Rangkuman Pertidaksamaan
Pengertian
Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan > (lebih dari), < (kurang dari), ≥(lebih dari atau sama dengan), dan ≤ (kurang dari atau sama dengan)
Sifat-sifat Pertidaksamaan
- Jika a dan b bilangan real maka berlaku a > b atau a = b atau a < b
- Jika a > b dan b > c maka a > c
- Jika a > b maka a + c
- Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc dan
>
- Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc dan
<
- Jika m genap dan a > b maka:
- am > bm ,untuk a > 0 dan b > 0
- am < bm ,untuk a < 0 dan b < 0
- Jika n ganjil dan a > b maka an > bn
- Jika a > b maka:
>
untuk a dan b bertanda sama
<
untuk a dan b berbeda tanda
Interval Bilangan
yaitu penyelesaian dari suatu pertidaksamaan
Definit
Jenis Definit
- Definit Positif
Bentuk ax2 + bx + c = 0 dikatakan definit positif jika a > 0 dan D < 0, Jika pertidakasamaan ax2 + bx + c > 0 dalam kondisi definit positif, maka penyelesaiannya adalah semua x Î R. - Definit Negatif
Bentuk ax2 + bx + c = 0 dikatakan definit negatif jika a < 0 dan D < 0, Jika pertidakasamaan ax2 + bx + c < 0 dalam kondisi definit negatif, maka penyelesaiannya adalah semua x Î R.
Sifat Definit
- Untuk f(x) definit positif dan g(x) sembarang
- f(x)g(x) > 0 → g(x) > 0
- f(x)g(x) < 0 → g(x) < 0
> 0 → g(x) > 0
< 0 → g(x) < 0
- Untuk f(x) definit negatif dan g(x) sembarang
- f(x)g(x) > 0 → g(x) < 0
- f(x)g(x) < 0 → g(x) > 0
> 0 → g(x) < 0
< 0 → g(x) > 0
Jenis Pertidaksamaan
- Pertidaksamaan linear
ax + b < 0
ax + b > 0
ax + b ≤ 0
ax + b ≥ 0
Penyelesaian :
Pisahkan variabel x diruas tersendiri terpisah dari konstanta. - Pertidaksamaan Kuadrat
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≤ 0
ax2 + bx + c ≥ 0
Penyelesaian :- Jadikan ruas kanan = 0
- Faktorkan ruas kiri.
- Tetapkan nilai-nilai nolnya.
- Tentukan daerah penyelesaian!
- Jika yang ditanya > 0 atau maka daerah penyelesaiannya adalah daerah (+)
- Jika yang ditanya < 0 atau maka daerah penyelesaiannya adalah daerah (-)
- Pertidaksamaan Harga Mutlak
- |f(x)| < a dan a > 0 menjadi bentuk –a < f(x) < a
- |f(x)| > a dan a > 0 menjadi bentuk f(x) < -a atau f(x) > a
- |f(x)| > |g(x)| menjadi bentuk (f(x)+g(x))(f(x) – g(x)) > 0
- a < |f(x)| < b dengan a dan b positif menjadi bentuk a < f(x) < b atau –b < f(x) < -a
- bentuk
< c dengan c > 0 menjadi bentuk
|a| < c|b|
|a| < |cb|
(a + cb) (a – cb) < 0
13 Part Video Pembelajaran Pertidaksamaan Kelas XII
Videonya ada 13 part ya. Kalau terlalu kecil tekan opsi full screen di pojok kanan video. Silahkan menyimak!
- Pertidaksamaan 1
- Pertidaksamaan 2
- Pertidaksamaan 3
- Harga Mutlak 1
- Harga Mutlak 2
- Harga Mutlak 3
- Irasional 1
- Irasional 2
- Irasional 3
- Irasional 4
- Kuadrat 1
- Kuadrat 2
- Kuadrat 3
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
Himpunan penyelesaian dari |x – 1| <

- 0
- 2
- 4
- 6
- 12
PEMBAHASAN :
- Untuk x ≥ 1:
x -1 <…………..kali dengan x
⇒ x2 – x < 6
⇒ x2 – x – 6 < 0
⇒ (x+2) (x – 3) < 0
1 ≤ x < 3 - untuk x < 1 :
⇒ -(x – 1) <
⇒ -x + 1 –< 0 ……………….kalikan -1
⇒ x – 1 +> 0
0 < x < 1
∴ Gabungannya 1 ≤ x ≤ 3 ∪ 0 < x < 1
⇒ 0 < x < 3
⇒ (0,3) ≡ (a,b)
⇒ a = 0, b = 3
∴ 3a + 2b = 3.0 + 2.3 = 6
Jawaban D

- π
- 2π
- 3π
- 4π
- 5π
PEMBAHASAN :
- 2 – 2.cos2x ≤ √3. sin x
⇒ 2(1-cos2x) – √3.sinx ≤ 0⇒ 2.sin2x – √3.sinx ≤ 0⇒ sin x (sinx – ½ √3) ≤ 0
- Batas nilai x pada x ∈ [0 , 2p] :
sin x = 0 sin x = ½ √3x = 0 atau x = π x = π/3 atau x = 2π/3
- Cek Garis Bilangan
nilai yang memenuhi
0 ≤ x ≤ π/3 ∪ π ≤ x ≤ 2π/3
⇒ [0,π/3] ∪ [π, 2π/3] ≡ [a,b] ∴ a + b + c + d = 0 + π/3 + π + 2π/3 = 2π
Jawaban B
- x > 1
- -2 < x < 1
- x < -2
- x > -2
PEMBAHASAN :
x2 + x – 2 > 0
(x + 2)(x – 1) > 0
x = -2 V x = 1
Dapat dipenuhi jika x < -2 atau x > 1
( 1 dan 3 benar)
Jawaban : B
- {x| -6 < x < 1}
- {x| -3 < x < 2}
- {x|x < -1 atau x > 6}
- {x|x < -6 atau x > 6}
- {x|x < 2 atau x>3}
PEMBAHASAN :
x2 – 5x – 6 > 0
(x – 6)(x + 1) > 0
x = 6 V x = -1
HP : {x|x < -1 atau x > 6}
Jawaban : C


- -2 < x < 0
- x < -2 atau x > 0
- 0 < x ≤ 2
- x < 0 atau x > 2
- x < 0 atau x ≥ 2
- {x| -5 ≤ x < – 3}
- {x] 3 ≤ x < 5}
- {x|x < -5 atau x ≥ -3}
- {x| x < -3 atau x ≥ 5}
- {x| x < -3 atau x > -5}
PEMBAHASAN :
x2 – 8x + 15 ≤ 0
(x – 5)(x – 3) ≤ 0
x = 5 V x = 3
HP : {x|3 ≤ x ≤ 5}
Jawaban : B
- {x| x > 2 atau x < -3/4
- {x| x > 2 atau x < -4/3}
- {x| -4/3 ≤ x < 2}
- {x| -3/4 ≤ x < 2}
- {x| x > -4/3 atau x < -2}
PEMBAHASAN :
3x2 – 2x – 8 > 0
(3x + 4)(x – 2) > 0
x = -4/3 V x = 2
HP : {x| x > 2 atau x < -4/3}
Jawaban : B
- 1 ≤ x ≤ 3
- x ≤ -2 atau x ≥ 1
- 3 ≤ x ≤ -1
- -2 ≥ x atau x ≥ 3
- -1 ≥ x atau x ≥ 3

- {x|x ≤ -3 atau -1 ≤ x ≤ 2}
- {x|-3 ≤ x < -1 atau x > 3}
- {x|-3 ≤ x < 1 atau 2 ≤ x ≤ 3}
- {x|x ≤ -3 atau -1 ≤ x ≤ 2 atau x ≥ 3}
- {x| x ≤ -3 atau -1 < x ≤ 2 atau x > 3}
- 1 ≤ x ≤ 3
- x ≤ -2 atau x ≥ 1
- 3 ≤ x ≤ -1
- -2 ≥ x atau x ≥ 3
- -1 ≥ x atau x ≥ 3

- {x| 1 ≤ x 2}
- {x| 1 ≤ x ≤ 2}
- {x|x < 1}
- {x|x > 2 atau x ≤ 1}
- {x|x > 2 atau x < 1}

- 0 < y ≤ 1
- 0 < y < 1
- y ≤ 0 atau y > 1
- y < 0 atau y ≥ 1
- y < 0 atau y > 1

- 1/3 < x < 1
- 1/3 ≤ x < 1
- x ≤ 1/3 atau x > 1
- x < 1/3 atau x > 1
- x < 1/3 atau x ≥ 1


- x < 2/3 atau x > 2/3
- 1/2 < x < 2/3 atau 2/3 < x < 1
- x ≤ 1/2 atau x ≥ 1
- 1/2 < x < 1
- x < 2/3 atau x > 1
PEMBAHASAN :
Jawaban : C

- {x| x ≥ -1}
- {x| x ≥ 4/3
- {x| x ≤ 5/2}
- {x| x ≥ 5/2}
- {x| 4/3 ≤ x ≤ 5/2}

- -2 ≤ x < -1
- x > 1
- -3/2 ≤ x ≤ -1
- x > 2
- -1 < x < 1

- x ˃ -4
- x ˂ -2
- -4 ˂ x ˂ 0
- x ˂ -4 atau x ˃ 0
- x ˂ -2 atau x ˃ 1
- x < -1/2
- x ≥ -1/2
- x ≥ 2
- x ≤ 2
- x ≤ -1/2 atau x ≥ 2
- {x ∈ R| x ≤ -3 atau x ≥ 3}
- {x ∈ R| -3 ≤ x ≤ 3}
- {x ∈ R| x ≤ -3}
- {x ∈ R| x ≥ 3}
- {x ∈ R| x > 3}
- -1 –
≤ x ≤ 3
- -1 –
≤ x ≤ -1 +
- -1 –
≤ x ≤ -1/2
- -1 ≤ x ≤ -1 +
- -1 ≤ x ≤ 3
- ps > qr
- pr > qs
- p + r > q + s
- pr + qs > ps + qr
PEMBAHASAN :
Dengan ketentuan p > q dan r > s, sebagai berikut:
- ps > qr
Pembuktian, misalnya:
6 > 5 dan 4 > 3
6 . 3 > 5 . 4 (salah)
Pernyataan belum tentu benar - pr > qs
Pembuktian, misalnya:
6 > 5 dan 4 > 3
6 . 4 > 5 . 3 (tepat)
Pembuktian, misalnya:
6 > 5 dan 4 > 3
(tepat)
- p + r > q + s
Pembuktian, misalnya:
6 > 5 dan 4 > 3
6 + 4 > 5 + 3 (tepat) - pr + qs > ps + qr
Pembuktian, misalnya:
6 > 5 dan 4 > 3
6 . 4 + 5 . 3 > 6 . 3 + 5 . 4 = 39 > 38 (tepat)
Jawaban : A
- > 5
- > 3
- > 2
- < 4
- < 7
PEMBAHASAN :
m > 4 –
n < 2
m – n > 2
Jawaban : C
- 6 dan 10
- 5 dan 13
- 9 dan 15
- 4 dan 8
- 7 dan 12
PEMBAHASAN :
3 < x < 5 , 2 < y < 8 , dan z = x + y
Maka:
3 < x < 5
2 < y < 8
2 + 3 < x + y < 5 + 8
5 < x + y < 13
Jawaban : B
- x > 6
- x > – 6
- x < 5
- 6 > x > 2
- x > -5
PEMBAHASAN :
4x – 9 > 15
4x > 15 + 9
4x > 24
x > 6
Jawaban : A
- {x | 3 < x < 6; x ∈ R}
- {x | -1 < x < 6; x ∈ R}
- {x | 2 < x < 9; x ∈ R}
- {x | x < 2 atau x > 9; x ∈ R}
- {x | x > 3 atau x < 6; x ∈ R}
PEMBAHASAN :
Himpunan penyelesaian dari:
x2 – 11x + 18 < 0
Menentukan nilai x, asumsikan sebagai persamaan yaitu:
x2 – 11x + 18 = 0
(x – 2)(x – 9) = 0
x = 2 dan x = 9
Maka himpunan penyelesaiannya yaitu: {x | 2 < x < 9; x ∈ R}
Jawaban : C

PEMBAHASAN :
x < (3x)2
x < 9x2
x – 9×2 < 0
x(1-9x) < 0
x = 0 dan x = 1/9
Maka semua bilangan positif x yang memenuhi adalah
Jawaban : E
- {x | x ≤ ½ atau x ≤ 3, x ∈ R}
- {x | 3 ≤ x ≤ ½ , x ∈ R}
- {x | x ≤ – ½ dan x ≥ 3, x ∈ R}
- {x | ½ ≤ x ≤ 3, x ∈ R}
- {x | – ½ ≤ x ≤ – 3, x ∈ R}
PEMBAHASAN :
Jika -2x2 + 7x – 3 ≥ 0
Ubah pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan sebagai berikut:
-2x2 + 7x – 3 = 0
(-2x + 1)(x – 3) = 0
x = ½ dan x = 3
Maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut yaitu:
{x | ½ ≤ x ≤ 3, x ∈ R}
Jawaban : D
- -3x < 22
- -8 < 3x < 22
- 8 < 3x < -22
- |-8 + 3x|< 22
- 8 < |3x < 22|
PEMBAHASAN :
|3x – 7|< 15
Berlaku |a|< b ↔ -b < a < b
Maka:
|3x – 7|< 15
⇒ -15 + 7 < 3x < 15 + 7
⇒ -8 < 3x < 22
Jawaban : B
terima kasih, sangat membantu saya 🙂
Terim kasih