3. 6 : 1
4. 8 : 1
5. 9 : 1

PEMBAHASAN :

Pada grafik di atas dapat terlihat bahwa fungsi kuadrat membagi persegi panjang menjadi dua daerah dengan perbandingan 1 : 2

Maka:

Jawaban : B

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan y = – x² + 8x dan y = 6x -24, terletak di kuadran I

Kurva yang terbentuk sebagai berikut:

Titik perpotongan pada:
y = y
– x² + 8x = 6x -24
x² – 2x – 24 = 0
(x – 6) (x + 4) = 0
x = 6 atau x = -4

maka luas daerah yang dibatasi kurva adalah:

Jawaban : B

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan y = – x² + 8x dan y = 6x -24, terletak di kuadran I

Kurva yang terbentuk sebagai berikut:

Titik perpotongan pada:
y = y
– x² + 8x = 6x -24
x² – 2x – 24 = 0
(x – 6) (x + 4) = 0
x = 6 atau x = -4

maka luas daerah yang dibatasi kurva adalah:

Jawaban : B

1. 5/8
2. 3/8
3. 2/5
4. 8/5
5. 5/2

PEMBAHASAN :
Penyelesaian I:
Mencari titik potong, yaitu:
y = y
x² = a²
x² – a² = 0
(x – a)(x + a) = 0
x = a atau x = – a

penyelesaian II:
volume diputar terhadap sumbu x:

Penyelesaian III:
Volume diputar terhadap sumbu y:

Jawaban : A

1. a
2. 1 – a
3. 2a
4. a – ½
5. a

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

1. (2,0) dan (3,0)
2. (-2,0) dan (-3,0)
3. (2,0) dan (-3,0)
4. (-2,0) dan (3,0)
5. (-2,0) dan (2,0)

PEMBAHASAN :
Diketahui gradien garis = y’ = 2x + 5
∫ y =2x+5 dx  ⇒  x² + 5x + C

titik yang dilalui kurva adalah titik (2,20), maka:
20 = 2² + 5(2) + C
20 = 14 + C
C = 6

Persamaan yang terbentuk adalah y = x² + 5x + 6, memotong sumbu x jika y = 0
⇒ x² + 5x + 6 = 0
⇒ (x + 3) (x + 2) = 0
x = -3 atau x = -2

sehingga koordinat titik yang memotong sumbu x adalah (-2,0) dan (-3,0)
Jawaban : B

1. 1½ atau -½
2. 2 atau -1
3. 2½ atau -1½
4. 3 atau -2
5. 3½ atau -2½

PEMBAHASAN :
Titik perpotongan pada:
y = y
⇒ x² = (2m – 1)x
⇒ x² – (2m – 1)x = 0
⇒ D = (-(2m – 1))² – 4.1.0
⇒(2m – 1)²

Maka untuk menghitung luas, sebagai berikut:

Jawaban : B

1. 3 satuan luas
2. 4 satuan luas
3. 5 satuan luas
4. 6 satuan luas
5. 7 satuan luas

PEMBAHASAN :
Diketahui barisan aritmetika dengan U₃ – U₁ = 6 dan U₆ = 12

Persamaan untuk kurva y = U₁ x² + U₂ x + U₃
U₃ – U₁ = 6
(a + 2b) – a = 6
.                 b = 3
U₆ = 12
a + 5b = 12
a + 5(3) = 12
.          a = – 3
sehingga, barisan aritmetika yang terbentuk adalah – 3, 0, 3 untuk persamaan y = U₁ x² + U₂ x + U₃ → -3x² + 3

maka, untuk menghitung luas daerah sebagai berikut:

Jawaban : B

1. 0
2. 18
3. 68/3
4. 64/3
5. 9

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Diketahui ∫ f(x) dx = ax² + bx + c, dan a≠0. Jika a, f(a), 2b membentuk barisan aritmetika, dan f(b) = 6 maka

1. 17/4
2. 21/4
3. 25/4
4. 13/4
5. 11/4

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Hasil

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Hasil dari

PEMBAHASAN :

Dengan integral substitusi sebagai berikut:

Diketahui:
u = 3x² + 9x – 1

Jawaban : E