Rangkuman Pertidaksamaan

Pengertian

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan > (lebih dari), < (kurang dari), ≥(lebih dari atau sama dengan), dan ≤ (kurang dari atau sama dengan)

Sifat-sifat Pertidaksamaan

1. Jika a dan b bilangan real maka berlaku a > b atau a = b atau a < b
2. Jika a > b dan b > c maka a > c
3. Jika a > b maka a + c
4. Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc dan > 
5. Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc dan < 
6. Jika m genap dan a > b maka:
   • a^m > b^m ,untuk a > 0 dan b > 0
   • a^m < b^m ,untuk a < 0 dan b < 0
7. Jika n ganjil dan a > b maka aⁿ > bⁿ
8. Jika a > b maka:
   • > untuk a dan b bertanda sama
   • <  untuk a dan b berbeda tanda

Interval Bilangan

yaitu penyelesaian dari suatu pertidaksamaan

Definit

Jenis Definit

1. Definit Positif
   Bentuk ax² + bx + c = 0 dikatakan definit positif jika a > 0 dan D < 0, Jika pertidakasamaan ax² + bx + c > 0 dalam kondisi definit positif, maka penyelesaiannya adalah semua x Î R.
2. Definit Negatif
   Bentuk ax² + bx + c = 0 dikatakan definit negatif jika a < 0 dan D < 0, Jika pertidakasamaan ax² + bx + c < 0 dalam kondisi definit negatif, maka penyelesaiannya adalah semua x Î R.

Sifat Definit

1. Untuk f(x) definit positif dan g(x) sembarang
   • f(x)g(x) > 0 → g(x) > 0
   • f(x)g(x) < 0 → g(x) < 0
   •  > 0 → g(x) > 0
   • < 0 → g(x) < 0
2. Untuk f(x) definit negatif dan g(x) sembarang
   • f(x)g(x) > 0 → g(x) < 0
   • f(x)g(x) < 0 → g(x) > 0
   •  > 0 → g(x) < 0
   •  < 0 → g(x) > 0

Jenis Pertidaksamaan

1. Pertidaksamaan linear
   ax + b < 0
   ax + b > 0
   ax + b ≤ 0
   ax + b ≥ 0
   Penyelesaian :
   Pisahkan variabel x diruas tersendiri terpisah dari konstanta.
2. Pertidaksamaan Kuadrat
   ax² + bx + c < 0
   ax² + bx + c > 0
   ax² + bx + c ≤ 0
   ax² + bx + c ≥ 0
   Penyelesaian :
   1. Jadikan ruas kanan = 0
   2. Faktorkan ruas kiri.
   3. Tetapkan nilai-nilai nolnya.
   4. Tentukan daerah penyelesaian!
      • Jika yang ditanya > 0 atau maka daerah penyelesaiannya adalah daerah (+)
      • Jika yang ditanya < 0 atau maka daerah penyelesaiannya adalah daerah (-)
3. Pertidaksamaan Harga Mutlak
   1. |f(x)| < a dan a > 0 menjadi bentuk –a < f(x) < a
   2. |f(x)| > a dan a > 0 menjadi bentuk f(x) < -a atau f(x) > a
   3. |f(x)| > |g(x)| menjadi bentuk (f(x)+g(x))(f(x) – g(x)) > 0
   4. a < |f(x)| < b dengan a dan b positif menjadi bentuk a < f(x) < b atau –b < f(x) < -a
   5. bentuk < c dengan c > 0 menjadi bentuk
      |a| < c|b|
      |a| < |cb|
      (a + cb) (a – cb) < 0

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

1. 1 ≤ x ≤ 3
2. x ≤ -2 atau x ≥ 1
3. 3 ≤ x ≤ -1
4. -2 ≥ x atau x ≥ 3
5. -1 ≥ x atau x ≥ 3

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ≥ 3 adalah …

1. {x| 1 ≤ x 2}
2. {x| 1 ≤ x ≤ 2}
3. {x|x < 1}
4. {x|x > 2 atau x ≤ 1}
5. {x|x > 2 atau x < 1}

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Nilai y yang memenuhi < 1 adalah ……

1. 0 < y ≤ 1
2. 0 < y < 1
3. y ≤ 0 atau y > 1
4. y < 0 atau y ≥ 1
5. y < 0 atau y > 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

semua nilai x yang memenuhi ≤ 0 adalah …

1. 1/3 < x < 1
2. 1/3 ≤ x < 1
3. x ≤ 1/3 atau x > 1
4. x < 1/3 atau x > 1
5. x < 1/3 atau x ≥ 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Semua nilai x yang memenuhi ≤ adalah….

1. x < 2/3 atau x > 2/3
2. 1/2 < x < 2/3 atau 2/3 < x < 1
3. x ≤ 1/2 atau x ≥ 1
4. 1/2 < x < 1
5. x < 2/3 atau x > 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Himpunan penyelesian dari ≥ 0

1. {x| x ≥ -1}
2. {x| x ≥ 4/3
3. {x| x ≤ 5/2}
4. {x| x ≥ 5/2}
5. {x| 4/3 ≤ x ≤ 5/2}

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Semua nilai x yang memenuhi > 2 adalah….

1. -2 ≤ x < -1
2. x > 1
3. -3/2 ≤ x ≤ -1
4. x > 2
5. -1 < x < 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Jika -2 ˂ a ˂ -1, maka semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ≥ 0 adalah …

1. x ˃ -4
2. x ˂ -2
3. -4 ˂ x ˂ 0
4. x ˂ -4 atau x ˃ 0
5. x ˂ -2 atau x ˃ 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

APenyelesaian pertidaksamaan adalah..

1. x < -1/2
2. x ≥ -1/2
3. x ≥ 2
4. x ≤ 2
5. x ≤ -1/2 atau x ≥ 2

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

1. {x ∈ R| x ≤ -3 atau x ≥ 3}
2. {x ∈ R| -3 ≤ x ≤ 3}
3. {x ∈ R| x ≤ -3}
4. {x ∈ R| x ≥ 3}
5. {x ∈ R| x > 3}

PEMBAHASAN :

Jawaban : A