Rangkuman Logika Matematika Kelas 11
Operasi Logika
Operasi pada logika matematika ada 5, yaitu:
- Negasi/ ingkaran ( bukan …)
Negasi atau ingkaran apabila dari sebuah pernyataan dapat membubuhkan kata tidak benar atau dapat menyisipkan kata bukan. Jika P adalah sebuah pernyataan, maka negasi/ ingkarannya dapat ditulis ∼P. - Disjungsi (… atau …)
Disjungsi apabila pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan, misalkan p dan q yang dirangkaikan menggunakan kata hubung atau. Dapat dilambangkan p ∨ q, dibaca p atau q. - Konjungsi (… dan ….)
Konjungsi apabila pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan, misalkan p dan q yang dirangkaikan menggunakan kata hubung dan. Dapat dilambangkan p ∧ q, dibaca p dan q. - Implikasi (jika … maka …)
Implikasi bisa diartikan dengan pernyataan bersyarat/ kondisional, apabila pernyataan majemuk disusun dari dua buah pernyataan. Misalkan jika p maka q dilambangkan p ⇒ q. - Biimplikasi/implikasi dwiarah (jika dan hanya jika …)
Biimpikasi apabila pernyataan dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung “ jika dan hanya jika”. Misalkan p jika dan hanya jika q dilambangkan p⇔q
Tabel Kebenaran
Kuantor
Suatu ungkapan yang diterapkan pada kalimat terbuka dengan satu variabel dan dapat mengubahnya menjadi kalimat tertutup disebut kuantor. Ada 2 macam Kuantor, yaitu:
- Kuantor Universal
Suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, dilambangkan dibaca “untuk semua nilai x”. - Kuantor Eksistensial
Suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, dilambangkan dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x”.
Negasi pernyataan majemuk
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Hubungan nilai kebenaran dari suatu implikasi p q diperoleh:
- q ⇒ p disebut konvers dari p ⇒ q
- ~ p⇒ ~ q disebut invers dari p ⇒ q
- ~ q ⇒ p disebut kontraposisi dari p ⇒ q
Ekuivalensi
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Pernyataan ekuivalensi ada dua, yaitu:
- p ⇒ q ≡ ~ p v q
- p ⇒ q ≡ ~q ⇒ p
Penarikan Kesimpulan
Proses penarikan kesimpulan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya disebut premis. cara menarik kesimpulan dari 2 premis sebagai berikut:
- Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)
Premis 1 : p ⇒ q
Premis 2 : p
Kesimpulan : q - Modus Tolens (Kaidah Penolakan Akibat)
Premis 1 : p ⇒ q
Premis 2 : ~q
Kesimpulan : ~p - Silogisme (Sifat Menghantar atau Transitif)
Premis 1 : p ⇒ q
Premis 2 : q ⇒ r
Kesimpulan : p ⇒ r
Video Pembelajaran Logika Matematika Kelas XI
Contoh Soal & Pembahasan Logika Matematika Kelas 11
- Ani lulus sekolah, tetapi ia tidak di belikan sepeda.
- Ani lulus sekolah dan ia dibelikan sepeda.
- Ani tidak lulus sekolah, tetapi ia dibelikan sepeda.
- Ani tidak sekolah dan ia tidak dibelikan sepeda.
- Ani tidak lulus sekolah sehingga ia tidak dibelikan sepeda.
PEMBAHASAN :
“Tidak benar bahwa jika Ani lulus sekolah, maka ia di belikan sepeda”. Bisa diartikan sama dengan pernyataan “Jika ani tidak lulus sekolah maka Ani tidak di belikan sepeda”.
Diketahui pernyataan:
P = Ani lulus sekolah
q = Ani dibelikan sepeda
~ (~ p Þ ~ q) = ~ (p Ú ~ q) = ~ p Ù q
Maka ingkarannya menjadi “Ani tidak lulus sekolah, tetapi ia dibelikan sepeda”.
Jawaban : E
- SBSB
- SSSB
- SSBB
- SBBB
- BBBB
PEMBAHASAN :
Tabel kebenaran untuk menentukan nilai yang tepat untuk ( p ^ q ) ~ p:
Jawaban : D
- p ⇒ q
- p ⇒ ~ q
- ~ p ⇒ q
- ~ p ⇒ ~ q
- p ⇒ q
PEMBAHASAN :
⇔(~ p ∨ q) ∧ (p ∨ ~ q)
≡ (p ⇒ q) ∧ (~p ⇒ ~q)
≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
≡ p ⇔ q
Jawaban : E
- (~ p ∨ ~ q) ∧ q
- (p ⇒ q) ∧ q
- (~ p ⇔ q) ∧ p
- (p ∧ q) ⇒p
- (~ p ∨ q) ⇒ p
PEMBAHASAN :
Diketahui:
~ p bernilai benar
q bernilai salah
Jawaban : D
P : Jakarta ada di pulau Bali.
Q : 2 adalah bilangan prima.
R : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.
Pernyataan majemuk berikut ini yang bernilai benar adalah …
- (~ P ∨ Q) ∧ R
- (~ Q ∨ ~ R) ∧(~ Q ∨ P)
- (P ∧ ~ Q) ∧ (Q ∨ ~ R)
- ~ P ⇒ R
- ~ R ∧ ~ (Q ∧ R)
PEMBAHASAN :
Pernyataan:
P : Jakarta ada di pulau Bali.
(pernyataan salah)
Q : 2 adalah bilangan prima.
(pernyataan benar)
R : Semua bilangan prima adalah bilangan ganji.
(pernyataan salah)
Jadi, pernyataan majemuk yang benilai benar adalah
~ R ∧ ~ (Q ∧ R)
Pembuktian kebenaran:
⇔ ~ S ∧ ~ (B ∧ S)
⇔ B ∧ ~ S
⇔ B ∧ B
⇔ B
Jawaban : E
- Gunung Bromo tidak di Jawa Timur atau Bunaken tidak di Sulawesi Utara.
- Gunung Bromo tidak di Jawa Timur dan Bunaken tidak di Sulawesi Utara.
- Gunung Bromo di Jawa Timur dan Bunaken tidak di Sulawesi Utara.
- Jika Gunung Bromo di Jawa Timur, maka Bunaken tidak di Sulawesi Utara
- Jika Gunung Bromo di Jawa Timur, maka Bunaken tidak di Sulawesi Utara.
PEMBAHASAN :
Pernyataan pada soal:
p = Gunung Bromo di Jawa Timur.
q = Bunaken di Sulawesi Utara.
Pernyataan dari kalimat majemuk dapat ditulis: p ˅ q negasinya: ~ (p ˅ q) ≡ ~ p ∧ ~ q. Maka negasi dari pernyataan tersebut adalah “Gunung Bromo tidak di Jawa Timur dan Bunaken tidak di Sulawesi Utara”.
Jawaban : B
- “Matahari tidak bersinar jika dan jika hanya hari hujan”.
- “Matahari tidak bersinar dan hari tidak hujan”.
- “Jika matahari bersinar maka hari hujan”.
- “Matahari bersinar dan hari hujan”.
- “Matahari tidak bersinar”.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = matahari bersinar
q = hari hujan.
”Matahari bersinar dan hari tidak hujan”, pernyataan dituliskan: ≡ p ∧ ~ q. Pernyataan akan bernilai benar jika keduanya bernilai benar. Jadi, p benar dan ~ q benar atau q salah.
“Matahari tidak bersinar jika dan hanya jika hari hujan“, pernyataan dituliskan: ≡ ~ p ⇔ q jadi ~ p ⇔ q pernyataan bernilai s ⇔ s hasilnya benar.
Jawaban : A
- Mahasiswa berdemonstrasi atau lalu lintas macet.
- Mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas macet.
- Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet.
- Ada mahasiswa berdemonstrasi.
- Lalu lintas tidak macet.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Semua mahasiswa berdemonstrasi
q = Lalu lintas macet
Pernyataan tersebut dilambangkan: p ⇒ q ingkarannya: ~ (p ⇒ q) ≡ ~ (~ p ˅ q) p ∧~ q. Maka ingkaran dari pernyataan di atas adalah “Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet”.
Jawaban : C
- Tidak benar bahwa saya lulus UM dan saya gembira.
- Saya tidak lulus UM dan saya tidak gembira.
- Saya lulus UM dan saya tidak gembira.
- Saya tidak lulus UM atau saya gembira.
- Jawaban salah semua.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = saya lulus UM.
q = saya gembira.
Saya lulus UM dan saya gembira, pernyataan dituliskan: (p ∧ q). Ingkaran p ∧ q adalah ~ (p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q.
Maka, ingkarannya adalah “saya tidak lulus UM atau saya tidak gembira”.
Jawaban : E
- √4 ≤ 4 jika dan hanya jika sin 45o < sin 60o
- √4 < 4 jika dan hanya jika sin 45o ≥ sin 60o
- √4 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45o > sin 60o
- √4 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45o ≥ sin 60o
- √4 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45o > sin 60o
PEMBAHASAN :
Diketahui:
p = √4 < 4
q = sin 45o < sin 60o
Pernyataan “√4 < 4 jika dan hanya jika 45o < sin 60o” dilambangkan dengan p ⇔ q sehingga ~ (p ⇔ q) ≡ p ⇔ ~ q. Maka ingkarannya adalah √4 < 4 jika dan hanya jika sin 45o ≥ sin 60o
Jawaban : B
- (Ex)[a(X) ⇒ ~ b(x)]
- (Ex)[a(x) ∧ b(x)]
- (Ex)[~a(x) ∧ ~ b(x)]
- (Ex)[a(x) ⇒ b(x)]
- (Ex)[a(x) ∧ ~ b(x)]
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Negasi dari pernyataan (∀x)[a(x) ⇒ b(x)] dapat dijabarkan:
(∀x)[a(x) ⇒ b(x)]
~(∀x)[~(~a(x) ∨ b(x))]
(Ex)[A(x) ∧ ~ b(x)]
Jawaban : E
- Jika guru senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika.
- Jika tidak semua siswa menyukai matematika maka guru tidak senang mengajar.
- Jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang suka matematika.
- Jika semua siswa menyukai matematika, maka guru tidak senang mengajar.
- Jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Semua siswa menyukai matematika.
q = Guru senang mengajar.
Pada pernyataan “Jika semua siswa menyukai matematika maka guru senang mengajar” dilambangkan p ⇒ q.
Kontraposisi p ⇒ q adalah ~ q ⇒ ~ p. Maka kontraposisinya adalah jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika.
Jawaban : E
- Bila mahasiswa lulus ujian akhir maka mahasiswa pandai.
- Bila mahasiswa tidak pandai maka mahasiswa tidak lulus ujian akhir.
- Bila mahasiswa tidak lulus ujian akhir maka mahasiswa tidak pandai.
- Bila mahasiswa pandai maka mahasiswa tidak lulus ujian akhir.
- Bila mahasiswa tidak pandai maka mahasiswa lulus ujian akhir.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Mahasiwa pandai
q = Mahasiswa lulus ujian akhir
Dari pernyataan di atas kontraposisinya p ⇒ q adalah ~ q ⇒ ~ p. Maka, “Bila mahasiswa tidak lulus ujian akhir maka mahasiwa tidak pandai”.
Jawaban : C
- p ⇒ (~ p ˅ q )
- p ⇒ (p ∧ ~ q)
- p ⇒ (q ˅ ~ q)
- p ⇒ (p ˅ q)
- p ⇒ (~ p ˅ ~ q)
PEMBAHASAN :
Konvers dari pernyataan (p ˅ ~ q) ⇒ p adalah p ⇒ (p ˅ ~ q)
Jawaban : C
- -3
- -2
- 1
- 2
- 6
PEMBAHASAN :
“Apabila x2 + x = 6, maka x2 + 3x < 9” akan bernilai salah bila x2 + x = 6 bernilai benar dan x2 + 3x < 9 bernilai salah.
Persamaan x2 + x = 6 dijabarkan:
⇔ x2 + x – 6 = 0
⇔ (x – 2)(x + 3) = 0
Sehingga x2 + x = 6 bernilai benar bila x = 2 atau x = -3
x2 + 3x < 9
⇔ x = 2 → 4 + 6 < 9 (pernyataan salah)
⇔ x = -3 → 9 – 6 < 9 (pernyataan benar)
Maka, pernyataan akan bernilai salah untuk x = 2
Jawaban : D
- Jika Ani mengikuti pelajaran matematika maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.
- Jika Ani tidak mengikuti pelajaran matematika maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.
- Jika Ani tidak mengikuti pelajaran matematika maka Ani tidak mendapat tugas tidak menyelesaikan soal-soal matematika.
- Ani tidak mengikuti pelajaran matematika dan Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.
- Ani tidak mengikuti pelajaran matematika dan Ani tidak mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
P = Ani mengikuti pelajaran matematika
q = Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.
Pernyataan di atas dilambangkan sebagai berikut:
~ p ∨ q = p ⇒ q
Maka, pernyataan yang setara dengan soal adalah ”Jika Ani mengikuti pelajaran matematika maka ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal”.
Jawaban : A
- -1
- 1
- 2
- 3
- 4
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p: x2 – 2x – 3 = 0
q: x2 – x < 5
Pernyataan tersebut akan bernilai salah jika p benar dan q salah
Persamaan x2 – 2x – 3 = 0 dijabarkan:
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 atau x = – 1
x2 – x < 5
x = 3 → 32 – 3 < 5 (pernyataan salah)
x = -1 → (-1)2 – (-1) < 5 (pernyataan benar)
Maka, yang memenuhi x = 3
Jawaban : D
- Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru hadir.
- Semua siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir.
- Beberapa siswa tidak hadir dan semua guru tidak hadir.
- Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir.
- Semua siswa hadir dan beberapa guru hadir.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = semua siswa hadir
q = beberapa guru tidak hadir
Pernyataan tersebut dilambangkan sebagai berikut:
p ⇒ q = ~ p ∨ q
Maka, pernyataan yang setara adalah ”Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir”.
Jawaban : A
- Adi pasti sombong.
- Adi mungkin anak yang baik.
- Adi bukan anak yang baik.
- Adi punya beberapa teman.
- Adi anak yang baik.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Adi sombong
q = Adi mempunyai banyak teman
Premis 1 : ~ p ⇒ q
Premis 2 : ~q
Kesimpulan : p
Maka, kesimpulannya adalah “Adi pasti sombong”.
Jawaban : A
- Jika ada siswa berlaku tidak jujur dalam UN maka nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN.
- Jika nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN maka setiap siswa berlaku jujur dalam UN.
- Jika nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN maka ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN.
- Setiap siswa berlaku jujur dalam UN dan nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN.
- Ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN atau nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = setiap siswa berlaku jujur dalam UN
q = nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN
Pernyataan tersebut dilambangkan:
p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p
Maka, pernyataan yang setara adalah “jika nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN maka ada siswa yang tidak berlaku jujur dalam UN”.
Jawaban : C
p : Jika x2 ≥ 0, maka 2 merupakan bilangan prima
q : 2 bukan bilangan prima.
Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah …
- x2 ≥ 0
- x2 > 0
- x > 0
- x2 < 0
- x ≠ 0
PEMBAHASAN :
Diketahui: a = Jika x2 ≥ 0 , b = 2 merupakan bilangan prima
Pernyataan:
p : a ⇒ b
q : ~b
Kesimpulan : ~a
Maka, x2 < 0
Jawaban : D
Diketahui argumentasi:
- p ⇒ q
~p
∴ ~q - p ⇒ q
~q ∨ r
∴ p ⇒ r - p ⇒ q
p ⇒ r
∴ q ⇒ r
Argument yang sah adalah …
- I saja
- II saja
- III saja
- I dan II saja
- II dan III saja
PEMBAHASAN :
- p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p
~p
∴ ~q
Argument I merupakan modus tollens - p ⇒ q
~q ∨ r ≡ q ⇒ r
∴ p ⇒ r
Argument II merupakan silogisme
Jawaban : D
- r ∨ p
- ~p ∨ ~r
- ~p ⇒ q
- ~r ⇒ p
- ~r ⇒ q
PEMBAHASAN :
Diketahui premis:
Premis 1 : p ⇒ q
Premis 2 : ~q ∨ ~r ≡ q → ~r
Kesimpulan : p → ~r ≡ ~p ∨ ~r
Jawaban : B
Ani dapat hadiah atau tidak naik kelas.
Ani rajin belajar.
Kesimpulan yang sah adalah …
- Ani naik kelas.
- Ani dapat hadiah.
- Ani tidak dapat hadiah.
- Ani naik kelas dan dapat hadiah.
- Ani dapat hadiah atau naik kelas.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Ani rajin belajar.
q = Ani naik kelas.
r = Ani dapat hadiah.
Dari pernyataan di atas diperoleh premis-premis seperti di bawah ini:
Maka, kesimpulan yang sah adalah Ani dapat hadiah.
Jawaban : B
- r ∧ q
- p ∨ ~r
- p ⇒ r
- ~r ⇒ ~q
- ~q ⇒ ~p
PEMBAHASAN :
Diketahui premis:
Premis 1 : ~p → ~q
Premis 2 : q ∨ ~r ≡ ~q → ~r
Kesimpulan : ~p → ~r ≡ p ∨ ~r
Jawaban : B
Premis 1 : Ada siswa yang tidak rajin belajar atau hasil ulangan baik.
Premis 2 : Jika hasil ulangan baik maka beberapa siswa dapat mengikuti seleksiperguruan tinggi.
Premis 3 : Semua siswa tidak dapat mengikuti seleksi perguruan tinggi.
Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah…
- Ada siswa yang hasil ulangan baik.
- Ada siswa yang hasil ulangan tidak baik.
- Ada siswa yang rajin belajar.
- Ada siswa yang tidak rajin belajar.
- Semua siswa rajin belajar.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = siswa tidak rajin belajar.
q = hasil ulangan baik.
r = siswa dapat mengikuti seleksi perguruan tinggi.
Dari pernyataan di atas diperoleh premis-premis seperti di bawah ini:
Maka, kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah ada siswa yang tidak rajin belajar.
Jawaban : D
- r ∨ p
- r ∧ p
- ~p ∨ ~r
- r ∨ ~q
- ~q ⇒ p
PEMBAHASAN :
Diketahui premis:
Premis 1 : p ⇒ ~q
Premis 2 : q ∨ ~r ≡ ~q → ~r
Kesimpulan : p ⇒ ~r ≡ ~p ∨ ~r
Jawaban : C
Premis 1 : Jika saya giat belajar maka saya akan meraih juara.
Premis 2 : Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding.
Ingkaran dari kesimpulan kedua premis tersebut adalah …
- Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding.
- Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut bertanding.
- Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.
- Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding.
- Saya ikut bertanding maka saya giat belajar.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = saya giat belajar.
q = saya bisa meraih juara.
r = saya boleh ikut bertanding.
Dari pernyataan di atas diperoleh premis-premis seperti di bawah ini:
Premis 1 : p ⇒ q
Premis 2 : q ⇒ r
Kesimpulan : p ⇒ r
~(p ⇒ r) = ~(~p ∨ r) = p ∧ ~r
Maka, ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding.
Jawaban : A
- ~a
- ~b
- ~a ∨ b
- a ∨ ~c
- b ∧ c
PEMBAHASAN :
Diketahui:
- Pernyataan a, b, c, d
- ~ a ingkaran a
- a ⇒ (b ∨ d), b ⇒ c, dan (b ∨ c) ⇒ d adalah pernyataan benar
- d adalah pernyataan yang salah
- a ⇒ (b ∨ d) bernilai benar, a ⇒ salah atau salah ≡ bernilai benar sehingga a harus bernilai salah
- b ⇒ c bernilai benar.
- (b ∨ c) ⇒ d bernilai benar karena d bernilai salah maka (b ∨ c) harus bernilai salah sehingga b bernilai salah dan c juga bernilai salah.
Jawaban : E
Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.
Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak senang.
Ingkaran dari kesimpulan tersebut adalah …
- Harga BBM tidak naik.
- Jika harga bahan pokok naik maka ada orang yang tidak senang.
- Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang.
- Jika semua orang tidak senang maka harga bahan pokok naik.
- Harga BBM naik dan ada orang yang senang.
PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Harga BBM naik.
q = Harga bahan pokok naik.
r = Semua orang tidak senang.
Dari pernyataan di atas diperoleh premis-premis seperti di bawah ini:
Premis 1 : p ⇒ q
Premis 2 : q ⇒ r
Kesimpulan : p ⇒ r
~(p ⇒ r) = ~(~p ∨ r) = p ∧ ~r
Maka, ingkaran dari kesimpulannya adalah harga BBM naik dan ada orang yang senang.
Jawaban : E
- cos 450 =
- x – 3 = 5
- x adalah bilangan genap
- y adalah faktor dari 12
- x2 – 3x + 4 = 0
PEMBAHASAN :
Pernyataan dapat ditentukan apabila nilai kebenarannya bisa ditentukan. Dari pilihan di atas yang merupakan pernyataan adalah cos 450 = .
Jawaban : A
- Ada manusia yang tidak perlu makan dan minum
- Semua manusia tidak perlu makan dan minum
- Semua manusia perlu makan tetapi tidak perlu minum
- Ada manusia yang tidak perlu makan atau minum
- Semua manusia tidak perlu makan atau minum
PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran tetapi berlawanan dengan pernyataan atau proposisi semula. Simbolnya (~)
Diketahui:
Pernyataan (P): semua manusia perlu makan dan minum
Maka:
~ P = Ada manusia yang tidak perlu makan atau minum
Jawaban : D
Premis 1: Jika Andi kehujanan maka ia sakit
Premis 2: Jika Andi sakit maka ia demam
Kesimpulan dari dua premis di atas adalah …
- Jika Andi kehujanan maka ia demam
- Andi demam karena kehujanan
- Andi Kehujanan dan ia demam
- Andi kehujanan dan ia sakit
- Jika Andi sakit maka ia kehujanan
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Andi kehujanan
q = Andi sakit
r = Andi demam
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Maka kesimpulannya: p ⇒ r
“ Jika Andi kehujanan maka ia demam “
Jawaban : A
- Jika Tono rajin belajar maka Tono murid pandai
- Jika Tono murid pandai maka ia lulus ujian
Ingkaran dari kesimpulan premis di atas adalah …
- Tono rajin belajar atau ia lulus ujian
- Jika Tono rajin belajar maka ia tidak lulus ujian
- Tono rajin belajar dan ia tidak lulus ujian
- Jika Tono rajin belajar maka ia lulus ujian
- Jika Tono tidak rajin belajar maka ia tidak lulus ujian
PEMBAHASAN :
Misalkan:
p: Tono rajin belajar
q: Tono murid pandai
r: Tono lulus ujian
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r
Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran tetapi berlawanan dengan pernyataan atau proposisi semula. Simbolnya (~)
Maka: ~ (p ⇒ r) ≡ p ∧ q ~ r
“ Tono rajin belajar dan ia tidak lulus ujian “
Jawaban : C
- Tidak ada pegawai swasta yang bergaji tinggi
- Beberapa pegawai swasta bergaji rendah
- Beberapa pegawai swasta bergaji tinggi
- Semua pegawai swasta bergaji rendah
- Tidak ada pegawai swasta yang bergaji rendah
PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi dari ungkapan berkuantor “ semua p “ adalah “ ada/ beberapa ~ p “ atau “ tidak semua p “.
Maka, ingkaran dari “ semua pegawai swasta bergaji tinggi “ adalah “ beberapa pegawai swasta bergaji rendah “.
Jawaban : B
- Pohon ditebang atau tanah longsor
- Pohon ditebang dan tanah longsor
- Semua pohon ditebang dan tanah tidak longsor
- Ada pohon ditebang
- Tanah tidak longsor
PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran tetapi berlawanan dengan pernyataan atau proposisi semula. Simbolnya (~)
Maka: ~ (p ⇒ r) ≡ p ∧ q ~ r
“ Semua pohon ditebang dan tanah tidak longsor “
Jawaban : C
- Jika Indonesia bergejolak dan tidak aman maka beberapa warga asing dievakuasi
- Semua warga asing tidak dievakuasi
Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah …
- Indonesia bergejolak tetapi aman
- Indonesia tidak bergejolak dan semua warga asing tidak dievakuasi
- Jika Indonesia tidak bergejolak atau aman maka beberapa warga asing dievakuasi
- Jika semua warga asing dievakuasi maka Indonesia bergejolak dan tidak aman
- Indonesia tidak bergejolak atau aman
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Indonesia bergejolak
q = Indonesia tidak aman
r = beberapa warga asing dievakuasi
Premis a: (p ∧ q ) ⇒ r
Premis b: ~ r
Kesimpulan: ~ (p ∧ q )(modus Tollens)
~ (p ∧ q ) ≡ ~ p ∨ ~ q
“ Indonesia tidak bergejolak atau aman “
Jawaban : E
- Jika musim dingin maka ibu memakai jaket
- Ibu tidak memakai jaket
Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah …
- Bukan musim dingin
- Musim dingin
- Ibu memakai jaket
- Musim dingin dan ibu memakai jaket
- Bukan musim dingin dan ibu memakai jaket
PEMBAHASAN :
Diketahui:
p = musim dingin
q = ibu memakai jaket
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: ~ q
Kesimpulan: ~p (modus Tollens)
Maka: “ bukan musim dingin “
Jawaban : A
- Jika musim kemarau maka udara panas
- Udara tidak panas atau Dewi tersenyum
Kesimpulan yang sah dari pernyataan di atas adalah …
- Musim kemarau atau Dewi tersenyum
- Musim tidak kemarau dan Dewi tidak tersenyum
- Musim tidak kemarau atau Dewi tidak tersenyum
- Musim kemarau dan Dewi tersenyum
- Musim tidak kemarau atau Dewi tersenyum
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalnya:
p = musim kemarau
q = udara panas
r = Dewi tersenyum
Premis a: p ⇒ q
Premis b: ~ q ∨ r ≡ q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r ≡ ~ p ∨ r
“ Musim tidak kemarau atau Dewi tersenyum “
Jawaban : E
- Beberapa bilangan prima bukan bilangan prima
- Beberapa bilangan ganjil bukan bilangan prima
- Beberapa bilangan ganjil adalah bilangan prima
- Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
- Semua bilangan prima bukan bilangan ganjil
PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi dari pernyataan yang berkwantor “ beberapa “ adalah “ semua “.
Maka, jika pernyataan “ Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap “ sehingga ingkaran atau negasinya adalah “ Semua bilangan prima bukan bilangan ganjil “.
Jawaban : E
- Petani panen tomat dan harga tomat murah
- Petani panen tomat dan harga tomat mahal
- Petani tidak panen tomat atau harga tomat tidak murah
- Petani tidak panen tomat dan harga tomat murah
- Petani tidak panen tomat dan harga tomat tidak murah
PEMBAHASAN :
Berlaku: ~ (p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q
Maka ingkarannya sebagai berikut: “ Petani tidak panen tomat dan harga tomat tidak murah “
Jawaban : E
Premis 2: “ Jika saya diajak piknik maka saya pergi ke pantai. “
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah …
- Jika saya tidak pergi ke pantai maka Andi sudah sehat
- Jika saya pergi ke pantai maka Andi sudah sehat
- Jika Andi sudah sehat maka saya pergi ke pantai
- Andi sudah sehat dan saya pergi ke pantai
- Saya jadi pergi ke pantai atau Andi tidak sehat
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Andi sudah sehat
q = Saya diajak piknik
r = saya pergi ke pantai
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r (silogisme)
Maka: “ Jika Andi sudah sehat maka saya pergi ke pantai “.
Jawaban : C
- Silogisme, Ponens, dan Tollens
- Silogisme, Konvers, dan Invers
- Ponens, Tollens, dan Kontraposisi
- Konvers, Invers, dan Kontraposisi
- Negasi, Disjungsi, dan Konjungsi
PEMBAHASAN :
Penarikan kesimpulan melalui logika matematika dapat dilakukan melalui silogisme, modus ponens, dan modus tollens.
Jawaban : A
Terdapat premis-premis sebagai berikut:
- Jika Budi rajin belajar dan rajin mengaji maka Ibu akan membelikan telepon genggam
- Ibu tidak membelikan telepon genggam
Kesimpulan yang sah dari premis di atas adalah …
- Budi rajin belajar dan rajin mengaji
- Budi rajin belajar dan Budi tidak rajin mengaji
- Budi tidak rajin belajar atau Budi tidak rajin mengaji
- Budi tidak rajin belajar atau Budi rajin mengaji
- Budi rajin belajar atau Budi tidak rajin mengaji
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Budi rajin belajar
q = Budi rajin mengaji
r = Ibu membelikan telepon genggam
Premis i : (p ∧ q) ⇒ r
Premis ii : ~ r
Kesimpulan: ~ (p ∧ q) ≡ p ∨ ~ q
Maka: “ Budi tidak rajin belajar atau Budi tidakn rajin mengaji “
Jawaban : C
~ r ⇒ ~ q
∴ ~ r ⇒ p
Adalah …
- Silogisme
- Tollens
- Ponens
- Implikasi
- Kontraposisi
PEMBAHASAN :
Diketahui premis-premis yaitu:
~ p ⇒ q
~ r ⇒ ~ q
∴ ~ r ⇒ p
Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari premis-premis majemuk. Maka premis di atas adalah silogisme.
Jawaban : A
- Jika ABCD bukan persegi panjang maka ABCD persegi
- Jika ABCD bukan persegi maka ABCD persegi panjang
- Jika ABCD persegi panjang maka ABCD persegi
- Jika ABCD bukan persegi maka ABCD bukan persegi panjang d
- Jika ABCD bukan persegi panjang maka ABCD bukan persegi
PEMBAHASAN :
Kontraposisi dari p ⇒ q adalah ~ q ⇒ ~ p. Sehingga kontraposisi dari “ Jika ABCD persegi, maka ABCD persegi panjang “ yaitu “ Jika ABCD bukan persegi panjang maka ABCD bukan persegi “.
Jawaban : E
- Risa tidak berkulit coklat dan Hany tidak berkulit putih
- Risa tidak berkulit coklat atau Hany tidak berkulit putih
- Risa berkulit putih tetapi Hany berkulit coklat
- Risa berkulit coklat atau hany berkulit putih
- Risa berkulit coklat dan Hany berkulit tidak putih
PEMBAHASAN :
“ Risa berkulit coklat dan Hany berkulit putih “
Ingkaran atau negasi untuk pernyataan di atas adalah ~ (p Ù q) º ~ p Ú ~ q
jadi kesimpulannya: “ Risa tidak berkulit coklat atau Hany tidak berkulit putih “.
Jawaban : B
- Jika sungai itu tidak kotor maka sungai itu tidak banyak sampahnya
- Jika sungai itu banyak sampahnya maka sungai itu kotor
- Jika sungai itu tidak banyak sampahnya maka sungai itu tidak kotor
- Jika sungai itu kotor maka sampahnya tidak banyak
- Jika sungai itu kotor maka sungai itu banyak sampahnya
PEMBAHASAN :
Implikasi p ⇒ q maka kontraposisinya yaitu ~ q ⇒ ~ p
Sehingga kontraposisinya sebagai berikut: “ Jika sungai tidak banyak sampah maka sungai itu tidak kotor “.
Jawaban : C
- Jika Ridwan pintar maka disenangi ibu
- Jika Ridwan disenangi ibu maka ia disenangi bapak
- Ridwan tidak disenangi bapak
Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah …
- Ridwan pintar, tapi tidak disenangi ibu
- Ridwan pintar
- Ridwan disenangi ibu
- Ridwan tidak pintar
- Ridwan disenangi kakek
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Ridwan pintar
q = Ridwan disenangi ibu
r = Ridwan disenangi bapak
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r (silogisme)
Premis 3: ~ r
Kesimpulan: ~ p (tollens)
Sehingga, kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas yaitu: “ Ridwan tidak pintar “.
Jawaban : D
- Jika penguasaan komputer rendah maka sulit untuk menguasai teknologi
- Teknologi tidak sulit dikuasai atau IPTEK tidak berkembang
- Jika IPTEK tidak berkembang maka negara akan tertinggal
Berdasarkan ketiga pernyataan tersebut, kesimpulannya adalah …
- Jika penguasaan komputer rendah maka negara akan tertinggal
- Jika penguasaan komputer rendah maka IPTEK berkembang
- IPTEK dan teknologi berkembang
- IPTEK dan teknologi tidak berkembang
- Susah untuk memajukan negara
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = penguasaan komputer rendah
q = sulit menguasai teknologi
r = IPTEK berkembang
s = negara akan tertinggal
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: ~ q ∨ ~ r ≡ q ⇒ ~ r
Kesimpulan awal: p ⇒ ~ r (silogisme)
Premis 3: ~ r ⇒ s
Kesimpulan akhir: p ⇒ s
Jadi, kesimpulannya: “ Jika penguasaan teknologi rendah maka negara akan tertinggal “.
Jawaban : A
- Pada hari Sabtu siswa SMP memakai baju pramuka dan tidak memakai atribut lengkap
- Pada hari Sabtu siswa SMP tidak memakai seragam pramuka atau tidak memakai atribut lengkap
- Pada hari Sabtu siswa SMP tidak memakai seragam pramuka dan atribut lengkap
- Selain hari Sabtu siswa SMP tidak memakai seragam pramuka dan memakai atribut lengkap
- Selain hari Sabtu siswa SMP memakai seragam pramuka atau atribut lengkap
PEMBAHASAN :
“ Pada hari sabtu siswa SMP memakai baju pramuka dan atribut lengkap “
Ingkaran dari pernyataan di atas:
~ (p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q
Maka: “ Pada hari Sabtu siswa SMP tidak memakai seragam pramuka atau tidak memakai atribut lengkap “.
Jawaban : B
- (p ⇒ ~ q) ⇒ (p ⇒ q)
- (~ p ⇒ ~ q) ⇒ (p ∧ ~ q)
- (p ∧ q) ⇒ (p ⇒ ~ q)
- (p ∧ ~ q) ⇒ (~ p ∧ ~ q)
- (p ⇒ ~ q) ⇒ (p ⇒ ~ q)
PEMBAHASAN :
Berlaku:
Kontraposisi dari a ⇒ b adalah ~ b ⇒ ~ a
Sehingga kontraposisi dari (~ p ⇒ q) ⇒ (~ p ∨ q) sebagai berikut:
~ ( ~ p ∨ q) ⇒ ~ ( ~ p ⇒ q) ≡ (p ∧ ~ q) ⇒ (~ p ∧ ~ q)
Jawaban : D
- (p ∨ ~ q) ⇒ ~ p
- (~ p ∨ q) ⇒ ~ p
- (~p ∨ ~ q) ⇒ p
- ~ p ⇒ (p ∨ ~ q)
- ~ p ⇒ (p Ù ~ q)
PEMBAHASAN :
Berlaku:
Invers dari a ⇒ b adalah ~ a ⇒ ~ b
Sehingga invers dari (p ∧ ~ q) ⇒ p sebagai berikut:
~ (p ∧ ~ q) ⇒ ~ p ≡ (~ p ∨ q) ⇒ ~ p
Jawaban : B
- Jika harga BBM tidak naik maka harga barang naik
- Jika harga barang naik maka harga BBM naik
- Harga BBM naik dan harga barang tidak naik
- Harga BBM naik atau harga barang naik
- Harga barang naik jika dan hanya jika harga BBM naik
PEMBAHASAN :
Berlaku: ~ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q
“ Jika harga BBM naik, maka harga barang naik “
Sehingga ingkaran atau negasi dari pernyataan di atas adalah “ Harga BBM naik dan harga barang tidak naik “.
Jawaban : C
- Konjungsi
- Disjungsi
- Implikasi
- Biimplikasi
- Negasi
PEMBAHASAN :
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh kata hubung ‘ dan ‘. Dilambangkan dengan p ∧ q yang berarti p dan q.
Jawaban : A