Rangkuman Integral

Pengertian

Integral merupakan kebalikan dari turunan. Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F(x) = f(x), maka F(x) merupakan anti turunan atau integral dari f(x). Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan:
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi integran
F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F(x) = f(x)
c = konstanta pengintegralan

DOWNLOAD RANGKUMAN, CONTOH SOAL & PEMBAHASAN INTEGRAL DALAM BENTUK PDF Klik Disini

Integral Tak Tentu

Integral Tertentu

Menghitung Luas Daerah

Menentukan Luas Daerah diatas sumbu-x

Menentukan Luas Daerah di bawah sumbu-x

Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x

Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva

Menghitung Volume Benda Putar

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) Jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Contoh Soal & Pembahasan Bab Integral

Soal No.1 (UN 2014)

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.2 (UN 2007)

8
4
0
-4
-8

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.3 (UN 2004)

Gradien garis singgung pada suatu kurva dirumuskan sebagai dy/dx = 2x-3. Apabila kurva tersebut melalui titik A(-1,5) maka persamaan kurva nya adalah . . .

y = x² + 3x – 1
y = x² + 3x +1
y = x² – 3x – 1
y = x² – 3x + 1
y = x² – 3x + 1

PEMBAHASAN :
y = ∫ 2x – 3dx = x² – 3x + c
Melalui(-1,5)
5 =(-1)² – 3(-1) + c
5 = 1 + 3 + c
c = 1
maka, y = x² – 3x + 1
Jawaban : C

DOWNLOAD RANGKUMAN, CONTOH SOAL & PEMBAHASAN INTEGRAL DALAM BENTUK PDF Klik Disini

Soal No.4 (SNMPTN 2009 MAT IPA)

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.5 (SBMPTN 2014 Mat IPA)

Jika f(x) = 1+ sin x + sin²x + sin³x +…

-√2
-1
0
1
√2

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.6 (UM UGM 2007)

Perhatikan gambar di atas. Jika p (3/2, 1/2) maka luas daerah terarsir adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.7 (SNMPTN 2008 MAT IPA)

luas daerah yang dibatasi oleh y = 2 sin x , x= π/2 , x = 3π/2 dan sumbu x adalah …

1 satuan luas
2 satuan luas
3 satuan luas
4 satuan luas
5 satuan luas

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.8

Tentukanlah integral x jika diketahui g₁(x)’= x³

PEMBAHASAN :
$g_1(x)=\frac{1}{3+1}x^{3+1}$
$g_1(x)=\frac{1}{4}x^{4}+c$

Soal No.9

Tentukanlah integral x jika diketahui g₁(x)’= 2x⁶ + 3

PEMBAHASAN :
$g_1(x)=\frac{2}{6+1}x^{6+1}+\frac{3}{0+1}x^{0+1}$
$g_1(x)=\frac{2}{7}x^{7}+3x+c$

Soal No.10

Tentukanlah integral x jika diketahui g₁(x)’= x² + 4x- 1/2

PEMBAHASAN :
$g_1(x)=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{4}{1+1}x^{1+1}-\frac{-\frac{1}{2}}{0+1x^0+1}+c$
$g_1(x)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{4}{2}x^{2}-\frac{1}{2}+c$
$g_1(x)=\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2}-\frac{1}{2}x+c$

Soal No.11

Hitunglah integral dari $\int \left ( 3x^2-3x+7 \right )dx!$

PEMBAHASAN :
$3\int x^2dx-3\int xdx+\int 7dx$
$\frac{3}{2+1}x^{2+1}-\frac{3}{1+1}x^{1+1}+7x+c$
$x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+7x+c$

Soal No.12

Hitunglah integral dari $\int x\sqrt{9-x^2}dx$

PEMBAHASAN :
misal u = 9 – x², maka du = -2x dx, x dx = du/-2
$\int (9-x^2)^{\frac{1}{2}}xdx= \int u^{\frac{1}{2}}\left (\frac{du}{-2} \right )$
$-\frac{1}{2} \int u^2du = -\frac{1}{2}x\frac{2u^\frac{3}{2}}{3}+c$
$-\frac{1}{2} \; x\; \sqrt[2]{u^3}\; x\; \frac{2}{3}+c=-\frac{1}{3}u\sqrt{u}+c$
$\frac{1}{3}\left ( 9-x^2 \right )\sqrt{9-x^2}+c$

Soal No.13

Hitunglah integral dari $\int \frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$

PEMBAHASAN :
misal $u = \sqrt{x}=x^\frac{1}{2}$
$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$dx=2\sqrt{x}\; du, sehingga$
$\int \frac{sin u}{\sqrt{x}}.2\sqrt{x}\; du$
$2\int sin\; u \; du$
$-2cos\; u+c$
$-2cos\; \sqrt{x}+c$

Soal No.14

Hitunglah integral dari $\int \frac{x}{\left ( 1-2x^2 \right )}4dx$

PEMBAHASAN :
misal u = 1-2x², maka du = -4x dx
$dx=\frac{du}{-4x}$
$\int \frac{x}{u^4}.\frac{du}{\left ( -4x \right )}$
$-\frac{1}{4}\int u^{-4}du$
$\left ( -\frac{1}{4} \right )\left ( -\frac{1}{3} \right )u^{-3}+c$
$\frac{1}{12}u^{-3}+c$
substitusikan u = 1-2x² ke persamaan 12u^-3 + c
$\int \frac{x}{\left ( 1-2x^2 \right )^4}dx=\frac{1}{12}u^{-3}+c$
$\frac{1}{12}\left ( 1-2x^2 \right )^{-3}+c$

Soal No.15

Hitunglah integral berikut $\int sin\left ( 3x+1 \right )cos\left ( 3x+1 \right )dx$

PEMBAHASAN :
dengan mengubah $sin \alpha \; cos\alpha =\frac{1}{2}sin2\alpha$
maka menjadi
$\int \frac{1}{2}sin\left ( 6x+2 \right )dx$
$\frac{1}{2} \int sin\left ( 6x+2 \right )dx$
$\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{-6} \right )cos\left ( 6x+2 \right )+c$
$-\frac{1}{12} cos\left ( 6x+2 \right )+c$

Soal No.16

Hitunglah integral berikut $\frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}dx$

PEMBAHASAN :
jika dimisalkan x = 3 sin t, maka sin t = x/3 dan dx = 3 cos t dt.
jika dalam sebuah segitiga

$cos t =\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}$
$\sqrt{9-x^2}=3\; cos\; t$
$\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}dx=\int \frac{\left ( 3sin\; t\right)^2}{3cos\; t}.3cos \; t\; dt$
Dengan cos 2t = 1-2 sin² t
$9\int sin^2t=9\int \frac{1}{2}\left ( 1-cos2t \right )dt$
$\frac{9}{2}\int \left ( 1-cos2t \right )dt=\frac{9}{2}\left ( t-\frac{1}{2}sin 2t \right )+c$
$\frac{9}{2}t-\frac{9}{4}sin 2t+c=\frac{9}{2}t-\frac{9}{2}sin\: t\; cos\: t\; +c$
$\frac{9}{2}sin^{-1}\frac{x}{3}-\frac{9}{2}\left(\frac{x}{3}.\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}\right) +c = \frac{9}{2}sin^{-1}\frac{x}{3}-\frac{x}{2}.\sqrt{9-x^2} +c$

Soal No.17

Jika g'(x) = 2x-3 dan g(2) = , tentukanlah g(x).

PEMBAHASAN :
$g(x)=\int g'\left ( x \right )dx=\int \left ( 2x-3 \right )dx=x^2-3x+c$
Untuk menentukan c dapat ditentukan dari g(2) = 1
g(x) = x²-3x+c
g(2) = 2²-3.2 + c
1 = 4-6 + c
1 = -2 + c
c = 1 + 2
c = 3
maka, g(x) = x² – 3x + 3

Soal No.18

Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (-2,12) dan memiliki persamaan gradien garis singgung $\frac{dy}{dx}=6x - 15$

PEMBAHASAN :
$\frac{dy}{dx}=6x - 15$
$y = \int (6x-15)dx=3x^2-15x+c$
$f(x)=3x^2-15x+c$
karena melalui titik (-2, 12), maka
f(-2) = 3(-2)² – 15(-2) + c
12 = 3.4 + 30 + c
12 = 12 + 30 + c
12 = 42 + c
c = 12 – 42
c = -30
Maka persamaan kurvanya adalah f(x) = 3x² – 15x – 30

Soal No.19

Hitunglah $\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}(sin 3x+cos x)dx$

PEMBAHASAN :
$\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}sin 3x dx + \int_{0}^{\frac{\pi }{6}}cosx \; dx$
$\left [ -\frac{1}{3}cos 3x \right ]_{0}^{\frac{\pi }{6}}+\left [ sinx \right ]_{0}^{\frac{\pi }{6}}$
$-\frac{1}{3}\left ( cos\frac{\pi }{2}-cos \; 0 \right )+\left ( sin\frac{\pi }{6}-sin\; 0 \right )$
$-\frac{1}{3}.(-1)+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$

Soal No.20

Tentukan $\int_{-1}^{1}x^2\; dx$

PEMBAHASAN :
karena merupakan fungsi genap, maka:
$\int_{-1}^{1}x^2\; dx=2\int_{0}^{1}x^2dx$
$2\left [ \frac{1}{3}x^3 \right ]_{0}^{1}=\frac{2}{3}(1^3-0^3)=\frac{2}{3}$

DOWNLOAD RANGKUMAN, CONTOH SOAL & PEMBAHASAN INTEGRAL DALAM BENTUK PDF Klik Disini

Rangkuman, Contoh Soal Dan Pembahasan Bab Integral

Rangkuman, Contoh Soal Dan Pembahasan Bab Integral

Rangkuman Integral

Pengertian

Integral Tak Tentu

Integral Tertentu

Menghitung Luas Daerah

Menentukan Luas Daerah diatas sumbu-x

Menentukan Luas Daerah di bawah sumbu-x

Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x

Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva

Menghitung Volume Benda Putar

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) Jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Contoh Soal & Pembahasan Bab Integral

Bermanfaat? Ayo Share

Leave a Reply Cancel reply

BINGUNG ADA YANG BELUM JELAS?

ATAU ADA YANG MAU DITANYAKAN?

MASUK KESINI : TEMPAT NANYA

UNTUK BERTANYA DAN BERBAGI ILMU BERSAMA