Rangkuman Logika Matematika Kelas 11

Operasi Logika

Operasi pada logika matematika ada 5, yaitu:

1. Negasi/ ingkaran ( bukan …)
   Negasi atau ingkaran apabila dari sebuah pernyataan dapat membubuhkan kata tidak benar atau dapat menyisipkan kata bukan. Jika P adalah sebuah pernyataan, maka negasi/ ingkarannya dapat ditulis ∼P.
2. Disjungsi (… atau …)
   Disjungsi apabila pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan, misalkan p dan q yang dirangkaikan menggunakan kata hubung atau. Dapat dilambangkan p ∨ q, dibaca p atau q.
3. Konjungsi (… dan ….)
   Konjungsi apabila pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan, misalkan p dan q yang dirangkaikan menggunakan kata hubung dan. Dapat dilambangkan p ∧ q, dibaca p dan q.
4. Implikasi (jika … maka …)
   Implikasi bisa diartikan dengan pernyataan bersyarat/ kondisional, apabila pernyataan majemuk disusun dari dua buah pernyataan. Misalkan jika p maka q dilambangkan p ⇒ q.
5. Biimplikasi/implikasi dwiarah (jika dan hanya jika …)
   Biimpikasi apabila pernyataan dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung “ jika dan hanya jika”. Misalkan p jika dan hanya jika q dilambangkan p⇔q

Tabel Kebenaran

Kuantor

Suatu ungkapan yang diterapkan pada kalimat terbuka dengan satu variabel dan dapat mengubahnya menjadi kalimat tertutup disebut kuantor. Ada 2 macam Kuantor, yaitu:

1. Kuantor Universal 
   Suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, dilambangkan   dibaca “untuk semua nilai x”.
2. Kuantor Eksistensial
   Suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, dilambangkan  dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x”.

Negasi pernyataan majemuk

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Hubungan nilai kebenaran dari suatu implikasi p   q diperoleh:

1. q ⇒ p disebut konvers dari p ⇒ q
2. ~ p⇒ ~ q disebut invers dari p ⇒ q
3. ~ q ⇒ p disebut kontraposisi dari p ⇒ q

Ekuivalensi

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Pernyataan  ekuivalensi ada dua, yaitu:

1. p ⇒ q ≡ ~ p v q
2. p ⇒ q ≡ ~q ⇒ p

Penarikan Kesimpulan

Proses penarikan kesimpulan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya disebut premis. cara menarik kesimpulan dari 2 premis sebagai berikut:

1. Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)
   Premis 1 : p ⇒ q
   Premis 2 : p
   Kesimpulan : q
2. Modus Tolens (Kaidah Penolakan Akibat)
   Premis 1 : p ⇒ q
   Premis 2 : ~q
   Kesimpulan : ~p          
3. Silogisme (Sifat Menghantar atau Transitif)
   Premis 1 : p ⇒ q
   Premis 2 : q ⇒ r
   Kesimpulan : p ⇒ r

Video Pembelajaran Logika Matematika Kelas XI

Contoh Soal & Pembahasan Logika Matematika Kelas 11

1. Ani lulus sekolah, tetapi ia tidak di belikan sepeda.
2. Ani lulus sekolah dan ia dibelikan sepeda.
3. Ani tidak lulus sekolah, tetapi ia dibelikan sepeda.
4. Ani tidak sekolah dan ia tidak dibelikan sepeda.
5. Ani tidak lulus sekolah sehingga ia tidak dibelikan sepeda.

PEMBAHASAN :
“Tidak benar bahwa jika Ani lulus sekolah, maka ia di belikan sepeda”.  Bisa diartikan sama dengan pernyataan “Jika ani tidak lulus sekolah maka Ani tidak di belikan sepeda”.
Diketahui pernyataan:
P = Ani lulus sekolah
q = Ani dibelikan sepeda
~ (~ p Þ ~ q) = ~ (p Ú ~ q) = ~ p Ù q
Maka ingkarannya menjadi “Ani tidak lulus sekolah, tetapi ia dibelikan sepeda”.
Jawaban : E

1. SBSB
2. SSSB
3. SSBB
4. SBBB
5. BBBB

PEMBAHASAN :
Tabel kebenaran untuk menentukan nilai yang tepat untuk ( p ^ q )  ~ p:

Jawaban : D

1. p ⇒ q
2. p ⇒ ~ q
3. ~ p ⇒ q
4. ~ p ⇒ ~ q
5. p ⇒ q

PEMBAHASAN :
⇔(~ p ∨ q) ∧ (p ∨ ~ q)
≡ (p ⇒ q) ∧ (~p ⇒ ~q)
≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
≡ p ⇔ q
Jawaban : E

1. (~ p ∨ ~ q) ∧ q
2. (p ⇒ q) ∧ q
3. (~ p ⇔ q) ∧ p
4. (p ∧ q) ⇒p
5. (~ p ∨ q) ⇒ p

PEMBAHASAN :
Diketahui:
~ p bernilai benar
q bernilai salah

Jawaban : D

1. (~ P ∨ Q) ∧ R
2. (~ Q ∨ ~ R) ∧(~ Q ∨ P)
3. (P ∧ ~ Q) ∧ (Q ∨ ~ R)
4. ~ P ⇒ R
5. ~ R ∧ ~ (Q ∧ R)

PEMBAHASAN :
Pernyataan:
P : Jakarta ada di pulau Bali.
(pernyataan salah)

Q : 2 adalah bilangan prima.
(pernyataan benar)

R : Semua bilangan prima adalah bilangan ganji.
(pernyataan salah)

Jadi, pernyataan majemuk yang benilai benar adalah
~ R ∧ ~ (Q ∧ R)

Pembuktian kebenaran:
⇔ ~ S ∧ ~ (B ∧ S)
⇔ B ∧ ~ S
⇔ B ∧ B
⇔ B
Jawaban : E

1. Gunung Bromo tidak di Jawa Timur atau Bunaken tidak di Sulawesi Utara.
2. Gunung Bromo tidak di Jawa Timur dan Bunaken tidak di Sulawesi Utara.
3. Gunung Bromo di Jawa Timur dan Bunaken tidak di Sulawesi Utara.
4. Jika Gunung Bromo di Jawa Timur, maka Bunaken tidak di Sulawesi Utara
5. Jika Gunung Bromo di Jawa Timur, maka Bunaken tidak di Sulawesi Utara.

PEMBAHASAN :
Pernyataan pada soal:
p = Gunung Bromo di Jawa Timur.
q = Bunaken di Sulawesi Utara.
Pernyataan dari kalimat majemuk dapat ditulis: p ˅ q negasinya: ~ (p ˅ q) ≡ ~ p ∧ ~ q. Maka negasi dari pernyataan tersebut adalah “Gunung Bromo tidak di Jawa Timur dan Bunaken tidak di Sulawesi Utara”.
Jawaban : B

1. “Matahari tidak bersinar jika dan jika hanya hari hujan”.
2. “Matahari tidak bersinar dan hari tidak hujan”.
3. “Jika matahari bersinar maka hari hujan”.
4. “Matahari bersinar dan hari hujan”.
5. “Matahari tidak bersinar”.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = matahari bersinar
q = hari hujan.
”Matahari bersinar dan hari tidak hujan”, pernyataan dituliskan:  ≡ p ∧ ~ q. Pernyataan akan bernilai benar jika keduanya bernilai benar. Jadi, p benar dan ~ q benar atau q salah.
“Matahari tidak bersinar jika dan hanya jika hari hujan“, pernyataan dituliskan:  ≡ ~ p ⇔ q jadi ~ p ⇔ q pernyataan bernilai s ⇔ s hasilnya benar.
Jawaban : A

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Semua mahasiswa berdemonstrasi
q = Lalu lintas macet
Pernyataan tersebut dilambangkan: p ⇒ q ingkarannya: ~ (p ⇒ q) ≡ ~ (~ p ˅ q) p ∧~ q. Maka ingkaran dari pernyataan di atas adalah “Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet”.
Jawaban : C

1. Tidak benar bahwa saya lulus UM dan saya gembira.
2. Saya tidak lulus UM dan saya tidak gembira.
3. Saya lulus UM dan saya tidak gembira.
4. Saya tidak lulus UM atau saya gembira.
5. Jawaban salah semua.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = saya lulus UM.
q = saya gembira.
Saya lulus UM dan saya gembira, pernyataan dituliskan: (p ∧ q). Ingkaran p ∧ q adalah ~ (p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q.
Maka, ingkarannya adalah “saya tidak lulus UM atau saya tidak gembira”.
Jawaban : E

1. √4 ≤ 4 jika dan hanya jika sin 45^o < sin 60^o
2. √4 < 4 jika dan hanya jika sin 45^o ≥ sin 60^o
3. √4 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45^o > sin 60^o
4. √4 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45^o ≥ sin 60^o
5. √4 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45^o > sin 60^o

PEMBAHASAN :
Diketahui:
p =  √4 < 4
q = sin 45^o < sin 60^o
Pernyataan “√4 < 4 jika dan hanya jika 45^o < sin 60^o” dilambangkan dengan  p ⇔ q sehingga ~ (p ⇔ q) ≡ p ⇔ ~ q. Maka ingkarannya adalah √4 < 4 jika dan hanya jika sin 45^o ≥ sin 60^o
Jawaban : B

1. (Ex)[a(X) ⇒ ~ b(x)]
2. (Ex)[a(x) ∧ b(x)]
3. (Ex)[~a(x) ∧ ~ b(x)]
4. (Ex)[a(x) ⇒ b(x)]
5. (Ex)[a(x) ∧ ~ b(x)]

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Negasi dari pernyataan (∀x)[a(x) ⇒ b(x)] dapat dijabarkan:
(∀x)[a(x) ⇒ b(x)] ~(∀x)[~(~a(x) ∨ b(x))] (Ex)[A(x) ∧ ~ b(x)] Jawaban : E

1. Jika guru senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika.
2. Jika tidak semua siswa menyukai matematika maka guru tidak senang mengajar.
3. Jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang suka matematika.
4. Jika semua siswa menyukai matematika, maka guru tidak senang mengajar.
5. Jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Semua siswa menyukai matematika.
q = Guru senang mengajar.
Pada pernyataan “Jika semua siswa menyukai matematika maka guru senang mengajar” dilambangkan p ⇒ q.
Kontraposisi p ⇒ q adalah ~ q ⇒ ~ p. Maka kontraposisinya adalah jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika.
Jawaban : E

1. Bila mahasiswa lulus ujian akhir maka mahasiswa pandai.
2. Bila mahasiswa tidak pandai maka mahasiswa tidak lulus ujian akhir.
3. Bila mahasiswa tidak lulus ujian akhir maka mahasiswa tidak  pandai.
4. Bila mahasiswa pandai maka mahasiswa tidak lulus ujian akhir.
5. Bila mahasiswa tidak pandai maka mahasiswa lulus ujian akhir.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Mahasiwa pandai
q = Mahasiswa lulus ujian akhir
Dari pernyataan di atas kontraposisinya p ⇒ q adalah ~ q ⇒ ~ p. Maka, “Bila mahasiswa tidak lulus ujian akhir maka mahasiwa tidak  pandai”.
Jawaban : C

1. p ⇒ (~ p ˅ q )
2. p ⇒ (p ∧ ~ q)
3. p ⇒ (q ˅ ~ q)
4. p ⇒ (p ˅ q)
5. p ⇒ (~ p ˅ ~ q)

PEMBAHASAN :
Konvers dari pernyataan (p ˅ ~ q) ⇒ p adalah p ⇒ (p ˅ ~ q)
Jawaban : C

1. -3
2. -2
3. 1
4. 2
5. 6

PEMBAHASAN :
“Apabila x² + x = 6, maka  x² + 3x < 9” akan bernilai salah bila x² + x = 6 bernilai benar dan x² + 3x < 9 bernilai salah.
Persamaan x² + x = 6 dijabarkan:
⇔ x² + x – 6 = 0
⇔ (x – 2)(x + 3) = 0
Sehingga x² + x = 6 bernilai benar bila x = 2 atau x = -3
x² + 3x < 9
⇔ x = 2 → 4 + 6 < 9 (pernyataan salah)
⇔ x = -3 → 9 – 6 < 9 (pernyataan benar)
Maka, pernyataan akan bernilai salah untuk x = 2
Jawaban : D

1. Jika Ani mengikuti pelajaran matematika maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.
2. Jika Ani tidak mengikuti pelajaran matematika maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.
3. Jika Ani tidak mengikuti pelajaran matematika maka Ani tidak mendapat tugas tidak menyelesaikan soal-soal matematika.
4. Ani tidak mengikuti pelajaran matematika dan Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.
5. Ani tidak mengikuti pelajaran matematika dan Ani tidak mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
P = Ani mengikuti pelajaran matematika
q  = Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.

Pernyataan di atas dilambangkan sebagai berikut:
~ p ∨ q = p ⇒ q
Maka, pernyataan yang setara dengan soal adalah ”Jika Ani mengikuti pelajaran matematika maka ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal”.
Jawaban : A

1. -1
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p: x² – 2x – 3 = 0
q: x² – x < 5
Pernyataan tersebut akan bernilai salah jika p benar dan q salah
Persamaan x² – 2x – 3 = 0 dijabarkan:
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 atau  x = – 1
x² – x < 5
x = 3 → 3² – 3 < 5 (pernyataan salah)
x = -1 → (-1)² – (-1) < 5 (pernyataan benar)
Maka, yang memenuhi x = 3
Jawaban : D

1. Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru hadir.
2. Semua siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir.
3. Beberapa siswa tidak hadir dan semua guru tidak hadir.
4. Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir.
5. Semua siswa hadir dan beberapa guru hadir.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = semua siswa hadir
q = beberapa guru tidak hadir
Pernyataan tersebut dilambangkan sebagai berikut:
p ⇒ q = ~ p ∨ q
Maka, pernyataan yang setara adalah ”Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir”.
Jawaban : A

1. Adi pasti sombong.
2. Adi mungkin anak yang baik.
3. Adi bukan anak yang baik.
4. Adi punya beberapa teman.
5. Adi anak yang baik.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Adi sombong
q = Adi mempunyai banyak teman
Premis 1 : ~ p ⇒ q
Premis 2 : ~q
Kesimpulan : p
Maka, kesimpulannya adalah  “Adi pasti sombong”.
Jawaban : A

1. Jika ada siswa berlaku tidak jujur dalam UN maka nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN.
2. Jika nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN maka setiap siswa berlaku jujur dalam UN.
3. Jika nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN maka ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN.
4. Setiap siswa berlaku jujur dalam UN dan nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN.
5. Ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN atau nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p  = setiap siswa berlaku jujur dalam UN
q  = nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN
Pernyataan tersebut dilambangkan:
p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p
Maka, pernyataan yang setara adalah “jika nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN maka ada siswa yang tidak berlaku jujur dalam UN”.
Jawaban : C

1. x² ≥ 0
2. x² > 0
3. x > 0
4. x² < 0
5. x ≠ 0

PEMBAHASAN :
Diketahui: a = Jika x² ≥ 0 , b = 2 merupakan bilangan prima
Pernyataan:
p : a ⇒ b
q : ~b
Kesimpulan : ~a
Maka,  x² < 0
Jawaban : D

PEMBAHASAN :

1. p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p
   ~p       
   ∴ ~q
   Argument I merupakan modus tollens
2. p ⇒ q
   ~q ∨ r ≡ q ⇒ r
   ∴ p ⇒ r
   Argument II merupakan silogisme

Jawaban : D

1. r ∨ p
2. ~p ∨ ~r
3. ~p ⇒ q
4. ~r ⇒ p
5. ~r ⇒ q

PEMBAHASAN :
Diketahui premis:
Premis 1 : p ⇒ q
Premis 2 : ~q ∨ ~r ≡ q → ~r
Kesimpulan : p → ~r ≡ ~p ∨ ~r
Jawaban : B

1. Ani naik kelas.
2. Ani dapat hadiah.
3. Ani tidak dapat hadiah.
4. Ani naik kelas dan dapat hadiah.
5. Ani dapat hadiah atau naik kelas.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Ani rajin belajar.
q = Ani naik kelas.
r = Ani dapat hadiah.
Dari pernyataan di atas diperoleh  premis-premis seperti di bawah ini:

Maka, kesimpulan yang sah adalah Ani dapat hadiah.
Jawaban : B

1. r ∧ q
2. p ∨ ~r
3. p ⇒ r
4. ~r ⇒ ~q
5. ~q ⇒ ~p

PEMBAHASAN :
Diketahui premis:
Premis 1 : ~p → ~q
Premis 2 : q ∨ ~r ≡ ~q → ~r
Kesimpulan : ~p → ~r ≡ p ∨ ~r
Jawaban : B

1. Ada siswa yang hasil ulangan baik.
2. Ada siswa yang hasil ulangan tidak baik.
3. Ada siswa yang rajin belajar.
4. Ada siswa yang tidak rajin belajar.
5. Semua siswa rajin belajar.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = siswa tidak rajin belajar.
q = hasil ulangan baik.
r = siswa dapat mengikuti seleksi perguruan tinggi.
Dari pernyataan di atas diperoleh  premis-premis seperti di bawah ini:

Maka, kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah ada siswa yang tidak  rajin belajar.
Jawaban : D

1. r ∨ p
2. r ∧ p
3. ~p ∨ ~r
4. r ∨ ~q
5. ~q ⇒ p

PEMBAHASAN :
Diketahui premis:
Premis 1 : p  ⇒ ~q
Premis 2 : q ∨ ~r ≡ ~q → ~r
Kesimpulan : p ⇒ ~r ≡ ~p ∨ ~r
Jawaban : C

1. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding.
2. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut bertanding.
3. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.
4. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding.
5. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = saya giat belajar.
q = saya bisa meraih juara.
r = saya boleh ikut bertanding.
Dari pernyataan di atas diperoleh  premis-premis seperti di bawah ini:
Premis 1 : p ⇒ q
Premis 2 : q ⇒ r
Kesimpulan : p ⇒ r
~(p ⇒ r) = ~(~p ∨ r) = p ∧ ~r
Maka, ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas  adalah saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding.
Jawaban : A

1. ~a
2. ~b
3. ~a ∨ b
4. a ∨ ~c
5. b ∧ c

PEMBAHASAN :
Diketahui:

• Pernyataan a, b, c, d
• ~ a ingkaran a
• a ⇒ (b ∨ d), b ⇒ c, dan (b ∨ c) ⇒ d adalah pernyataan benar
• d adalah pernyataan yang salah

1. a ⇒ (b ∨ d) bernilai benar, a ⇒ salah atau salah ≡ bernilai benar sehingga a harus bernilai salah
2. b ⇒ c bernilai benar.
3. (b ∨ c) ⇒ d bernilai benar karena d bernilai salah maka (b ∨ c) harus bernilai salah sehingga b bernilai salah dan c juga bernilai salah.

Jawaban : E

1. Harga BBM tidak naik.
2. Jika harga bahan pokok naik maka ada orang yang tidak senang.
3. Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang.
4. Jika semua orang tidak senang maka harga bahan pokok naik.
5. Harga BBM naik dan ada orang yang senang.

PEMBAHASAN :
Diketahui pernyataan:
p = Harga BBM naik.
q = Harga bahan pokok naik.
r = Semua orang tidak senang.
Dari pernyataan di atas diperoleh  premis-premis seperti di bawah ini:
Premis 1 : p ⇒ q
Premis 2 : q ⇒ r
Kesimpulan : p ⇒ r
~(p ⇒ r) = ~(~p ∨ r) = p ∧ ~r
Maka, ingkaran dari kesimpulannya adalah harga BBM naik dan ada orang yang senang.
Jawaban : E

1. cos 45⁰ =
2. x – 3 = 5
3. x adalah bilangan genap
4. y adalah faktor dari 12
5. x² – 3x + 4 = 0

PEMBAHASAN :
Pernyataan dapat ditentukan apabila nilai kebenarannya bisa ditentukan. Dari pilihan di atas yang merupakan pernyataan adalah cos 45⁰ = .
Jawaban : A

1. Ada manusia yang tidak perlu makan dan minum
2. Semua manusia tidak perlu makan dan minum
3. Semua manusia perlu makan tetapi tidak perlu minum
4. Ada manusia yang tidak perlu makan atau minum
5. Semua manusia tidak perlu makan atau minum

PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran tetapi berlawanan dengan pernyataan atau proposisi semula. Simbolnya (~)
Diketahui:
Pernyataan (P): semua manusia perlu makan dan minum

Maka:
~ P = Ada manusia yang tidak perlu makan atau minum
Jawaban : D

1. Jika Andi kehujanan maka ia demam
2. Andi demam karena kehujanan
3. Andi Kehujanan dan ia demam
4. Andi kehujanan dan ia sakit
5. Jika Andi sakit maka ia kehujanan

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Andi kehujanan
q = Andi sakit
r = Andi demam
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r

Maka kesimpulannya: p ⇒ r
“ Jika Andi kehujanan maka ia demam “
Jawaban : A

1. Tono rajin belajar atau ia lulus ujian
2. Jika Tono rajin belajar maka ia tidak lulus ujian
3. Tono rajin belajar dan ia tidak lulus ujian
4. Jika Tono rajin belajar maka ia lulus ujian
5. Jika Tono tidak rajin belajar maka ia tidak lulus ujian

PEMBAHASAN :
Misalkan:
p: Tono rajin belajar
q: Tono murid pandai
r: Tono lulus ujian
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r
Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran tetapi berlawanan dengan pernyataan atau proposisi semula. Simbolnya (~)

Maka: ~ (p ⇒ r) ≡ p ∧ q ~ r
“ Tono rajin belajar dan ia tidak lulus ujian “
Jawaban : C

1. Tidak ada pegawai swasta yang bergaji tinggi
2. Beberapa pegawai swasta bergaji rendah
3. Beberapa pegawai swasta bergaji tinggi
4. Semua pegawai swasta bergaji rendah
5. Tidak ada pegawai swasta yang bergaji rendah

PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi dari ungkapan berkuantor “ semua p “ adalah “ ada/ beberapa ~ p “ atau “ tidak semua p “.

Maka, ingkaran dari “ semua pegawai swasta bergaji tinggi “ adalah “ beberapa pegawai swasta bergaji rendah “.
Jawaban : B

1. Pohon ditebang atau tanah longsor
2. Pohon ditebang dan tanah longsor
3. Semua pohon ditebang dan tanah tidak longsor
4. Ada pohon ditebang
5. Tanah tidak longsor

PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran tetapi berlawanan dengan pernyataan atau proposisi semula. Simbolnya (~)

Maka: ~ (p ⇒ r) ≡ p ∧ q ~ r

“ Semua pohon ditebang dan tanah tidak longsor “
Jawaban : C

1. Indonesia bergejolak tetapi aman
2. Indonesia tidak bergejolak dan semua warga asing tidak dievakuasi
3. Jika Indonesia tidak bergejolak atau aman maka beberapa warga asing dievakuasi
4. Jika semua warga asing dievakuasi maka Indonesia bergejolak dan tidak aman
5. Indonesia tidak bergejolak atau aman

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Indonesia bergejolak
q = Indonesia tidak aman
r = beberapa warga asing dievakuasi
Premis a: (p ∧ q ) ⇒ r
Premis b: ~ r
Kesimpulan: ~ (p ∧ q )(modus Tollens)
~ (p ∧ q ) ≡ ~ p ∨ ~ q
“ Indonesia tidak bergejolak atau aman “
Jawaban : E

1. Bukan musim dingin
2. Musim dingin
3. Ibu memakai jaket
4. Musim dingin dan ibu memakai jaket
5. Bukan musim dingin dan ibu memakai jaket

PEMBAHASAN :
Diketahui:
p = musim dingin
q = ibu memakai jaket
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: ~ q

Kesimpulan: ~p (modus Tollens)
Maka: “ bukan musim dingin “
Jawaban : A

1. Musim kemarau atau Dewi tersenyum
2. Musim tidak kemarau dan Dewi tidak tersenyum
3. Musim tidak kemarau atau Dewi tidak tersenyum
4. Musim kemarau dan Dewi tersenyum
5. Musim tidak kemarau atau Dewi tersenyum

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalnya:
p = musim kemarau
q = udara panas
r = Dewi tersenyum
Premis a: p ⇒ q
Premis b: ~ q ∨ r ≡ q ⇒ r

Kesimpulan: p ⇒ r ≡ ~ p ∨ r
“ Musim tidak kemarau atau Dewi tersenyum “
Jawaban : E

1. Beberapa bilangan prima bukan bilangan prima
2. Beberapa bilangan ganjil bukan bilangan prima
3. Beberapa bilangan ganjil adalah bilangan prima
4. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
5. Semua bilangan prima bukan bilangan ganjil

PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi dari pernyataan yang berkwantor “ beberapa “ adalah “ semua “.

Maka, jika pernyataan “ Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap “ sehingga ingkaran atau negasinya adalah “ Semua bilangan prima bukan bilangan ganjil “.
Jawaban : E

1. Petani panen tomat dan harga tomat murah
2. Petani panen tomat dan harga tomat mahal
3. Petani tidak panen tomat atau harga tomat tidak murah
4. Petani tidak panen tomat dan harga tomat murah
5. Petani tidak panen tomat dan harga tomat tidak murah

PEMBAHASAN :
Berlaku: ~ (p ∨ q) ≡ ~ p ∧  ~ q

Maka ingkarannya sebagai berikut: “ Petani tidak panen tomat dan harga tomat tidak murah “
Jawaban : E

1. Jika saya tidak pergi ke pantai maka Andi sudah sehat
2. Jika saya pergi ke pantai maka Andi sudah sehat
3. Jika Andi sudah sehat maka saya pergi ke pantai
4. Andi sudah sehat dan saya pergi ke pantai
5. Saya jadi pergi ke pantai atau Andi tidak sehat

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Andi sudah sehat
q = Saya diajak piknik
r = saya pergi ke pantai
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r (silogisme)
Maka: “ Jika Andi sudah sehat maka saya pergi ke pantai “.
Jawaban : C

1. Silogisme, Ponens, dan Tollens
2. Silogisme, Konvers, dan Invers
3. Ponens, Tollens, dan Kontraposisi
4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
5. Negasi, Disjungsi, dan Konjungsi

PEMBAHASAN :
Penarikan kesimpulan melalui logika matematika dapat dilakukan melalui silogisme, modus ponens, dan modus tollens.
Jawaban : A

1. Budi rajin belajar dan rajin mengaji
2. Budi rajin belajar dan Budi tidak rajin mengaji
3. Budi tidak rajin belajar atau Budi tidak rajin mengaji
4. Budi tidak rajin belajar atau Budi rajin mengaji
5. Budi rajin belajar atau Budi tidak rajin mengaji

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Budi rajin belajar
q = Budi rajin mengaji
r = Ibu membelikan  telepon genggam
Premis i : (p ∧ q) ⇒ r
Premis ii : ~ r
Kesimpulan:  ~ (p ∧ q) ≡ p ∨ ~ q
Maka: “ Budi tidak rajin belajar atau Budi tidakn rajin mengaji “
Jawaban : C

1. Silogisme
2. Tollens
3. Ponens
4. Implikasi
5. Kontraposisi

PEMBAHASAN :
Diketahui premis-premis yaitu:
~ p ⇒ q
~ r ⇒ ~ q
∴ ~ r ⇒ p
Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari premis-premis majemuk.  Maka premis di atas adalah silogisme.
Jawaban : A

1. Jika ABCD bukan persegi panjang maka ABCD persegi
2. Jika ABCD bukan persegi maka ABCD persegi panjang
3. Jika ABCD persegi panjang maka ABCD persegi
4. Jika ABCD bukan persegi maka ABCD bukan persegi panjang d
5. Jika ABCD bukan persegi panjang maka ABCD bukan persegi

PEMBAHASAN :
Kontraposisi dari p ⇒ q adalah ~ q ⇒ ~ p. Sehingga kontraposisi dari “ Jika ABCD persegi, maka ABCD persegi panjang “ yaitu “ Jika ABCD bukan persegi panjang maka ABCD bukan persegi “.
Jawaban : E

1. Risa tidak berkulit coklat dan Hany tidak berkulit putih
2. Risa tidak berkulit coklat atau Hany tidak berkulit putih
3. Risa berkulit putih tetapi Hany berkulit coklat
4. Risa berkulit coklat atau hany berkulit putih
5. Risa berkulit coklat dan Hany berkulit tidak putih

PEMBAHASAN :
“ Risa berkulit coklat dan Hany berkulit putih “
Ingkaran atau negasi untuk pernyataan di atas adalah ~ (p Ù q) º ~ p Ú ~ q
jadi kesimpulannya: “ Risa tidak berkulit coklat atau Hany tidak berkulit putih “.
Jawaban : B

1. Jika sungai itu tidak kotor maka sungai itu tidak banyak sampahnya
2. Jika sungai itu banyak sampahnya maka sungai itu kotor
3. Jika sungai itu tidak banyak sampahnya maka sungai itu tidak kotor
4. Jika sungai itu kotor maka sampahnya tidak banyak
5. Jika sungai itu kotor maka sungai itu banyak sampahnya

PEMBAHASAN :
Implikasi p ⇒ q maka kontraposisinya yaitu ~ q ⇒ ~ p
Sehingga kontraposisinya sebagai berikut: “ Jika sungai tidak banyak sampah maka sungai itu tidak kotor “.
Jawaban : C

1. Ridwan pintar, tapi tidak disenangi ibu
2. Ridwan pintar
3. Ridwan disenangi ibu
4. Ridwan tidak pintar
5. Ridwan disenangi kakek

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Ridwan pintar
q = Ridwan disenangi ibu
r = Ridwan disenangi bapak
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r (silogisme)
Premis 3: ~ r
Kesimpulan: ~ p (tollens)
Sehingga, kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas yaitu: “ Ridwan tidak pintar “.
Jawaban : D

1. Jika penguasaan komputer rendah maka negara akan tertinggal
2. Jika penguasaan komputer rendah maka IPTEK berkembang
3. IPTEK dan teknologi berkembang
4. IPTEK dan teknologi tidak berkembang
5. Susah untuk memajukan negara

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = penguasaan komputer rendah
q = sulit menguasai teknologi
r = IPTEK berkembang
s = negara akan tertinggal
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: ~ q ∨ ~ r ≡ q ⇒ ~ r
Kesimpulan awal: p ⇒ ~ r (silogisme)
Premis 3: ~ r ⇒ s
Kesimpulan akhir: p ⇒ s
Jadi, kesimpulannya: “ Jika penguasaan teknologi rendah maka negara akan tertinggal “.
Jawaban : A

1. Pada hari Sabtu siswa SMP memakai baju pramuka dan tidak memakai atribut lengkap
2. Pada hari Sabtu siswa SMP tidak memakai seragam pramuka atau tidak memakai atribut lengkap
3. Pada hari Sabtu siswa SMP tidak memakai seragam pramuka dan atribut lengkap
4. Selain hari Sabtu siswa SMP tidak memakai seragam pramuka dan memakai atribut lengkap
5. Selain hari Sabtu siswa SMP memakai seragam pramuka atau atribut lengkap

PEMBAHASAN :
“ Pada hari sabtu siswa SMP memakai baju pramuka dan atribut lengkap “
Ingkaran dari pernyataan di atas:
~ (p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q
Maka: “ Pada hari Sabtu siswa SMP tidak memakai seragam pramuka atau tidak memakai atribut lengkap “.
Jawaban : B

1. (p ⇒ ~ q) ⇒ (p ⇒ q)
2. (~ p ⇒ ~ q) ⇒ (p ∧ ~ q)
3. (p ∧ q) ⇒ (p ⇒ ~ q)
4. (p ∧ ~ q) ⇒ (~ p ∧ ~ q)
5. (p ⇒ ~ q) ⇒ (p ⇒ ~ q)

PEMBAHASAN :
Berlaku:
Kontraposisi dari a ⇒ b adalah ~ b ⇒ ~ a
Sehingga kontraposisi dari (~ p ⇒ q) ⇒ (~ p ∨ q) sebagai berikut:
~ ( ~ p ∨ q) ⇒ ~ ( ~ p ⇒ q) ≡ (p ∧ ~ q) ⇒ (~ p ∧ ~ q)
Jawaban : D

1. (p ∨ ~ q) ⇒ ~ p
2. (~ p ∨ q) ⇒ ~ p
3. (~p ∨ ~ q) ⇒ p
4. ~ p ⇒ (p ∨ ~ q)
5. ~ p ⇒ (p Ù ~ q)

PEMBAHASAN :
Berlaku:
Invers dari a ⇒ b adalah ~ a ⇒ ~ b
Sehingga invers dari (p ∧ ~ q) ⇒ p sebagai berikut:
~ (p ∧ ~ q) ⇒ ~ p ≡ (~ p ∨ q) ⇒ ~ p
Jawaban : B

1. Jika harga BBM tidak naik maka harga barang naik
2. Jika harga barang naik maka harga BBM naik
3. Harga BBM naik dan harga barang tidak naik
4. Harga BBM naik atau harga barang naik
5. Harga barang naik jika dan hanya jika harga BBM naik

PEMBAHASAN :
Berlaku: ~ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q
“ Jika harga BBM naik, maka harga barang naik “
Sehingga ingkaran atau negasi dari pernyataan di atas adalah “ Harga BBM naik dan harga barang tidak naik “.
Jawaban : C

1. Konjungsi
2. Disjungsi
3. Implikasi
4. Biimplikasi
5. Negasi

PEMBAHASAN :
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh kata hubung ‘ dan ‘. Dilambangkan dengan p ∧ q yang berarti p dan q.
Jawaban : A