Rangkuman Logika Matematika Kelas 11

Operasi Logika

Operasi pada logika matematika ada 5, yaitu:

1. Negasi/ ingkaran ( bukan …)
   Negasi atau ingkaran apabila dari sebuah pernyataan dapat membubuhkan kata tidak benar atau dapat menyisipkan kata bukan. Jika P adalah sebuah pernyataan, maka negasi/ ingkarannya dapat ditulis ∼P.
2. Disjungsi (… atau …)
   Disjungsi apabila pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan, misalkan p dan q yang dirangkaikan menggunakan kata hubung atau. Dapat dilambangkan p ∨ q, dibaca p atau q.
3. Konjungsi (… dan ….)
   Konjungsi apabila pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan, misalkan p dan q yang dirangkaikan menggunakan kata hubung dan. Dapat dilambangkan p ∧ q, dibaca p dan q.
4. Implikasi (jika … maka …)
   Implikasi bisa diartikan dengan pernyataan bersyarat/ kondisional, apabila pernyataan majemuk disusun dari dua buah pernyataan. Misalkan jika p maka q dilambangkan p ⇒ q.
5. Biimplikasi/implikasi dwiarah (jika dan hanya jika …)
   Biimpikasi apabila pernyataan dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung “ jika dan hanya jika”. Misalkan p jika dan hanya jika q dilambangkan p⇔q

Tabel Kebenaran

Kuantor

Suatu ungkapan yang diterapkan pada kalimat terbuka dengan satu variabel dan dapat mengubahnya menjadi kalimat tertutup disebut kuantor. Ada 2 macam Kuantor, yaitu:

1. Kuantor Universal 
   Suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, dilambangkan   dibaca “untuk semua nilai x”.
2. Kuantor Eksistensial
   Suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, dilambangkan  dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x”.

Negasi pernyataan majemuk

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Hubungan nilai kebenaran dari suatu implikasi p   q diperoleh:

1. q ⇒ p disebut konvers dari p ⇒ q
2. ~ p⇒ ~ q disebut invers dari p ⇒ q
3. ~ q ⇒ p disebut kontraposisi dari p ⇒ q

Ekuivalensi

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Pernyataan  ekuivalensi ada dua, yaitu:

1. p ⇒ q ≡ ~ p v q
2. p ⇒ q ≡ ~q ⇒ p

Penarikan Kesimpulan

Proses penarikan kesimpulan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya disebut premis. cara menarik kesimpulan dari 2 premis sebagai berikut:

1. Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)
   Premis 1 : p ⇒ q
   Premis 2 : p
   Kesimpulan : q
2. Modus Tolens (Kaidah Penolakan Akibat)
   Premis 1 : p ⇒ q
   Premis 2 : ~q
   Kesimpulan : ~p          
3. Silogisme (Sifat Menghantar atau Transitif)
   Premis 1 : p ⇒ q
   Premis 2 : q ⇒ r
   Kesimpulan : p ⇒ r

Contoh Soal & Pembahasan Logika Matematika Kelas 11

1. cos 45⁰ =
2. x – 3 = 5
3. x adalah bilangan genap
4. y adalah faktor dari 12
5. x² – 3x + 4 = 0

PEMBAHASAN :
Pernyataan dapat ditentukan apabila nilai kebenarannya bisa ditentukan. Dari pilihan di atas yang merupakan pernyataan adalah cos 45⁰ = .
Jawaban : A

1. Ada manusia yang tidak perlu makan dan minum
2. Semua manusia tidak perlu makan dan minum
3. Semua manusia perlu makan tetapi tidak perlu minum
4. Ada manusia yang tidak perlu makan atau minum
5. Semua manusia tidak perlu makan atau minum

PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran tetapi berlawanan dengan pernyataan atau proposisi semula. Simbolnya (~)
Diketahui:
Pernyataan (P): semua manusia perlu makan dan minum

Maka:
~ P = Ada manusia yang tidak perlu makan atau minum
Jawaban : D

1. Jika Andi kehujanan maka ia demam
2. Andi demam karena kehujanan
3. Andi Kehujanan dan ia demam
4. Andi kehujanan dan ia sakit
5. Jika Andi sakit maka ia kehujanan

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Andi kehujanan
q = Andi sakit
r = Andi demam
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r

Maka kesimpulannya: p ⇒ r
“ Jika Andi kehujanan maka ia demam “
Jawaban : A

1. Tono rajin belajar atau ia lulus ujian
2. Jika Tono rajin belajar maka ia tidak lulus ujian
3. Tono rajin belajar dan ia tidak lulus ujian
4. Jika Tono rajin belajar maka ia lulus ujian
5. Jika Tono tidak rajin belajar maka ia tidak lulus ujian

PEMBAHASAN :
Misalkan:
p: Tono rajin belajar
q: Tono murid pandai
r: Tono lulus ujian
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r
Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran tetapi berlawanan dengan pernyataan atau proposisi semula. Simbolnya (~)

Maka: ~ (p ⇒ r) ≡ p ∧ q ~ r
“ Tono rajin belajar dan ia tidak lulus ujian “
Jawaban : C

1. Tidak ada pegawai swasta yang bergaji tinggi
2. Beberapa pegawai swasta bergaji rendah
3. Beberapa pegawai swasta bergaji tinggi
4. Semua pegawai swasta bergaji rendah
5. Tidak ada pegawai swasta yang bergaji rendah

PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi dari ungkapan berkuantor “ semua p “ adalah “ ada/ beberapa ~ p “ atau “ tidak semua p “.

Maka, ingkaran dari “ semua pegawai swasta bergaji tinggi “ adalah “ beberapa pegawai swasta bergaji rendah “.
Jawaban : B

1. Pohon ditebang atau tanah longsor
2. Pohon ditebang dan tanah longsor
3. Semua pohon ditebang dan tanah tidak longsor
4. Ada pohon ditebang
5. Tanah tidak longsor

PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran tetapi berlawanan dengan pernyataan atau proposisi semula. Simbolnya (~)

Maka: ~ (p ⇒ r) ≡ p ∧ q ~ r

“ Semua pohon ditebang dan tanah tidak longsor “
Jawaban : C

1. Indonesia bergejolak tetapi aman
2. Indonesia tidak bergejolak dan semua warga asing tidak dievakuasi
3. Jika Indonesia tidak bergejolak atau aman maka beberapa warga asing dievakuasi
4. Jika semua warga asing dievakuasi maka Indonesia bergejolak dan tidak aman
5. Indonesia tidak bergejolak atau aman

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Indonesia bergejolak
q = Indonesia tidak aman
r = beberapa warga asing dievakuasi
Premis a: (p ∧ q ) ⇒ r
Premis b: ~ r
Kesimpulan: ~ (p ∧ q )(modus Tollens)
~ (p ∧ q ) ≡ ~ p ∨ ~ q
“ Indonesia tidak bergejolak atau aman “
Jawaban : E

1. Bukan musim dingin
2. Musim dingin
3. Ibu memakai jaket
4. Musim dingin dan ibu memakai jaket
5. Bukan musim dingin dan ibu memakai jaket

PEMBAHASAN :
Diketahui:
p = musim dingin
q = ibu memakai jaket
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: ~ q

Kesimpulan: ~p (modus Tollens)
Maka: “ bukan musim dingin “
Jawaban : A

1. Musim kemarau atau Dewi tersenyum
2. Musim tidak kemarau dan Dewi tidak tersenyum
3. Musim tidak kemarau atau Dewi tidak tersenyum
4. Musim kemarau dan Dewi tersenyum
5. Musim tidak kemarau atau Dewi tersenyum

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalnya:
p = musim kemarau
q = udara panas
r = Dewi tersenyum
Premis a: p ⇒ q
Premis b: ~ q ∨ r ≡ q ⇒ r

Kesimpulan: p ⇒ r ≡ ~ p ∨ r
“ Musim tidak kemarau atau Dewi tersenyum “
Jawaban : E

1. Beberapa bilangan prima bukan bilangan prima
2. Beberapa bilangan ganjil bukan bilangan prima
3. Beberapa bilangan ganjil adalah bilangan prima
4. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
5. Semua bilangan prima bukan bilangan ganjil

PEMBAHASAN :
Ingkaran atau negasi dari pernyataan yang berkwantor “ beberapa “ adalah “ semua “.

Maka, jika pernyataan “ Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap “ sehingga ingkaran atau negasinya adalah “ Semua bilangan prima bukan bilangan ganjil “.
Jawaban : E