Rangkuman, 10 Contoh Soal & Pembahasan Fungsi Kuadrat

Rangkuman Fungsi Kuadrat Kelas X/10

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat dua dalam variabel x.

Bentuk Umum

Bentuk umum fungsi kuadrat: ƒ(x) = ɑx2 + bx + c , (a, b, dan c ∈ R, ɑ ≠ 0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Grafik fungsi kuadrat dalam bidang Cartesius dikenal sebagai parabola.

  1. Koordinat titik puncak atau titik balik
    ƒ(x) = y = ɑx2 + bx + c , (a, b, dan c ∈ R, ɑ ≠ 0) mempunyai titik puncak atau titik balik

  2. Sumbu simetri x = xp
  3. Nilai maksimum/minimum y = yp

Sifat Kurva Parabola

  1. Berdasarkan koefisien “ɑ”
    Nilai a berfungsi untuk menentukan arah membukanya sebuah grafik.

    • Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sedangkan titik baliknya minimum sehingga mempunyai nilai minimum.
    • Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah sedangkan titik baliknya maksimum sehingga mempunyai nilai maksimum.
  1. Berdasarkan koefisien “b”
    Nilai b berfungsi untuk menentukan posisi sumbu simetri pada grafik.

    • Untuk a dan b bertanda sama (a > 0, b > 0) atau (a < 0, b <0) maka, sumbu simetri berada di kiri sumbu y.
    • Untuk a dan b berlainan tanda (a < 0, b > 0) atau (a > 0, b < 0) maka, sumbu simetri berada di kanan sumbu y.
  1. Berdasarkan koefisien “c”
    Nilai c berfungsi untuk menentukan titik potong dengan sumbu y.

    • Jika c > 0, grafik parabola memotong di sumbu y positif.
    • Jika c < 0, grafik parabola memotong di sumbu y negatif.
  1. Berdasarkan D = b2 – 4ac (diskriminan)
    • Jika D > 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. Parabola akan memotong sumbu x di dua titik. Untuk D kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional, sedangkan D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional.
    • Jika D = 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional. Parabola akan menyinggung di sumbu x.
    • Jika D < 0 persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner). Parabola tidak memotong dan tidak menyinggung di sumbu x.
    1. Untuk D < 0, a > 0 parabola akan selalu berada di atas sumbu x atau disebut definit positif.
    2. Untuk D < 0, ɑ < 0 parabola akan selalu berada di bawah sumbu x atau disebut definit negatif.

Menyusun Fungsi kuadrat

  1. Apabila memotong di sumbu x di (x1,0) dan (x2,0), maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – x1) (x – x2).
  2. Apabila titik puncak (xp, yp) maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – xp)2 + yp.
  3. Apabila menyinggung sumbu x di (x1,0) maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – x1)2.

Hubungan Garis Dengan Parabola

Berdasarkan D = b2 – 4ac, kedudukan garis terhadap parabola dibagi menjadi 3, yaitu:

    1. D > 0 artinya garis akan memotong parabola di dua titik.
  1. D = 0 artinya garis memotong parabola di satu titik (menyinggung)
  2. D < 0 artinya garis tidak memotong dan tidak menyinggung parabola.

Contoh Soal & Pembahasan Fungsi Kuadrat Kelas X/10

Soal No.11 (MatDas SNMPTN 2009)
Grafik fungsi f(x)=x2 – 6x + 7 dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik fungsi f(x) = x2 ke arah …
  1. Kanan sumbu x sejauh 2 satuan dan ke arah bawah sumbu y sejauh 3 satuan
  2. Kiri sumbu x sejauh 3 satuan dan ke arah atas sumbu y sejauh 2 satuan
  3. Kanan sumbu x sejauh 3 satuan dan ke arah atas sumbu y sejauh 2 satuan
  4. Kanan sumbu x sejauh 6 satuan dan ke arah atas sumbu y sejauh 7 satuan
  5. Kiri sumbu x sejauh 2 satuan dan ke arah atas sumbu y sejauh 3 satuan

PEMBAHASAN :
Diketahui: f(x) = x2 – 6x + 7
Ditanyakan: f(x) = x2 digeser ke arah?
f(x) = x2 – 6x + 7 = (x – 3)2 – 2
Maka, grafik fungsi f(x) digeser ke arah anan sumbu x sejauh 3 satuan dan ke arah atas sumbu y sejauh 2 satuan.
Jawaban : C

Soal No.12 (UN 2007)
Perhatikan gambar!
Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah …
  1. y = 2x2 + 4
  2. y = x2 + 3x + 4
  3. y = 2x2 + 4x + 4
  4. y = 2x2 + 2x + 4
  5. y = x2  + 5x + 4

PEMBAHASAN :
Diketahui:
(xp , yp) = (-1,2)
(x , y)  = (0,4)
Ditanyakan: Persamaan kuadratnya = …
Rumus yang berlaku:
y = a(x – xp)2 + yp
y = a (x – (- 1))2 + 2
4 = a(0 +1)2 + 2
4 = a + 2
a = 2

Persamaan kuadrat yang terbentuk adalah
y = a(x – xp)2 + yp
y = 2(x + 1)2 + 2
y = 2x2 + 4x + 4
Jawaban : C

Soal No.13 (Matematika Dasar SNMPTN 2011)
Grafik fungsi y = ax2 + bx + c di tunjukkan berikut ini:
  1. ab > 0 dan a + b + c > 0
  2. ab < 0 dan a + b + c > 0
  3. ab > 0 dan a + b + c ≤ 0
  4. ab < 0 dan a + b + c < 0
  5. ab < 0 dan a + b + c ≥ 0

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Kurva terbuka ke atas → a > 0
y = ax2 + bx + c  memotong sumbu y positif → c > 0
Kurva memotong sumbu x di dua titik → D > 0
Maka: b2 – 4ac > 0
b2 – 4(+)(+) > 0
b > 0
Sehingga, ab > 0 dan a + b + c > 0
Jawaban : A

Soal No.14 (UN 1995)
Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x = 2, sedangkan f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah …
  1. y = – ½ x2 + 2x + 3
  2. y = – ½ x2 – 2x + 3
  3. y = – ½x2 – 2x – 3
  4. y = – 2x2 – 2x + 3
  5. y = – 2x2 + 8x – 3

PEMBAHASAN :
Diketahui:
(xp ,  yp) = (2,5)
f(4) = 3 → (4,3)
Tentukan nilai a:
y = a(x – xp)2 + yp
y = a(x – 2)2 + 5
3 = a (4 – 2)2 + 5
3 = 4a + 5
4a = – 2
a = – ½

Maka, fungsi kuadratnya menjadi sebagai berikut:
y = – ½ (x-2)2 + 5
y = – ½ x2 + 2x + 3
Jawaban : A

Soal No.15 (MATEMATIKA DASAR SNMPTN 2011)
Jika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c  dengan titik puncak (5,-4) memotong sumbu x positif dan sumbu y negatif maka …
  1. a – c > 0
  2. a + c < 0
  3. a + c = 0
  4. a + c > 0
  5. a – c < 0

PEMBAHASAN :
Diketahui:
f(x) = ax2 + bx + c
Kordinat titik puncak (5,4)
Memotong pada sumbu y negatif →
Tentukan xp dan yp:

a > 0
Maka, a – c > 0
Jawaban : C

Soal No.16 (UN 2003)
Grafik fungsi kuadrat dengan titik balik (-1,4) dan melalui titik (-2,3) memotong sumbu y di titik …
  1. (0,3)
  2. (0, 2½)
  3. (0,2)
  4. (0, 1½)
  5. (0,1)

PEMBAHASAN :
Diketahui:
titik balik (xp , yp) → (-1,4)
(x , y) → (-2,3)
Tentukan terlebih dahulu fungsi kuadratnya:
y = a(x-xp)2 + yp
y = a(x+1)2 + 4
3 = a(-2+1)2 + 4
3 = a + 4
a = -1
Fungsi kuadrat yang memenuhi adalah:
y = -1(x+1)2 + 4
Maka, titik potong dengan sumbu y ⟶ x = 0
y = -1(0+1)2 + 4 = 3
(0 , 3)
Jawaban : A

Soal No.17 (Matematika Dasar Simak UI 2012)
Diketahui bahwa f(x) adalah fungsi kuadrat yang memenuhi pertidaksamaan x^2-2x + 3 ≤ f(x) ≤ 2x2 – 4x + 4 untuk semua bilangan riil x. Jika diketahui bahwa f(5) = 26, maka f(7) = …
  1. 38
  2. 50
  3. 56
  4. 74
  5. 92

PEMBAHASAN :
Diketahui: x2 – 2x + 3 ≤ f(x) ≤ 2x2 – 4x + 4, x merupakan bilangan riil, f(5) = 26
Ditanyakan: Fungsi kuadrat untuk f(7)?
Untuk f(5) = 26:
x2 – 2x + 3 ≤ f(x) ≤ 2x2 – 4x + 4
52 – 2(5) + 3 ≤ f(5) ≤ 2(5) – 4(5) + 4
18 ≤ f(5) ≤ 34
18 ≤ 26 ≤ 34

Untuk f(7):
x2 – 2x + 3 ≤ f(x) ≤ 2x2 – 4x + 4
72 – 2(7) + 3 ≤ f(7) ≤ 2(7)2 – 4(7) + 4
38 ≤ f(7) ≤ 74

38 + 2a = 74
a = 18
Maka, f(7) = 38 + 18 = 56
Jawaban : C

Soal No.18 (UN 2008)
Pak bahar mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan lebar 10 m kurangnya dari setengah panjangnya. Apabila luasnya 400 m2 maka lebarnya adalah … meter
  1. 60
  2. 50
  3. 40
  4. 20
  5. 10

PEMBAHASAN :
Diketahui: L = 400 m2, l = ½p – 10
Tentukan panjang tanah terlebih dahulu:
l = ½p – 10 ⟶ p = 2l + 20
l = p.l = (2l + 20) . l
400 = 2l2 + 20l
2l2 + 20l – 400 = 0
l2 + 10l – 200 = 0
(l – 10)(l + 20)
l = 10 atau l = -20
Maka lebar tanah adalah 10
Jawaban : E

Soal No.19 (MATEMATIKA DASAR SIMAK UI 2012)
Diketahui f(x) = ax2 + (b + 1)x – (a + b + 1) memotong sumbu x di dua titik berbeda. f(x) dibagi x mempunyai sisa – (a+6), maka a dipenuhi oleh …
  1. a < -3 atau a > 3
  2. -3 < a < 3
  3. a ≠ -6
  4. a < -2 atau a > 8
  5. -2 < a < 8

PEMBAHASAN :
Diketahui:
f(x) = ax2 + (b + 1)x – (a + b + 1) memotong sumbu x di dua titik berbeda → D > 0
f(x) dibagi x mempunyai sisa – (a+6)
Ditanyakan nilai a?
D = b2 – 4ac
b = (b + 1), a = a, c = – (a + b + 1)
Persamaan 1:   (b + 1)2 – 4.a.(-(a + b + 1)) > 0
Persamaan 2:   f(x) dibagi x mempunyai sisa –(a + 6) → f(0) = -(a + 6)
-(a + b + 1) = -(a + 6)
a + b + 1 = a + 6
a + b + 1 = 6 → b = 5 – a

Subtitusikan persamaan 1 dan 2:
(5 – a + 1 – 4a(- a + 5 – a + 1) > 0
(5 – a + 1 – 4a(-6) > 0
(6 – a)2 + 24a > 0
a2 – 12a + 36 + 24a > 0
a2 + 12a + 36 > 0
(a + 6)(a + 6) > 0

Maka, a  ≠ -6
Jawaban : C

Soal No.20 (UN 2011)
Grafik y = px2 + (p + 2)x – p + 4 memotong sumbu x di dua titik. Batas – batas nilai p yang memenuhi adalah …
  1. p < -2 atau p > -2/5
  2. p < 2/5  atau p > 2
  3. p < 2 atau p > 10
  4. 2/5 <  p < 2
  5. 2 < p < 10

PEMBAHASAN :
Diketahui dari grafik y = px2 + (p + 2)x – p + 4, yaitu:
b = p + 2
a = p
c = – p + 4
D = b2 – 4ac, syarat memotong sumbu x di dua titik D > 0
b2 – 4ac > 0
(p+2)2 – 4.p.(-p + 4) > 0
p2 – 4p + 4 + 4p2 – 16p > 0
5p2 – 12p + 4 > 0
(5p – 2)(p – 2) > 0
p = 2/5  atau p = 2

Sehingga, p < 2/5  atau p > 2
Jawaban : B

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

You cannot copy content of this page