Rangkuman Materi Integral Kelas 11
Pengertian
Integral merupakan kebalikan dari turunan. Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F(x) = f(x), maka F(x) merupakan anti turunan atau integral dari f(x). Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.
∫ f(x) dx = F(x) + c
Keterangan:
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi integran
F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F(x) = f(x)
c = konstanta pengintegralan
Integral Tak Tentu
Integral Tertentu
Menghitung Luas Daerah
Menentukan Luas Daerah diatas sumbu-x
Menentukan Luas Daerah di bawah sumbu-x
Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x
Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva
Menghitung Volume Benda Putar
Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x
Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y
Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x
Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) Jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y
Contoh Soal Integral Pembahasan & Jawaban Kelas 11

- -5
- -4
- -3
- -2
- -1
PEMBAHASAN :
Jika diasumsikan a < 0
Maka volume benda putar:
Volume = VI + VII
5 = |2a2 – 6a2 – a2|
5 = |-5a2|
(5-a(-5a2))(5+(-5a2)) = 0
(5+5a2)(5-5a2) = 0
a2 = -1
(tidak ada a yang memenuhi)
atau a2 = 1
a = 1 atau a = -1
Jawaban E
- 19
- 38
- 57
- 76
- 95
- 8
- 4
- 0
- -4
- -8
- y = x2 + 3x – 1
- y = x2 + 3x +1
- y = x2 – 3x – 1
- y = x2 – 3x + 1
- y = x2 – 3x + 1
PEMBAHASAN :
y = ∫ 2x – 3dx = x2 – 3x + c
Melalui(-1,5)
5 =(-1)2 – 3(-1) + c
5 = 1 + 3 + c
c = 1
maka, y = x2 – 3x + 1
Jawaban : C
- -√2
- -1
- 0
- 1
- √2
- 1/6
- 1/3
- 5/8
- 2/3
- 3/4
- 1 satuan luas
- 2 satuan luas
- 3 satuan luas
- 4 satuan luas
- 5 satuan luas
PEMBAHASAN :
PEMBAHASAN :
PEMBAHASAN :

PEMBAHASAN :

PEMBAHASAN :
misal u = 9 – x2, maka du = -2x dx, x dx = du/-2

PEMBAHASAN :
misal

PEMBAHASAN :
misal u = 1-2x2, maka du = -4x dx
substitusikan u = 1-2x2 ke persamaan 12u-3 + c

PEMBAHASAN :
dengan mengubah
maka menjadi

PEMBAHASAN :
jika dimisalkan x = 3 sin t, maka sin t = x/3 dan dx = 3 cos t dt.
jika dalam sebuah segitiga
Dengan cos 2t = 1-2 sin2 t
PEMBAHASAN :
Untuk menentukan c dapat ditentukan dari g(2) = 1
g(x) = x2-3x+c
g(2) = 22-3.2 + c
1 = 4-6 + c
1 = -2 + c
c = 1 + 2
c = 3
maka, g(x) = x2 – 3x + 3

PEMBAHASAN :
karena melalui titik (-2, 12), maka
f(-2) = 3(-2)2 – 15(-2) + c
12 = 3.4 + 30 + c
12 = 12 + 30 + c
12 = 42 + c
c = 12 – 42
c = -30
Maka persamaan kurvanya adalah f(x) = 3x2 – 15x – 30

PEMBAHASAN :

PEMBAHASAN :
karena merupakan fungsi genap, maka:

PEMBAHASAN :
Jawaban : D

PEMBAHASAN :
Jawaban : D

PEMBAHASAN :
Jawaban : D

- -2 cos (x – 2π) + C
- -½ cos (x – 2π) + C
- ½ cos (x – 2π) + C
- cos (x – 2π) + C
- 2 cos (x – 2π) + C
PEMBAHASAN :
Jawaban : B

- 4/3
- 2/3
- 1/3
- 7/24
- -1/3
PEMBAHASAN :
Gunakan rumus trigonometri untuk menyelesaikan soal di atas, yaitu:
Trigonometri 2 sin A cos B = sin (A+B) +sin (A-B)
Jawaban : D

PEMBAHASAN :
Jawaban : D

PEMBAHASAN :
Jawaban : D

PEMBAHASAN :
Sehingga,
Jawaban : D

PEMBAHASAN :
Perhatikan grafik berikut:
Menentukan luas daerah berdasarkan gambar di atas:
Jawaban : E
- 2/3 satuan luas
- 4/3 satuan luas
- 7/4 satuan luas
- 8/3 satuan luas
- 15/3 satuan luas
PEMBAHASAN :
Persamaan untuk kurva yang terbentuk pada grafik adalah y = x2 + 3x + 4 dan y = 1 – x, maka:
⇒ y = y
⇒ x2 + 3x + 4 = 1 – x
⇒ x2 + 4x + 3 = 0
⇒ (x + 3) (x + 1)
x = – 3 dan x = – 1
Untuk menghitung luas daerah pada kurva yang terbentuk, sebagai berkut:
Jawaban : B

- 4/60 π satuan volume
- 17/60 π satuan volume
- 23/60 π satuan volume
- 44/60 π satuan volume
- 112/60 π satuan volume
PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan yang membatasi kurva dan x2 + y2 = 1
Gambar kurva yang dimaksud pada soal, sebagai berikut:
Titik potong:
Dari gambar di atas, maka untuk menghitung volume benda adalah sebagai berikut:
Jawaban : B

- 80/15 π satuan volume
- 68/15 π satuan volume
- 64/15 π satuan volume
- 34/15 π satuan volume
- 32/15 π satuan volume
PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan yang membatasi kurva dan x2 + y2 = 4
Gambar kurva yang dimaksud pada soal, sebagai berikut:
Titik potong:
Dari gambar di atas, maka untuk menghitung volume benda adalah sebagai berikut:
Jawaban : B

PEMBAHASAN :
Jawaban : B
PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan yang membatasi kurva: y = 6 – x2 dan y = |x|
Titik perpotongan pada:
Jawaban : B

- 2 : 1
- 3 : 1
- 6 : 1
- 8 : 1
- 9 : 1
PEMBAHASAN :
Pada grafik di atas dapat terlihat bahwa fungsi kuadrat membagi persegi panjang menjadi dua daerah dengan perbandingan 1 : 2
Maka:
Jawaban : B
PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan y = – x2 + 8x dan y = 6x -24, terletak di kuadran I
Kurva yang terbentuk sebagai berikut:
Titik perpotongan pada:
y = y
– x2 + 8x = 6x -24
x2 – 2x – 24 = 0
(x – 6) (x + 4) = 0
x = 6 atau x = -4
maka luas daerah yang dibatasi kurva adalah:
Jawaban : B
PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan y = – x2 + 8x dan y = 6x -24, terletak di kuadran I
Kurva yang terbentuk sebagai berikut:
Titik perpotongan pada:
y = y
– x2 + 8x = 6x -24
x2 – 2x – 24 = 0
(x – 6) (x + 4) = 0
x = 6 atau x = -4
maka luas daerah yang dibatasi kurva adalah:
Jawaban : B
- 5/8
- 3/8
- 2/5
- 8/5
- 5/2
PEMBAHASAN :
Penyelesaian I:
Mencari titik potong, yaitu:
y = y
x2 = a2
x2 – a2 = 0
(x – a)(x + a) = 0
x = a atau x = – a
penyelesaian II:
volume diputar terhadap sumbu x:
Penyelesaian III:
Volume diputar terhadap sumbu y:
Jawaban : A

- a
- 1 – a
- 2a
- a – ½
- a
PEMBAHASAN :
Jawaban : B
- (2,0) dan (3,0)
- (-2,0) dan (-3,0)
- (2,0) dan (-3,0)
- (-2,0) dan (3,0)
- (-2,0) dan (2,0)
PEMBAHASAN :
Diketahui gradien garis = y’ = 2x + 5
∫ y =2x+5 dx ⇒ x2 + 5x + C
titik yang dilalui kurva adalah titik (2,20), maka:
20 = 22 + 5(2) + C
20 = 14 + C
C = 6
Persamaan yang terbentuk adalah y = x2 + 5x + 6, memotong sumbu x jika y = 0
⇒ x2 + 5x + 6 = 0
⇒ (x + 3) (x + 2) = 0
x = -3 atau x = -2
sehingga koordinat titik yang memotong sumbu x adalah (-2,0) dan (-3,0)
Jawaban : B
- 1½ atau -½
- 2 atau -1
- 2½ atau -1½
- 3 atau -2
- 3½ atau -2½
PEMBAHASAN :
Titik perpotongan pada:
y = y
⇒ x2 = (2m – 1)x
⇒ x2 – (2m – 1)x = 0
⇒ D = (-(2m – 1))2 – 4.1.0
⇒(2m – 1)2
Maka untuk menghitung luas, sebagai berikut:
Jawaban : B
- 3 satuan luas
- 4 satuan luas
- 5 satuan luas
- 6 satuan luas
- 7 satuan luas
PEMBAHASAN :
Diketahui barisan aritmetika dengan U3 – U1 = 6 dan U6 = 12
Persamaan untuk kurva y = U1 x2 + U2 x + U3
U3 – U1 = 6
(a + 2b) – a = 6
. b = 3
U6 = 12
a + 5b = 12
a + 5(3) = 12
. a = – 3
sehingga, barisan aritmetika yang terbentuk adalah – 3, 0, 3 untuk persamaan y = U1 x2 + U2 x + U3 → -3x2 + 3
maka, untuk menghitung luas daerah sebagai berikut:
Jawaban : B

- 0
- 18
- 68/3
- 64/3
- 9
PEMBAHASAN :
Jawaban : D

- 17/4
- 21/4
- 25/4
- 13/4
- 11/4
PEMBAHASAN :
Jawaban : A

PEMBAHASAN :
Jawaban : B

PEMBAHASAN :
Dengan integral substitusi sebagai berikut:
Diketahui:
u = 3x2 + 9x – 1
Jawaban : E

- 12
- – 9
- 10
- – 5
- 8
PEMBAHASAN :
Jawaban : A

PEMBAHASAN :
Jawaban : C

PEMBAHASAN :
Jawaban : E

- 2
- 4
- 6
- 8
- 10
PEMBAHASAN :
Jawaban : A

PEMBAHASAN :
Jawaban : D
terimakasih atas informasinya