DAFTAR ISI
Rangkuman Materi Bab Lingkaran Kelas 8 SMP
Unsur-Unsur Lingkaran
- Jari-jari lingkaran, adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan titik pada keliling lingkaran. Contohnya garis OR, OQ, OP, dan OS.
- Diameter lingkaran, adalah garis lurus antara dua titik pada keliling lingkaran yang melewati titik pusat lingkaran. Contohnya garis PQ dan garis RS.
- Titik pusat lingkaran, adalah suatu titik yang berada tepat di tengah-tengah lingkaran. Contohnya titik O.
- Busur lingkaran, adalah garis lengkung pada keliling lingkaran. Busur lingkaran di bagi 2 macam yaitu:
- Busur kecil: panjangnya kurang dari setengah lingkaran
- Busur besar: panjangnya lebih dari setengah lingkaran
Contohnya: garis PR, RQ, QS, dan PS
- Tali busur lingkaran, adalah garis lurus yang menghubungkan garis lengkung busur lingkaran pada keliling lingkaran tetapi tidak melewati titik pusat lingkaran. Contohnya garis lengkung PR, RQ, QS, dan PS.
- Juring lingkaran, adalah daerah yang dibatasi atau diapit oleh dua garis jari-jari dan satu busur lingkaran. Juring lingkaran dibagi menjadi dua yaitu juring kecil dan juring besar tergantung besar kecilnya busur lingkaran. Contohnya daerah QOR.
- Tembereng lingkaran, adalah daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur lingkaran. Contohnya daerah busur PS dan tali busur PS.
- Sudut lingkaran
- Sudut pusat lingkaran: sudut antara dua buah jari-jari pada titik pusat lingkaran. Contohnya ∠POQ
- Sudut keliling lingkaran: sudut yang terbentuk karena pertemuan antara dua tali busur dengan satu pada keliling lingkaran. Contohnya tali busur PR dan RQ bertemu di titik R sehingga membentuk ∠PRQ.
Sifat-sifat sudut pada lingkaran, sebagai berikut:
- Apabila sudut keliling suatu lingkaran menghadap diameter lingkaran, maka besar sudut keliling sama dengan 900 .
- Apabila sudut-sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut-sudut keliling tersebut adalah sama.
- Jumlah sudut keliling yang saling berhadapan adalah 1800 .
- Garis singgung lingkaran, adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik pada keliling lingkaran. Contohnya perhatikan gambar di atas!
- Apotema lingkaran, adalah garis tegak lurus dengan tali busur merupakan jarak terpendek antara tali busur dengan titik pusat lingkaran. Contohnya garis OU.
Rumus-Rumus Lingkaran
Luas lingkaran
L = π x r2 atau L = ¼ π d2 k
Keterangan:
π = phi = 3,14 = 22/7
r = jari-jari = ½ x d
d = diameter
Keliling lingkaran
K = 2 x π x r atau K = π x d
Garis singgung
Garis singgung melalui titik di luar lingkaran
Berlaku teorema Pythagoras:
Perhatikan ΔAOB!
OB2 = OA2 + AB2
Keterangan:
OA = r = jari-jari
OB = Jarak titik ke pusat lingkaran
AB = panjang garis singgung
Garis singgung dua lingkaran
- Garis singgung persekutuan luar
Berlaku teorema Pythagoras:
Perhatikan ΔPQS!
Keterangan:
R = panjang jari-jari lingkaran besar
r = panjang jari-jari lingkaran kecil
k = jarak pusat lingkaran A dan B
PS = R – r
I = AB = panjang garis singgung lingkaran A dan B - Garis singgung persekutuan dalam
Perhatikan ΔPQS!
Keterangan:
AB = d = panjang garis singgung persekutuan dalam
R = panjang jari-jari lingkaran besar
r = panjang jari-jari lingkaran kecil
k = jarak titik pusat kedua lingkaran
PS = jumlah jari-jari lingkaran P dan Q = R + r
Lingkaran dalam dan lingkaran luar
Jari-jari lingkaran luar segitiga:
Jari-jari lingkaran dalam segitiga:
Contoh Soal & Pembahasan Lingkaran Kelas 8 Tingkat SMP
- 400,00 cm2
- 454,323 cm2
- 490,625 cm2
- 521,425 cm2
PEMBAHASAN :
Diketahui
Keliling = 78,5 cm
Menentukan diameter dari keliling
K = π. d
Menentukan jari-jari dari diameter
d = 2. r
maka r = ½. d = ½. 25 cm = 12,5 cm
Maka luas lingkaran tersebut adalah
L = πr2 = 3,14. (12,5)2 = 490,625 cm2
Jawaban C
- 28,26 cm2
- 33,23 cm2
- 38,56 cm2
- 50,16 cm2
PEMBAHASAN :
Menentukan luas daerah yang diarsir yaitu dengan mengurangkan luas setengah lingkaran besar dengan 2 luas setengah lingkaran kecil
Luas Arsir = luas setengah lingkaran besar – 2 x luas setengah lingkaran kecil
Menentukan luas setengah lingkaran besar
L = ½ . π. r2 = ½ . 3,14. (½.12)2 = ½ . 3,14. (6)2 = 56,52 cm2
Menentukan luas setengah lingkaran kecil
L = ½ . π. r2 = ½ . 3,14. (½.6)2 = ½ . 3,14. (3)2 = 14,13 cm2
Maka luas daerah yang di arsir adalah
L = 56,52 – 2. 14,13 = 56,52 – 28,26 = 28,26 cm2
Jawaban A
- 50o
- 55,5o
- 60,5o
- 64,5o
PEMBAHASAN :
Jika digambarkan sebagai berikut
Menentukan ∠AOB dapat ditentukan dari perbandingan
Jawaban D
Luas juring AOB jika diketahui panjang busur AB yaitu 26,167 cm dan panjang jari-jari lingkarannya yaitu 25 cm adalah….
- 254,650o
- 289,56o
- 327,083o
- 376,54o
PEMBAHASAN :
Jika digambarkan sebagai berikut
Menentukan ∠AOB
Menentukan luas juring AOB dengan menggunakan perbandingan
Jawaban C
- 20,934 – 50√3 cm2
- 34,654 – 50√3 cm2
- 20,934 – 100√3 cm2
- 34,654 – 100√3 cm2
PEMBAHASAN :
Menentukan luas juring AOB
Menentukan luas Δ AOB
tinggi segitiga diperoleh lewat phytagoras
maka luas Δ AOB
luas Δ AOB = ½. alat. tinggi = ½. 20. 10√3 = 100√3 cm2
Maka luas temberengnya
luas tembereng = luas juring – luas segitiga = 20,934 – 100√3 cm2
Jawaban C
- 8√2
- 10√2
- 12√2
- 15√2
PEMBAHASAN :
Menentukan panjang tali busur abi bisa ditentukan menggunakan Phytagoras pada segitiga AOB
Jawaban B
- 1 cm
- 2 cm
- 3 cm
- 4 cm
PEMBAHASAN :
Diketahui
R = 12 cm
l = 6 cm
k = 10 cm
Menentukan jari-jari dihitung dari rumus persekutuan luar
Kuadratkan kedua sisi
36 = 100 – (144 – 24 r + r2
36 = 100 – 144 + 24r – r2
r2 – 24r + 80 = 0
(r – 20) (r – 4) = 0
r = 20 atau r = 4 cm
jari-jari lingkaran B yang mungkin adalah 4 cm
Jawaban D
- 5√5
- 10√5
- 5√2
- 10√2
PEMBAHASAN :
Diketahui
R = 8 cm
r = 2 cm
k = 15 cm
Menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam menggunakan rumus
Jawaban A
- Rp. 213.600,00
- Rp. 987.200,00
- Rp. 3.981.600,00
- Rp. 8.503.200,00
PEMBAHASAN
Diketahui
d = 24 m, maka r = 12 m
Menentukan luas tanah yang akan ditanami rumput
L = luas taman – luas kolam
L = (π r2) – (pxl)
l = (3,14.(12)2) – 9 x 6 = 452,16 – 54 = 398,16 m2
Maka biaya pemasangannya adalah
Biaya = Luas yang akan ditanami x (harga rumput + harga pasang)
Biaya = 398,16 x (Rp. 6.000 + Rp. 4.000) = 398,16 x Rp. 10.000 = Rp. 3.981.600,00
Jawaban C
- 197 cm2
- 454,23 cm2
- 867,34 cm2
- 1480,24 cm2
PEMBAHASAN :
Diketahui:
panjang kertas = 60 cm
lebar kertas = 50 cm
d = 44 cm, maka r = 22 cm
Menentukan sisa kertas yang tidak terpakai
sisa = luas kertas – luas lingkaran
sisa = (p x l) – (πr2)
sisa = (60 x 50) – (3,14. (22)2) = 3000 – 1519,76
sisa = 1480,24 cm2
Jawaban D
- Tembereng
- Juring
- Segitiga
- Tali busur
PEMBAHASAN :
Pada unsur-unsur lingkaran yang dimaksud dengan juring adalah daerah yang dibatasi atau diapit oleh dua garis jari-jari dan satu busur lingkaran. Sedangkan tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur lingkaran.
Jawaban B
- 80,32
- 78,55
- 75,36
- 72,31
PEMBAHASAN :
Diketahui:
r = 12 cm
π = 3,14
Menghitung panjang keliling lingkaran adalah sebagai berikut:
K = 2πr = 2 x 3,14 x 12 cm = 75,36 cm
Jawaban C

- 41,12
- 39,5
- 35,09
- 30,87
PEMBAHASAN :
Diketahui:
d = 16 m
Menentukan panjang batas kolam yang dipasangi keramik adalah sebagai berikut:
panjang batas kolam = ½ keliling lingkaran + diameter
. = (½ x π x d) + d = (½ x 3,14 x 16 m) + 16 m = 41,12 m
Jawaban A

- 10
- 11
- 12
- 13
PEMBAHASAN :
Diketahui:
L = 132,665 cm2
Maka, panjang jari-jari dapat dihitung sebagai berikut:
L = ¼ x L lingkaran
132,665 = ¼ x 3,14 x r2
132,665 = 0,785 x r2
r2 = 169
r = 13
Jawaban D

- 356,78
- 452,42
- 510,25
- 555,13
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Diameter lingkaran besar (d) = 30 cm atau r = ½ x 30 cm = 15 cm
Dameter lingkaran kecil (d) = 20 atau r = ½ x 20 cm = 10 cm
Maka, luas daerah yang diarsir dapat dihitung sebagai berikut:
Luas = Luas setengah lingkaran besar + luas setengah lingkaran kecil
. = (½ x π x r2) + (½ x π x r2) = (½ x 3,14 x (15)2) + (½ x 3,14 x (10)2)
. = 353,25 + 157 = 510,25
Jawaban C

- 452,42
- 510,25
- 555,13
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Diameter lingkaran (d) = 50 m
panjang satu lintasan lurus = 100 m
Menghitung panjang lintasan sebagai berikut:
Panjang lintasan atau keliling = (2 x panjang lintasan lurus) + (keliling lingkaran)
. = (2 x 100 m) + (3,14 x 50 m) = 200 m + 157 m = 357 m
Jawaban A

- 452,42
- 510,25
- 555,13
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Diameter lingkaran (d) = 50 m
panjang satu lintasan lurus = 100 m
Menghitung panjang lintasan sebagai berikut:
Panjang lintasan atau keliling = (2 x panjang lintasan lurus) + (keliling lingkaran)
. = (2 x 100 m) + (3,14 x 50 m) = 200 m + 157 m = 357 m
Jawaban A
- 23,13 cm
- 32,15 cm
- 39,25 cm
- 40,15 cm
PEMBAHASAN :
Diketahui:
OP = r = 15 cm
Titik pusat = titik O
∠POQ = 1500
Dengan perbandingan, dapat dihitung panjang busur PQ sebagai berikut:
Jawaban C
- 200,5
- 209,3
- 214,5
- 287,2
PEMBAHASAN :
Diketahui:
OA = 20 cm
∠AOB = 600
Maka luas juring POQ dapat dihitung sebagai berikut:
Jawaban C
- 11,2
- 12,3
- 13,2
- 14,5
PEMBAHASAN :
Diketahui:
luas juring POQ = 45,6 cm2
∠POQ = 420
Mencari luas lingkaran dapat dihitung sebagai berikut:
Untuk menghitung jari-jari lingkaran dapat dihitung sebagai berikut:
Menentukan jari-jari dari luas lingkaran
L = πr2
391 = 3,14 x r2
r2 = = 125
r = = 11,2 cm
Jawaban A

- 500
- 650
- 700
- 750
PEMBAHASAN :
Diketahui:
∠POB = 1300
Pada lingkaran luar segitiga seperti gambar diatas berlaku:
∠PRQ = ½ x ∠POQ = ½ x 1300 = 650
Jawaban B

- 200
- 300
- 400
- 500
PEMBAHASAN :
Diketahui:
∠A = 5x
∠B = 900
∠C = 4x
∠ABC = 1800
Menentukan nilai ∠C
∠A + ∠B + ∠C = 1800
5x + 900 + 4x = 1800
. 9x = 900
. x = 100
maka, ∠ACB = ∠C = 4x = 4 x 100 = 400
Jawaban C
- Sudut keliling harus bertolak belakang dengan sudut pusat
- Sudut keliling suatu lingkaran yang menghadap diameter lingkaran, maka besar sudut keliling sama dengan 900 .
- Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, maka besar sudut-sudut keliling tersebut akan sama.
- Jumlah sudut keliling yang saling berhadapan adalah 1800 .
PEMBAHASAN :
Sifat-sifat sudut keliling adalah:
- Apabila sudut keliling suatu lingkaran menghadap diameter lingkaran, maka besar sudut keliling sama dengan 900 .
- Apabila sudut-sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut-sudut keliling tersebut adalah sama.
- Jumlah sudut keliling yang saling berhadapan adalah 1800 .
Jawaban A
- Tali busur
- Apotema
- Tembereng
- Busur
PEMBAHASAN :
- Tali busur: garis lurus yang menghubungkan garis lengkung busur lingkaran pada keliling lingkaran tetapi tidak melewati titik pusat lingkaran.
- Apotema: garis tegak lurus dengan tali busur merupakan jarak terpendek antara tali busur dengan titik pusat lingkaran.
- Tembereng: daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur lingkaran.
- Busur: garis lengkung pada keliling lingkaran.
Jawaban C
- 698,6
- 706,5
- 728,2
- 755,6
PEMBAHASAN :
Diketahui:
K = 94,2 cm
π = 3,14
Menentukan panjang jari-jari lingkaran dapat dihitung sebagai berikut:
K = 2πr
94,2 = 2 x 3,14 x r
94,2 = 6,28 x r
r = 15 cm
Maka, luas lingkaran dapat dihitung sebagai berikut:
L = πr2 = 3,14 x 152 = 706,5 cm2
Jawaban B
- 4 : 1
- 3 : 1
- 2 : 1
- 1 : 1
PEMBAHASAN :
Diketahui:
rp = 2 x rQ
Maka untuk menghitung besar perbandingan luas lingkaran P dan Q adalah:
Maka perbandingannya adalah 4 : 1
Jawaban A

- 500
- 600
- 700
- 800
PEMBAHASAN :
Diketahui:
∠POQ = 1200
Pada lingkaran luar segitiga seperti gambar diatas berlaku:
∠PTQ = ½ x ∠POQ = ½ x 1200 = 600
Jawaban B
- 1
- 2
- 3
- 4
PEMBAHASAN :
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik pada keliling lingkaran.
Jawaban A
- 9 cm
- 10 cm
- 11 cm
- 12 cm
PEMBAHASAN :
Diketahui:
R = 7 cm
r = 5 cm
k = 15 cm
maka panjang garis singgung persekutuan dalam (d) dapat dihitung sebagai berikut:
Jawaban A
- 10,5
- 11
- 12,5
- 13
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Panjang sisi a = 15 cm
Panjang sisi b = 20 cm
Panjang sisi c = 25 cm
Menentukan luas segitiga sebagai berikut:
L = ½ x 15 cm x 20 cm
. = 150 cm2
Menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga adalah:
Jawaban C
- 2,9
- 4,5
- 5
- 5,4
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Panjang sisi a = 15 cm
Panjang sisi b = 20 cm
Panjang sisi c = 25 cm
Menentukan luas segitiga sebagai berikut:
L = ½ x 15 cm x 20 cm
. = 150 cm2
Menentukan panjang jari-jari lingkaran dalamnya sebagai berikut:
s = ½ x keliling segitiga
. = ½ x (15 cm +20 cm + 25 cm)
. = 30 cm
Maka jari-jari lingkaran dalamnya adalah
Jawaban C

- 950
- 900
- 2050
- 1050
PEMBAHASAN :
Diketahui:
∠juring kecil POQ = 1500
∠juring besar POQ = 3600 – 1500 = 2100
Maka besar ∠PRQ = ½ x 2100 = 1050
Jawaban D
- 31,1
- 26,8
- 33,9
- 41,2
PEMBAHASAN :
Diketahui:
R = 12 cm
r = 6 cm
k = 36 cm
Untuk menghitung panjang garis singgung persekutuan dalam (d) adalah:
Jawaban A
- 31,1
- 26,8
- 33,9
- 41,2
PEMBAHASAN :
Diketahui:
R = 12 cm
r = 6 cm
k = 36 cm
Untuk menghitung panjang garis singgung persekutuan dalam (d) adalah:
Jawaban A
- 43
- 45
- 37
- 39
PEMBAHASAN :
Diketahui:
R = 10 cm
r = 6 cm
d = 42 cm
Rumus yang berlaku untuk garis singgung persekutuan dalam untuk menentukan jarak antara titik pusat Pdan Q sebagai berikut:
Jawaban B

- 43
- 45
- 37
- 39
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Jari-jari lingkaran besar = rb = 8 cm + 4 cm = 12 cm
Jari-jari lingkaran kecil = rk = 8 cm
Maka untuk menghitung luas daerah yang diarsir sebagai berikut:
Luas daerah yang diarsir = ½ luas lingkaran besar – ½ luas lingkaran kecil
Jawaban D

- 75,76
- 77,68
- 81,12
- 85,32
PEMBAHASAN :
Menentukan keliling setengah lingkaran
K = ½ x (π x d)
K = ½ x (3,14 x 12 cm) = 18,84 cm
Menentukan keliling persegi panjang
K = 2 x (p + l)
K= 2 x (12 cm + 8 cm) = 40 cm
Menentukan keliling seperempat dua lingkaran
K = 2 x (1/4 x π x d)
K = 2 x (1/4 x 3,14 x 12 cm) = 18,84 cm
Maka besar keliling gambar yang diarsir adalah 18,84 cm + 40 cm + 18,84 cm = 77,68 cm
Jawaban B
- 178,12
- 180,43
- 197,36
- 209,04
PEMBAHASAN :
Menentukan luas setengah lingkaran
L = ½ x (π x r2)
L = ½ x (3,14 x 62 cm) = 56,52 cm
Menentukan luas persegi panjang
L = p x l = 12 cm x 8 cm = 96 cm2
Menentukan luas seperempat lingkaran
L = 2 x (1/4 x π x r2)
L = 2 x (1/4 x 3,14 x 62 cm) = 56,52 cm
Maka besar keliling gambar yang diarsir adalah 56,52 cm + 96 cm + 18,84 cm = 209,04 cm
Jawaban D
- 28,2
- 31,4
- 37,5
- 40,3
PEMBAHASAN :
Diketahui:
OP = OQ = 30 cm
∠POQ = 600
Maka, untuk menghitung panjang busur PQ adalah sebagai berikut:
Jawaban D

- 13,4
- 14
- 14,9
- 15
PEMBAHASAN :
Diketahui:
OQ = 6 cm
PQ = 12 cm
∠PQO = sudut siku-siku
Maka untuk menghitung panjang OP berlaku sebagai berikut:
Jawaban A

- 400
- 300
- 200
- 100
PEMBAHASAN :
Diketahui:
∠ABO = sudut siku-siku
AB = 18 cm
OA = 24 cm
Menentukan jari-jari lingkaran sebagai berikut:
Maka keliling lingkaran dapat dihitung sebagai berikut:
K = 2πr
K = 2 x 3,14 x 15,9 cm = 100 cm
Jawaban D