Rangkuman Materi Matriks

Operasi Aljabar Pada Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang dinyatakan dalam baris dan kolom

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangi jika memiliki ordo yang sama. Caranya yaitu dengan menjumlahkan atau mengurangi elemen seletak,

Contoh:

Diketahui matriks-matriks berikut:

Tentukan:

A + B

Perkalian matriks

Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan k.

Contoh:

Diketahui matriks berikut:

Tentukanlah 3A

Perkalian dua matriks

Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Hasil kalinya adalah jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada baris matriks A dengan elemen-elemen pada kolom matriks B.

Contoh Soal:

Diketahui matriks-matriks berikut:

Tentukan AB

Transpos Matriks

Matriks A transpos (A^t) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke–i dan sebaliknya.

Contoh:

Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut.

1. (A + B)^t = A^t + B^t
2. (A^t)^t = A
3. (cA)^t = cAt, c adalah konstanta
4. (AB)^t = B^tA^t

Determinan

Determinan dari matriks A dinotasikan dengan |A|

Jika Berordo 2×2, menentukan determinannya:

Jika berordo 3×3 menggunakan kaidah Sarrus

Invers Matriks

Invers dari matriks A dinotasikan dengan A^-1

Syarat suatu matriks A mempunyai invers.

• Jika |A| = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular.
• Jika A ≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.

Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear

Jika ada sistem persamaan linear berikut.

ax + by = e

cx + dy = f

Sistem persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan matriks berikut.

Persamaan matriks ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sifat

berikut.

1. Jika AX = B, maka X A^-1B, dengan |A| ≠ 0
2. Jika XA = B, maka X = BA^-1, dengan |A| ≠ 0

Video Pembelajaran Matriks Versi 1 Kelas XI

Video Pembelajaran Matriks Versi 2 Kelas XI

Contoh Soal Matriks Jawaban +Pembahasan

Soal No.1 (UTBK 2019)

Diketahui B = dan B + C = . Jika A adalah matriks berukuran 2 x 2 sehingga AB + AC = , maka determinan dari AB adalah….

1. 4
2. 2
3. 1
4. -1
5. -2

PEMBAHASAN :


Misalkan:




Mencari a,b,c dan d
2a – 3b = 4 |x 1| 2a – 3b = 4
-a + b = 2   |x 2|-2a + 2b = 4      +
……………………………..-b = o,
maka b = o dan a = 2
2c – 3d = -3 |x 1| 2c – 3d = -3
-c + d = 1   |x 2|-2c + d = 2      +
…………………………….-2d = -1,
maka d = ½ dan c = -¾

∴ det (A.B) = det A. det B = 1.2 = 2
Jawaban B

Diketahui matriks A = dan B = .jika A’ adalah transpose matriks A dan AX = B + A’ maka determinan matriks x adalah …

1. 46
2. 33
3. 27
4. -33
5. -46

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

jika A adalah matriks 2×2 yang memenuhi dan   maka hasil kali adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

.Jika A X B^t – C = dengan B^t adalah transpose matriks B, maka nilai a dan b masing-masing adalah …

1. -1 dan 2
2. 1 dan -2
3. -1 dan -2
4. 2 dan -1
5. -2 dan 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Jika P = dan = 2 P ^-1

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Diketahui matriks P = dan Q = Jika P^-1 adalah invers matriks P dan Q^-1 adalah invers matrik Q. Maka determinan matriks P ^-1Q^-1 adalah…

1. 223
2. 1
3. -1
4. -10
5. -223

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

1. 1
2. -1
3. 0
4. -2
5. 2

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Diketahui matriks S = dan M = . Jika fungsi f(S+M, S-M) adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Jika A = , B = , dan det (AB) = 12 maka nilai x adalah …

1. -6
2. -3
3. 0
4. 3
5. 6

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Nilai x² + 2xy + y² yang memenuhi persamaan  adalah …

1. 1
2. 3
3. 5
4. 7
5. 9

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Jika matriks A = , B = Dan C = memenuhi A + B = C^t dengan C^t transpos matriks C maka 2x+3y = …

1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
5. 7

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Diketahui A = , B = dan A² = xA + yB. Nilai xy =…

1. -4
2. -1
3. – ½
4. 1½
5. 2

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Jika  dengan b² ≠ 2a² maka x + y = ….

1. -2
2. -1
3. 0
4. 1
5. 2

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Jika AB = dan det (A) =2 maka det (BA^-1) adalah ….

1. 8
2. 6
3. 4
4. 2
5. 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Matriks A =  mempunyai hubungan dengan matriks B = . Jika matriks C = dan matriks D mempunyai hubungan serupa seperti A dengan B maka matriks C + D adalah …..

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.16 (UM UGM 2004)

Jika I matriks satuan dan matriks A = sehingga A² = pA + ql maka p+q sama dengan ….

1. 15
2. 10
3. 5
4. -5
5. 10

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.17

Jika diketahui matriks
Jika P + Q = R’ dan R’ merupakan transpose matriks R, Tentukan nilai x+y!

PEMBAHASAN :
Diketahui:
P + Q = C’

Maka diperoleh:

• 6 + x = 3, maka x = -3
• 3 + x – y = 8, maka 3 + (-3) – y = 8
  y = -8

Sehingga diperoleh x + y = -3 + (-8) = -11

Soal No.18

Diketahui matriks A =  dan B =  Tentukan matriks 4AB – BA!

PEMBAHASAN :

Soal No.19

Matrik P =  dan Q =.
Matriks (P – kQ) merupakan matriks singular. Tentukan nilai k

PEMBAHASAN :

Karena Matris (P-kQ) singular maka determinan matriks tersebut bernilai 0
|P – k.Q|= 0
Maka :

(k+1)k = 12
k² + k = 12
k² + k – 12 = 0
(k+4)(k-3) = 0
Maka nilai yang memenuhi adalah k = -4 dan k = 3

Soal No.20
Diketahui matriks P = Q = , jika nilai deteminannya adalah 4, Tentukan nilai -2x + y – z = 0

PEMBAHASAN :
Menentukan matriks PQ

Diketahui determinannya = 4, maka:

8(-2x+y+z)-0=4
Maka
-2x+y+z = 0,5

Soal No.21
Diketahui matriks P = dan Q = . Tentukan invers matriks PQ (PQ)^-1

PEMBAHASAN :
Menentukan PQ


Menentukan (PQ)^-1

Soal No.22

Tentukan matriks x jika berlaku

PEMBAHASAN :
Jika
Maka matriks X
X = P^-1.Q

Soal No.23

Tiga buah matriks P = , Q = , R = . Tentukan nilai x yang memenuhi hubungan P^-1.Q = R

PEMBAHASAN :
Menentukan P^-1 (P^-1 = invers matriks P)
P =
P^-1 =
Menentukan nilai X
P^-1.Q =
P^-1.Q = R

Maka:
3x – 10 = 2
3x = 10 + 2 = 12
x = 4

Soal No.24

Tentukan determinan matriks Q jika memenuhi

PEMBAHASAN :
Jika:

Sehingga P. Q = R
Menentukan salah satu determinan bisa menggunakan rumusan
|P|.|Q| = |R|
(2.3-1.1). |Q| = (5.2-0.3)
(5).|Q| = (10)
|Q| = 2

Soal No.25

Diketahui sistem persamaan , Tentukan nilai 2x – 5y !

PEMBAHASAN :
Sistem persamaan tersebut diubah menjadi

PQ = R
Q = P^-1.R
Menentukan P^-1
P^-1 =
Maka:

x = -1 dan y = 1, sehingga:
2x – 5y = 2(-1) – 5(1) = -7

Soal No.26

Sebuah garis 3x + 2y = 6 ditranslasikan dengan matriks , dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor 2. Tentukan hasil transformasinya!

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Translasi dengan M₁ =
Dilatasi pusat O dan faktor skala 2, M₂ =
Menentukan hasil transformasi




Sehingga nilai x dan y
x’ = 6+2x

y’ = -8 + 2y

Maka hasil transformasinya adalah

⇔ 3(x’ – 6) + 2(y’ + 8) = 12
⇔ 3x’ + 2y’ = 14
⇔ 3x + 2y = 14

Soal No.27

Jika  maka x = …

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

PEMBAHASAN :
Log (3a + 1) = 1
3a + 1 = 10
3a = 9
a = 3
log (b – 2) = log a
b – 7 = a
b – 7 = 3
b = 10
^xlog a = log b
^xlog 3 = log 10
^xlog 3 = 1
Maka nilai x = 3
Jawaban C

Soal No.28

Diketahui persamaan matriks . Maka nilai x + y = …

1. 31
2. 20
3. 18
4. 35
5. 41

PEMBAHASAN :

Dari persamaan matriks di atas diperoleh:
12 – x = 1
x = 11
-9 – x + y = 0
-9 – 11 + y = 0
y = 20
Maka x + y = 11 + 20 = 31
Jawaban C

Soal No.29

Terdapat dua buah matriks P dan Q yaitu  dan . Jika PQ = QP, maka  = …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban C

Soal No.30

Diketahui matriks  tidak mempunyai invers. Hasil kali semua nilai x dari matriks tersebut adalah …

1. ½
2. 1
3. -2
4. 0
5. -½

PEMBAHASAN :

x(3x – 1) – 2(x + 2) = 20
3x² – x – 2x – 4 = 14
3x² – 3x – 18 = 0 → dibagi 3
x² – x – 6 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0

Maka jumlah semua nilai x yaitu:
x₁ + x₂ = 3 + (-2) = 1
Jawaban B

Soal No.31

Diketahui matriks  tidak mempunyai invers. Hasil kali semua nilai x dari matriks tersebut adalah …

1. -1
2. 2
3. 4
4. -5
5. 4

PEMBAHASAN :

Matriks tidak mempunyai invers → |A| = 0
(x² – 3x)(x – 4) – (x + 1)(2x – 5) = 0
(x³ – 4x² – 3x² + 12x) – (2x² – 5x + 2x – 5) =0
(x³ – 7x² + 12x) – (2x² – 3x – 5) = 0
x³ – 7x² + 12x – 2x² + 3x + 5 = 0
x³ – 9x² + 15x + 5 = 0
a = 1 , b = -9 , c = 15 , d = 5
Maka hasil kali semua nilai x sebagai berikut:

Jawaban D

Soal No.32

Diketahui matriks . Jika P = A + B, maka invers P adalah P^-1 = …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban D

Soal No.33

Jika . Maka determinan matriks Q adalah …

1. 0
2. 10
3. 1
4. 5
5. -3

PEMBAHASAN :

Maka determinan matriks Q yaitu:
= (2 x 3) – ( (-1) x (– 5))
= 6 – 5
= 1
Jawaban C

Soal No.34

Jika M adalah matriks sehingga , maka determinan matriks M adalah …

1. 0
2. -1
3. 5
4. 1
5. 2

PEMBAHASAN :
Misalkan:
 adalah matriks A
 adalah matriks B

Maka determinan matriks M, sebagai berikut:
Determinan M . determinan A = determinan B
Determinan M . (ps – rq) = (- s)(p + r) – (- r)(q + s)
Determinan M . (ps – rq) = (- ps – sr) – (- rq – sr)
Determinan M . (ps – rq) = – ps – sr + rq + sr
Determinan M . (ps – rq) = – ps + rq
Determinan M =
Jawaban B

Soal No.35

Transpos matriks  adalah . Jika A^T = A^-1 , maka ps – qr = …

1. ½ dan – ½
2. 0 dan 1
3. dan –
4. – 1 dan 0
5. -1 dan 1

PEMBAHASAN :
A^T = A^-1
det A^T = det A^-1
det A^T =
(det A^T ) . (det A) = 1
(ps – qr)² = 1
ps – qr = ± 1
Jawaban B

Soal No.36

Jika matriks Maka nilai determinan dari matriks (AB + C) = …

1. 10
2. 14
3. 18
4. 24
5. 50

PEMBAHASAN :
Diketahui:

Maka (AB + C) sebagai berikut:

Determinan (AB + C) = 13 x 18 – 22 x 10 = 234 – 220 = 14
Jawaban B

Soal No.37

Jika matriks dengan 2A – B = C. Maka nilai x – y = …

1. -1
2. 4
3. -3
4. 6
5. 5

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Matriks
2A – B = C

4 – x = 8 → x = – 4
6 + y = – 4 → y = – 10
Maka x – y = (- 4) – (- 10) = 6
Jawaban D

Soal No.38

Jika matriks maka invers matriks AB = …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban A

Soal No.39

Berikut ini adalah persamaan matriks:

Maka nilai x + y = …

1. 
2. -5
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Menentukan nilai x sebagai berikut:
6 + 8x = 0
8x = – 6

Menentukan nilai y sebagai berikut:
4 – 2x + 2y = 0

Maka nilai
Jawaban E

Soal No.40

Matriks P yang memenuhi  adalah …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban C

Soal No.41

Jika matriks . Maka nilai x + xy – 2y adalah …

1. 6
2. 12
3. 31
4. 14
5. 5

PEMBAHASAN :

Menentukan nilai x:
3 + x = 6
x = 3

Menentukan nilai y:
y + 9 = 4x
y + 9 = 4 . 3
y + 9 = 12
y = 3

Maka x + xy – 2y
⇔ 3 + 3.3 – 2. 3
⇔ 3 + 9 – 6
⇔ 6
Jawaban A

Soal No.42

Diketahui . Maka Det(PQ + R) = …

1. -19
2. 25
3. -30
4. 14
5. -23

PEMBAHASAN :

Maka Det(PQ + R) = 5.11 – 6.13 = -23
Jawaban E

Soal No.43

Jika matriks . Maka invers dari matriks (P-Q) adalah …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban C

Soal No.44

Diketahui matriks  tidak mempunyai invers. Maka nilai x adalah …

1. 1
2. -2
3. 2
4. -4
5. 3

PEMBAHASAN :

Matriks yang tidak memiliki invers jika determinan matriks tersebut adalah 0.
Maka Det (P) = 0
(3x + 2)6 – 4(2x – 2) = 0
18x + 12 – 8x + 8 = 0
10x + 20 = 0
10x = – 20
x = – 2
Jawaban B

Soal No.45

Diketahui matriks . Maka matriks PQ adalah …

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban A

[adinserter block=”3″]