Rangkuman, Contoh Soal Integral Pembahasan & Jawaban

Mau Belajar Privat Online Lewat Zoom Bersama Tim Guru Kami? 
Lebih Jelas KLIK DISINI

Rangkuman Materi Integral Kelas 11

Pengertian

Integral merupakan kebalikan dari turunan. Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F(x) = f(x), maka F(x) merupakan anti turunan atau integral dari f(x). Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan:
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi integran
F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F(x) = f(x)
c = konstanta pengintegralan

Integral Tak Tentu

int17

Integral Tertentu

int18

Menghitung Luas Daerah

Menentukan Luas Daerah diatas sumbu-x

int1

int2

Menentukan Luas Daerah di bawah sumbu-x

int3

int4

Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x

int5

int6

Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva

int7

int8

Menghitung Volume Benda Putar

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

int9

int10

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

int11

int12

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

int13

int14

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) Jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

int15

int16

Contoh Soal Integral Pembahasan & Jawaban Kelas 11

Soal No.1 (UTBK 2019)
Diberikan fungsi f dengan sifat f(x+3) =f(x) untuk tiap x. Jika ….
  1. -4
  2. -6
  3. -8
  4. -10
  5. -12

PEMBAHASAN :




Jawaban A

Soal No.2 (UN 2014)
inrev
  1. int20
  2. int21
  3. int22
  4. int23
  5. int24

PEMBAHASAN :
inrev
Jawaban : E

Soal No.3 (SBMPTN 2018)
Daerah R dibatasi oleh y = , y = ax2, untuk x ∈ [0,2]. Jika volume benda padat yang didapat dengan memutar R terhadap sumbu x adalah 5π maka a =…
  1. -5
  2. -4
  3. -3
  4. -2
  5. -1

PEMBAHASAN :

Jika diasumsikan a < 0
Maka volume benda putar:
Volume = VI + VII




5 = |2a2 – 6a2 – a2|
5 = |-5a2|
(5-a(-5a2))(5+(-5a2)) = 0
(5+5a2)(5-5a2) = 0
a2 = -1
(tidak ada a yang memenuhi)
atau a2 = 1
a = 1 atau a = -1
Jawaban E

Soal No.4 (SBMPTN 2018)
Nilai ….
  1. 19
  2. 38
  3. 57
  4. 76
  5. 95

PEMBAHASAN :

Jawaban B

Soal No.5 (UN 2007)
.int26
  1. 8
  2. 4
  3. 0
  4. -4
  5. -8

PEMBAHASAN :
int27
Jawaban : E

Soal No.6 (UN 2004)
Gradien garis singgung pada suatu kurva dirumuskan sebagai dy/dx = 2x-3. Apabila kurva tersebut melalui titik A(-1,5) maka persamaan kurva nya adalah . . .
  1. y = x2 + 3x – 1
  2. y = x2 + 3x +1
  3. y = x2 – 3x – 1
  4. y = x2 – 3x + 1
  5. y = x2 – 3x + 1

PEMBAHASAN :
y = ∫ 2x – 3dx = x2 – 3x + c
Melalui(-1,5)
5 =(-1)2 – 3(-1) + c
5 = 1 + 3 + c
c = 1
maka, y = x2 – 3x + 1
Jawaban : C

Soal No.7 (SNMPTN 2009 MAT IPA)
int28
  1. int29
  2. int30
  3. int31
  4. int32
  5. int33

PEMBAHASAN :
int34
Jawaban : C

Soal No.8 (SBMPTN 2014 Mat IPA)
Jika f(x) = 1+ sin x + sin2x + sin3x +…
int35
  1. -√2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
  5. √2

PEMBAHASAN :
int36
Jawaban : E

Soal No.9 (UM UGM 2007)
int37
Perhatikan gambar di atas. Jika p (3/2, 1/2) maka luas daerah terarsir adalah …
  1. 1/6
  2. 1/3
  3. 5/8
  4. 2/3
  5. 3/4

PEMBAHASAN :
int38

int39
Jawaban : B

Soal No.10 (SNMPTN 2008 MAT IPA)
luas daerah yang dibatasi oleh y = 2 sin x , x= π/2 , x = 3π/2 dan sumbu x adalah …
  1. 1 satuan luas
  2. 2 satuan luas
  3. 3 satuan luas
  4. 4 satuan luas
  5. 5 satuan luas

PEMBAHASAN :
int40
Jawaban : D

Soal No.11
Tentukanlah integral x jika diketahui g1(x)’= x3

PEMBAHASAN :

Soal No.12
Tentukanlah integral x jika diketahui g1(x)’= 2x6 + 3

PEMBAHASAN :

Soal No.13
Tentukanlah integral x jika diketahui g1(x)’= x2 + 4x- 1/2

PEMBAHASAN :


Soal No.14
Hitunglah integral dari

PEMBAHASAN :


Soal No.15
Hitunglah integral dari

PEMBAHASAN :
misal u = 9 – x2, maka du = -2x dx, x dx = du/-2



Soal No.16
Hitunglah integral dari

PEMBAHASAN :
misal





Soal No.17
Hitunglah integral dari

PEMBAHASAN :
misal u = 1-2x2, maka du = -4x dx





substitusikan u = 1-2x2 ke persamaan 12u-3 + c

Soal No.18
Hitunglah integral berikut

PEMBAHASAN :
dengan mengubah
maka menjadi



Soal No.19
Hitunglah integral berikut

PEMBAHASAN :
jika dimisalkan x = 3 sin t, maka sin t = x/3 dan dx = 3 cos t dt.
jika dalam sebuah segitiga
Untitled..




Dengan cos 2t = 1-2 sin2 t



Soal No.20
Jika g'(x) = 2x-3 dan g(2) = 1, tentukanlah g(x).

PEMBAHASAN :

Untuk menentukan c dapat ditentukan dari g(2) = 1
g(x) = x2-3x+c
g(2) = 22-3.2 + c
1 = 4-6 + c
1 = -2 + c
c = 1 + 2
c = 3
maka, g(x) = x2 – 3x + 3

Soal No.21
Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (-2,12) dan memiliki persamaan gradien garis singgung

PEMBAHASAN :



karena melalui titik (-2, 12), maka
f(-2) = 3(-2)2 – 15(-2) + c
12 = 3.4 + 30 + c
12 = 12 + 30 + c
12 = 42 + c
c = 12 – 42
c = -30
Maka persamaan kurvanya adalah f(x) = 3x2 – 15x – 30

Soal No.22
Hitunglah

PEMBAHASAN :



Soal No.23
Tentukan

PEMBAHASAN :
karena merupakan fungsi genap, maka:

Soal No.24 (UN 2014)
Hasil

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.25 (UN 2012)
Hasil dari

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.26 (UN 2012)
Hasil

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.27 (UN 2010)
Hasil dari
  1. -2 cos (x – 2π) + C
  2. -½ cos (x – 2π) + C
  3. ½ cos (x – 2π) + C
  4. cos (x – 2π) + C
  5. 2 cos (x – 2π) + C

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.28 (UN 2014)
Hasil
  1. 4/3
  2. 2/3
  3. 1/3
  4. 7/24
  5. -1/3

PEMBAHASAN :
Gunakan rumus trigonometri untuk menyelesaikan soal di atas, yaitu:
Trigonometri 2 sin A cos B = sin (A+B) +sin (A-B)

Jawaban : D

Soal No.29 (UN 2005)
Hasil dari

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.30 (UN 2014)
Hasil dari

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.31 (UN 2005)
Hasil dari

PEMBAHASAN :

Sehingga,

Jawaban : D

Soal No.32 (UN 2014)
Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus …

PEMBAHASAN :
Perhatikan grafik berikut:

Menentukan luas daerah berdasarkan gambar di atas:

Jawaban : E

Soal No.33 (UN 2012)
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3x + 4 dan y = 1 – x adalah …
  1. 2/3 satuan luas
  2. 4/3 satuan luas
  3. 7/4 satuan luas
  4. 8/3 satuan luas
  5. 15/3 satuan luas

PEMBAHASAN :
Persamaan untuk kurva yang terbentuk pada grafik adalah y = x2 + 3x + 4 dan y = 1 – x, maka:
⇒ y = y
⇒ x2 + 3x + 4 = 1 – x
⇒ x2 + 4x + 3 = 0
⇒ (x + 3) (x + 1)
x = – 3 dan x = – 1

Untuk menghitung luas daerah pada kurva yang terbentuk, sebagai berkut:

Jawaban : B

Soal No.34 (UN 2014)
Volume benda putar yang terbentuk dari daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva , sumbu y dan lingkaran x2 + y2 = 1, diputar mengelilingi sumbu y adalah …
  1. 4/60 π satuan volume
  2. 17/60 π satuan volume
  3. 23/60 π satuan volume
  4. 44/60 π satuan volume
  5. 112/60 π satuan volume

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan yang membatasi kurva  dan x2 + y2 = 1

Gambar kurva yang dimaksud pada soal, sebagai berikut:

Titik potong:

Dari gambar di atas, maka untuk menghitung volume benda  adalah sebagai berikut:

Jawaban : B

Soal No.35 (UN 2014)
Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu x, di dalam lingkaran x2 + y2 = 4 diputar mengelilingi sumbu x adalah …
  1. 80/15 π satuan volume
  2. 68/15 π satuan volume
  3. 64/15 π satuan volume
  4. 34/15 π satuan volume
  5. 32/15 π satuan volume

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan yang membatasi kurva  dan x2 + y2 = 4

Gambar kurva yang dimaksud pada soal, sebagai berikut:

Titik potong:

Dari gambar di atas, maka untuk menghitung volume benda  adalah sebagai berikut:

Jawaban : B

Soal No.36 (SNMPTN 2011)

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.37 (SNMPTN 2013)
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6 – x2 dan y = |x|adalah …

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan yang membatasi kurva:  y = 6 – x2 dan y = |x|

Titik perpotongan pada:

Jawaban : B

Soal No.38 (SBMPTN 2014)
Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva y = bx2 , 0 ≤ x ≤ t. Jika titik P(x0 ,0) sehingga A(x0 ) : A(1) = 1 : 8 maka perbandingan luas trapesium ABPQ : DCPQ = …
  1. 2 : 1
  2. 3 : 1
  3. 6 : 1
  4. 8 : 1
  5. 9 : 1

PEMBAHASAN :

Pada grafik di atas dapat terlihat bahwa fungsi kuadrat membagi persegi panjang menjadi dua daerah dengan perbandingan 1 : 2

Maka:

Jawaban : B

Soal No.39 (SNMPTN 2011)
Luas daerah di bawah y = – x2 + 8x dan di atas y = 6x -24 dan terletak di kuadran I adalah …

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan y = – x2 + 8x dan y = 6x -24, terletak di kuadran I

Kurva yang terbentuk sebagai berikut:

Titik perpotongan pada:
y = y
– x2 + 8x = 6x -24
x2 – 2x – 24 = 0
(x – 6) (x + 4) = 0
x = 6 atau x = -4

maka luas daerah yang dibatasi kurva adalah:

Jawaban : B

Soal No.39 (SNMPTN 2011)
Luas daerah di bawah y = – x2 + 8x dan di atas y = 6x -24 dan terletak di kuadran I adalah …

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan y = – x2 + 8x dan y = 6x -24, terletak di kuadran I

Kurva yang terbentuk sebagai berikut:

Titik perpotongan pada:
y = y
– x2 + 8x = 6x -24
x2 – 2x – 24 = 0
(x – 6) (x + 4) = 0
x = 6 atau x = -4

maka luas daerah yang dibatasi kurva adalah:

Jawaban : B

Soal No.40 (SIMAK UI 2011)
Jika daerah yang dibatasi oleh sumbu y, kurva y = x2 dan garis y = a2 dimana a ≠ 0 diputar mengelilingi sumbu x volumenya sama dengan jika daerah itu diputar mengelilingi sumbu y. nilai a yang memenuhi adalah …
  1. 5/8
  2. 3/8
  3. 2/5
  4. 8/5
  5. 5/2

PEMBAHASAN :
Penyelesaian I:
Mencari titik potong, yaitu:
y = y
x2 = a2
x2 – a2 = 0
(x – a)(x + a) = 0
x = a atau x = – a

penyelesaian II:
volume diputar terhadap sumbu x:

Penyelesaian III:
Volume diputar terhadap sumbu y:

Jawaban : A

Soal No.41 (UMPTN 2009)
  1. a
  2. 1 – a
  3. 2a
  4. a – ½
  5. a

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.42 (UM UGM 2008)
Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x,y) sama dengan 2x + 5. Jika kurva ini melalui titik (2,20) maka kurva tersebut memotong sumbu x di …
  1. (2,0) dan (3,0)
  2. (-2,0) dan (-3,0)
  3. (2,0) dan (-3,0)
  4. (-2,0) dan (3,0)
  5. (-2,0) dan (2,0)

PEMBAHASAN :
Diketahui gradien garis = y’ = 2x + 5
∫ y =2x+5 dx  ⇒  x2 + 5x + C

titik yang dilalui kurva adalah titik (2,20), maka:
20 = 22 + 5(2) + C
20 = 14 + C
C = 6

Persamaan yang terbentuk adalah y = x2 + 5x + 6, memotong sumbu x jika y = 0
⇒ x2 + 5x + 6 = 0
⇒ (x + 3) (x + 2) = 0
x = -3 atau x = -2

sehingga koordinat titik yang memotong sumbu x adalah (-2,0) dan (-3,0)
Jawaban : B

Soal No.43 (UM UGM 2008)
Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = (2m – 1)x adalah 4½ maka m = …
  1. 1½ atau -½
  2. 2 atau -1
  3. 2½ atau -1½
  4. 3 atau -2
  5. 3½ atau -2½

PEMBAHASAN :
Titik perpotongan pada:
y = y
⇒ x2 = (2m – 1)x
⇒ x2 – (2m – 1)x = 0
⇒ D = (-(2m – 1))2 – 4.1.0
⇒(2m – 1)2

Maka untuk menghitung luas, sebagai berikut:

Jawaban : B

Soal No.44 (SPMB 2007)
Jika U1 , U2 , U3 , … berturut – turut adalah suku ke-1, ke-2, ke-3, … suatu barisan aritmetika dengan U3 – U1 = 6 dan U6 = 12 maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = U1 X2 + U2 X + U3 dan sumbu x adalah …
  1. 3 satuan luas
  2. 4 satuan luas
  3. 5 satuan luas
  4. 6 satuan luas
  5. 7 satuan luas

PEMBAHASAN :
Diketahui barisan aritmetika dengan U3 – U1 = 6 dan U6 = 12

Persamaan untuk kurva y = U1 x2 + U2 x + U3
U3 – U1 = 6
(a + 2b) – a = 6
.                 b = 3
U6 = 12
a + 5b = 12
a + 5(3) = 12
.          a = – 3
sehingga, barisan aritmetika yang terbentuk adalah – 3, 0, 3 untuk persamaan y = U1 x2 + U2 x + U3 → -3x2 + 3

maka, untuk menghitung luas daerah sebagai berikut:

Jawaban : B

Soal No.45 (UMPTN 2004)
  1. 0
  2. 18
  3. 68/3
  4. 64/3
  5. 9

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.46 (UMPTN 2003)
Diketahui ∫ f(x) dx = ax2 + bx + c, dan a≠0. Jika a, f(a), 2b membentuk barisan aritmetika, dan f(b) = 6 maka
  1. 17/4
  2. 21/4
  3. 25/4
  4. 13/4
  5. 11/4

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Mau Belajar Privat Online Lewat Zoom Bersama Tim Guru Kami? 
Lebih Jelas KLIK DISINI
Sebelumnya Rangkuman, Contoh Soal Dimensi Tiga Jawaban & Pembahasannya
Selanjutnya Rangkuman Materi, Contoh Soal & Pembahasan Kesebangunan Tingkat SMP

2 Komentar

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.