Contoh Soal & Pembahasan Suku Banyak Kelas XI/11

PEMBAHASAN :
Diketahui f(x) = x³ + 2x² – px + q.
Sesuaikan teorema sisa maka

1. f(2) = 16
   (2)³ + 2(2)² – p(2) + q = 16
   -2p + q = 0
2. f(-2) = 20
   (-2)³ + 2 (-2)² – p(-2) + q = 20
   2p + q = 20

Dari persamaan i dan ii diperoleh nilai dari 2p + q = 20
Jawaban : D

1. -11x – 10
2. -10x – 11
3. 11x – 10
4. 10x + 11
5. 11x + 10

PEMBAHASAN :

• Jika Q(x) dibagi x + 2 menghasilkan sisa 3
• Jika P(x) dibagi x² – x – 2 = (x – 2)(x + 1) mempunyai hasil bagi Q(x) dan sisa x + 2 sehingga
  P(x) = (x – 2)(x + 1)Q(x) +(x + 2)
  P(x) = (x – 2)(x + 1){(x + 2).H(x) + (3)} + (x + 2)
  untuk x = -1
  P(-1) = (-1) + 2 = 1
  untuk x = -2
  P(-2) = (-2 – 2)(-2 + 1)(0 + 3) + (-2 + 2) = 12
• Jika P(x) dibagi x² + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) menghasilkan sisa (ax + b)
  P(x) = (x + 2)(x + 1). Q(x) + (ax + b)
  P(-1) = -a + b
  -a + b = -1 …..(1)
  P(-2) = -2a + b
  -2a + b = 12 …..(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh a = -11 dan b = -10
Maka sisanya adalah -11x – 10
Jawaban : A

1. 16x + 8
2. 16x – 8
3. -8x + 16
4. -8x – 16
5. -18x – 24

PEMBAHASAN :
Diketahui P(x) = (x² – x – 2)(x + 1) pembagi suku banyak f(x) = (x⁴ – 3x³ – 5x² + x – 6)
Karena pembagiannya berderajat 2 maka sisanya berderajat 1 yaitu S(x) = mx + n
Sisa dapat diperoleh dengan algoritma pembagian
f(x) = (x – 2)(x + 1). H(x) + (mx + n)

1. Untuk x = 2
   (2)⁴ – 3(2)³ – 5(2)² + (2) – 6 = 2m + n
   2m + n = -32
2. Untuk x = -1
   (-1)⁴ – 3(-1)³ – 5(-1)² + (-1) – 6 = -m + n
   -m + n =-8

Persamaan i dan ii dieliminasi diperoleh
m = -8 dan n = -16
Maka, sisanya adalah -8x – 16.
Jawaban : D

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. lebih dari 3

PEMBAHASAN :
S(x) = x² – 63x = c memiliki akar x₁ dan x_1, maka x₁ + x₂ =  = 63 dan x_1.x₂ = = c
Dari penjumlahan dua akar diatas diketahui bernilai ganjil (63) maka satu bilangan merupakan ganjil dan satu bilangan mrupakan bilangan genap.
Diketahui kedua akar merupakan bilangan prima maka bilangan genap yang merupakan bilangan prima adalah 2 (x₁ = 2) sedangkan bilangan ganjil nya dapat dihitung dengan penjumlahan kedua akarnya tadi. x₁+x₂ = 63 sehingga diperoleh x₂ = 61. Maka, banyaknya nilai c yang mungkin ada 1, yaitu (2 x 61 = 122)
Jawaban : C

1. (x + 3)
2. (3 – x)
3. (x – 3)
4. (3x + 1)
5. 2

PEMBAHASAN :
Menurut teorema sisa

1. Jika f(x) dibagi (x² – 2) = x(x – 1) memiliki sisa (3x – 1)
   1. f(0) = 3(0) + 1 = 1
   2. f(3) = 3(3) + 1 = 10
2. Jika f(x) dibagi (x² + 2) = x(x+1) memiliki sisa (1- x)
   1. f(0) = 1 – (0) = 1
   2. f(1) = 1 – (-1) = 2

Sisa pembagian f(x) oleh (x² – 1) = (x – 1) (x + 1) dapat diperoleh dengan algoritma pembagian
f(x) = (x – 1)(x + 1).H(x) + S(x)
f(x) = (x – 1)(x + 1).H(x) + (mx + n)

1. Untuk x = 1
   f(1) = m + n → m + n = 4
2. Untuk x = -1
   f(-1) = -m + n → -m + n = 2

Dari hasil i dan ii diperoleh m = 1 dan n = 3.
Dan sisanya adalah x + 3 .
Jawaban : A

1. a = 1, b = -3
2. a = 0, b= 0
3. a = -1, b = 3
4. a = -6, b = 19

PEMBAHASAN :
Jika f(x) = ( 3x – 10) ¹⁰ + (-4x + 13)¹³ + (5x – 16)¹⁶ + (ax + b)¹⁹. dibagi (x – 3) menghasilkan sisa 3 maka f(3) = 3 sehingga
(3(3)-10)¹⁰– (-4(3) + 13)¹³ + (5(3)-16)¹⁶ + (a(3)+b)¹⁹ = 3
1 + 1 + 1 + (3a + b)¹⁹ = 3
(3a + b)¹⁹ = 0
3a + b = 0

1. a = 1, b = -3 (benar)
   3(1) + (-3) = 0
2. a = 0, b = 0 (benar)
   3(0) + (0) = 0
3. a = -1, b = 3 (benar)
   3(-1) + (3) = 0
4. a = -6, b = 19 (salah)
   3(-6) + 19 ≠ 0

Jawaban benar 1, 2, 3
Jawaban : A

1. -1
2. -2
3. 2
4. 9
5. 12

PEMBAHASAN :
Diketahui f(x) = (2x³ + ax² – bx + 3).
Jika f(x) dibagi (x²-4) = (x-2)(x+2) akan memiliki sisa (x + 23), maka

1. f(2) = (2) + 23
   2(2)³ + a(2)² – b(2) + 3 = 25
   2a – b = 3
2. f(-2) = (-2) + 23
   2(-2)³ + a(-2)² – b(-2) + 3 = 21
   2a + b = 17.

Dari i dan ii diperoleh a = 5 dan b = 7. Maka a + b = 12.
Jawaban : E

1.  dan 1
2.  dan 1
3. 1 dan
4. 1 dan
5.  dan 1

PEMBAHASAN :
Diketahui
f(x) = ax³ + 3bx² + (2a-b) x + 4

• Jika f(x) dibagi (x-1) memiliki sisa 10
  f(1) = 10
  a(1)³ + 3b(1)² + (2a – b)(1) + 4 = 10
  3a + 2b = 6 … (i)
• Jika f(x) dibagi (x + 2 ) sisa 2
  f(-2) = 2
  a(-2)³ + 2b(-2)² + (2a – b)(-2) + 4 = 2
  -12a + 14b = -2
  6a – 7b = 1 … (ii)

Dari persamaan (i) dan (ii) di peroleh
a = dan b = 1
Jawaban : A

1. 
2. 9x – 5
3. 5x + 3
4. 11x – 9
5. 5x + 9

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

1. -10
2. -1
3. 1
4. 2
5. 23

PEMBAHASAN :

Jawaban : D