Home / Contoh Soal Matematika / Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Lingkaran

Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Lingkaran

Rangkuman Lingkaran

Persamaaan lingkaran

Pengertian lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama atau tetap terhadap titik tertentu. Yang dimaksud titik tertentu adalah pusat lingkaran sedangkan jarak yang tetap adalah jari-jari lingkaran. Beberapa persamaan lingkaran:


Sehingga, untuk menentukan  persamaan lingkaran, langkah yang harus dilakukan adalah:

  1. Menentukan pusat dan jari—jarinya
  2. Menentukan persamaan lingkaran yang sesuai
    (x-a)2 + (y – b)2  = r2 atau x2 + y2 = r2

Persamaan Jarak pada Lingkaran

  1. Jarak titik (x1 , y1) ke titik (x2 , y2)
  1. Jarak titik (x1 , y1) ke garis Ax + By + C = 0

Persamaan Garis Singgung

Garis yang memotong lingkaran di satu titik disebut garis singgung. Ada tiga hal yang menentukan, yaitu:

  1. Apabila diketahui titik pada lingkaran
    Terdapat titik (x1 , y1) pada lingkaran, maka persamaan harus diubah sebagai berikut:

    Persamaannya menjadi:
  1. Apabila diketahui titik di luar lingkaran
    1. Tentukan persamaan garis kutub (polar) dari titik A(x1, y1) terhadap lingkaran.
    2. Melalui titik potong antara garis kutub
    3. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub (polar) dan
  1. Diketahui Gradien
    Apabila diketahui titik () dengan gradien m pada lingkaran.

Kedudukan Dua Lingkaran

Apabila jarak antara pusat-pusat lingkaran kita sebut d, untuk r1 dan r2 merupakan jari-jari pada masing-masing kedua lingkaran, maka kedua lingkaran akan:

  1. Saling lepas, sehingga d ˃ r1 + r2
  2. Saling bersinggungan di dalam lingkaran, sehingga d = |r1 – r2|
  3. Saling bersinggungan di luar lingkaran, sehingga d = r1 + r2
  4. Saling berpotongan, sehingga |r1 – r2| < d <  r1 + r2
  5. Lingkaran di dalam lingkaran, sehingga d = ˂ r1 – r2

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Soal No.1 (Matematika IPA SPMB 2005)
Jika a < 0 dan lingkaran x2 + y2 – ax + 2ay + 1 = 0 mempunyai jari-jari 2, maka koordinat pusat lingkaran tersebut adalah …
  1. (1,-2)
  2. (-1,2)
  3. (-1,-2)

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.2 (UN 2002)
Titik (a,b) adalah pusat lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Jadi 2a + b = …
  1. 0
  2. 2
  3. 3
  4. -1
  5. -2

PEMBAHASAN :
Diketahui: A = -2, B = 4
Dari persamaan x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0
Diperoleh:
a = -½A = -½ (-2) = 1
b = -½B = -½ (4) = -2
Sehingga, 2a + b = 2(1) + (-2) = 0
Jawaban : A

Soal No.3 (Matematika IPA SNMPTN 2012)
Lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 25 menyinggung garis y = 4 di titik …
  1. (-6,4)
  2. (6,4)
  3. (-1,4)
  4. (1,4)
  5. (5,4)

PEMBAHASAN :
Diketahui:
y = 4
Untuk mencari x:
(x + 6)2 + (y + 1)2 = 25
(x + 6)2 + (4 + 1)2 = 25
(x +6)2 + 25 = 25
(x + 6)2 = 0
x = -6
Sehingga lingkaran menyinggung garis y = 4 di titik (-6,4)
Jawaban : A

Soal No.4 (UN 1998)
Diketahui lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0  melalui titik A(5,-1). Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan …
  1. √7
  2. 3
  3. 4
  4. 2√6
  5. 9

PEMBAHASAN :
Diketahui titik A(5,-1) melalui persamaan:
x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0
x = 5, y = -1
52 + (-1)2 – 4(5) + 2(-1)  + C = 0
25 + 1 – 20 – 2 + C = 0
C = – 4
Maka persamaannya menjadi  x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
A = 4, B = 2, C = – 4

Jawaban : B

Soal No.5 (Saintek SBMPTN 2013)
Persamaan lingkaran dengan pusat (-1,1) dan menyinggung garis 3x – 4y + 12 = 0 adalah …
  1. x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0
  2. x2 + y2 + 2x – 2y – 7 = 0
  3. 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 17 = 0
  4. x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0
  5. 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 1 = 0

PEMBAHASAN :
Diketahui: A = 3, B = – 4, x1 = – 1, y1 = 1, C= 12
Jarak titik (-1, 1) ke garis 3x – 4y + 12 = 0:

Maka persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) → P (-1, 1) dan jari-jari 1 (d = r):
(x – a)2 + (y –b)2 = r2
(x – (–1))2 + (y – 1)2 = 12
(x+1)2 + (y –1)2 = 1
x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0
Jawaban : A

Soal No.6 (Matematika IPA UM UGM 2010)
Syarat agar garis ɑx + y = 0 menyinggung lingkaran dengan pusat (-1,3) dan jari-jari 1 adalah a = …
  1. 3/2
  2. 4/3
  3. 3/4
  4. 2/3
  5. 1/4

PEMBAHASAN :
Diketahui: P (-1,3), r = 1, A = a, B = 1

Jawaban : B

Soal No.7 (UN 2013)
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik  (-1,3) dan berdiameter √40 adalah …
  1. x2 + y2 – 6x – 2y = 0
  2. x2 + y2 + 2x – 6y = 0
  3. x2 + y2 – 2x – 2y = 0
  4. x2 + y2 + 2x – 6y = 0
  5. x2 + y2 – 2x – 6y = 0

PEMBAHASAN :
Diketahui:
a = -1, b = 3, d = √40
r = ½ d = ½ √40
Sehingga persamaan lingkarannya :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – (-1))2 + (y – 3)2 = (½ √40)2   
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 10
x2 + y2 + 2x – 6y = 0
Jawaban : E

Soal No.8 (Matematika IPA SPMB 2002)
Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan …
  1. (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
  2. (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
  3. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25
  4. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16
  5. (x – 4)2 + (y + 6)2 = 25

PEMBAHASAN :
Dari persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 diketahui A = – 4, B = 6
Koordinat pusat lingkaran P(- ½A ,-½ B) → P(2,-3)
r = jarak pusat lingkaran ke garis 3x – 4y + 7 = 0

Maka persamaan lingkaran yang pusatnya di titik (2,-3) dengan r = 5 adalah
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y – (- 3))2  = 52
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
Jawaban : A

Soal No.9 (EBTANAS 1993)
Lingkaran yang persamaannya x+ y2 – Ax – 10y + 4 = 0 Menyinggung  sumbu x. nilai A yang memenuhi adalah …
  1. -8 dan 8
  2. -6 dan 6
  3. -5 dan 5
  4. -4 dan 4
  5. -2 dan 2

PEMBAHASAN :
Persamaan lingkarannya:
x2 + y2 – Ax – 10y + 4 = 0
Dengan pusat P(- ½A ,-½ B) → P(½A, 5)
Diketahui menyinggung sumbu x maka r = 5

Jawaban : D

Soal No.10 (Matematika IPA SPMB 2003)
Jika lingkaran x2 + y2 – 4x – 6y + c = 0 yang berpusat di titik  (2,3) menyinggung garis y = 1 – x, maka nilai c = …
  1. 0
  2. 4
  3. 5
  4. 9
  5. 13

PEMBAHASAN :
Diketahui: P(2,3), x + y – 1 = 0
x2 + y2 – 4x – 6y + c = 0

Jawaban : C

Soal No.11 (UMPTN 2001)
Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah …
  1. x2 + y2 + 3x – 4y – 2 = 0
  2. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0
  3. x2 + y2 + 2x + 8y – 8 = 0
  4. x2 + y2 + 2x – 8y + 8 = 0
  5. x2 + y2 + 2x + 8y – 16 = 0

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Jari-jari adalah jarak pusat lingkaran titik  (x1 , y1) (1,4) ke garis 3x – 4y – 2 = 0

Sehingga persamaan lingkarannya:
(x – 1)2 + (y – 4)2 = 32
x2 + y2 – 2x – 8y + 8 = 0
Jawaban : D

Soal No.12 (Matematika IPA SNMPTN 2009)
Luas daerah yang diarsir pada lingkaran besar adalah 4 kali luas daerah lingkaran kecil.
Jika jari-jari lingkaran besar adalah , maka keliling lingkaran kecil adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.13 (UN 2006)
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x – y – 2 = 0 serta menyinggung sumbu x positif dan sumbu y negatif adalah …
  1. x2 + y2 – x + y – 1 = 0
  2. x2 + y2 – x – y – 1 = 0
  3. x2 + y2 + 2x – 2y – 1 = 0
  4. x2 + y2 – 2x + 2y – 1 = 0
  5. x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0

PEMBAHASAN :
Kita ilustrasikan dengan gambar di bawah ini:

Diketahui: Pusat lingkaran berada pada x – y – 2 = 0, misalkan P(a,a – 2)
r = BC = AB

a2 + 0 = 0 + a2 – 4a + 4
4a = 4
a = 1
Sehingga dengan P(a,a – 2) ® P(1,-1) dan r = 1 persamaan lingkarannya:
(x – 1)2 + (y + 1)2 = 12
x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0
Jawaban :E

Soal No.14 (Matematika IPA SPMB 2002)
Lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 10x + 2y + 17 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 + 8x – 22y – 7 = 0 …
  1. tidak berpotongan
  2. bersinggungan dalam
  3. bersinggungan luar
  4. berpotongan di dua titik
  5. mempunyai jari-jari sama

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.15 (UN 2007)
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7,-5) adalah …
  1. 4x – 3y = 43
  2. 4x + 3y = 23
  3. 3x – 4y = 41
  4. 10x + 3y = 55
  5. 4x – 5y = 53

PEMBAHASAN :
Diketahui:
x1 = 7, y1 = -5
A = 6,  B = 4
Persamaan untuk garis singgung:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x1x + y1y + A/2(x + x1) + B/2 (y + y1) + C = 0
7x – 5y – 3 (x + 7) + 2(y – 5) – 12 = 0
7x – 5y – 3x – 21 + 2y – 10 – 12 = 0
4x – 3y = 43
Jawaban : A

Soal No.16 (Matematika IPA SNMPTN 2012)
Lingkaran (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 memotong sumbu x di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos ∠APB = …
  1. 7/25
  2. 8/25
  3. 12/25
  4. 16/25
  5. 18/25

PEMBAHASAN :
Diketahui:
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25
P(3,4)
r = 5
Memotong sumbu x di titik A dan B → y = 0
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25
(x – 3)2 + (0 – 4)2 = 25
(x – 3)2 = 9
(x – 3)2 = (±3)2
x = 6 , x = 0

Jawaban : A

Soal No.17 (UN 2012)
Lingkaran  L = (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah …
  1. x = 2 dan x = -4
  2. x = 2 dan x = -2
  3. x = -2 dan x = 4
  4. x = -1 dan x = -4
  5. x = 8 dan x = -10

PEMBAHASAN :

  1. Diketahui garis y = 3
    (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9
    (x + 1)2 + (3-3)2 = 9
    (x + 1)2 = 9
    x + 1 = ± 3
    x = 2 dan x = -4
    Sehingga titik potong yang diperoleh (2,3) dan (-4,3)
  2. Garis singgung lingkaran di titik (2,3)
    (x + 1)(2 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
    3x + 3 = 9
    x = 2
  3. Garis singgung lingkaran di titik (-4,3)
    (x + 1)(-4 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
    -3x – 3 = 9
    x = -4

Jawaban : A

Soal No.18 (Matematika IPA SPMB 2001)
Persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan membagi lingkaran x2 + y2 + 4x + 3 = 0 atas dua bagian yang sama adalah …
  1. y = ½ x+1
  2. y = ½ x-1
  3. y = ½ x+2
  4. y = ½ x-2
  5. y = ½ x

PEMBAHASAN :
Persamaan lingkaran
x2 + y2 + 4x + 3 = 0
(x+2)2 + y2 = -3 + 4
(x+2)2 + y2 = 1
Diketahui: P (-2,0), r = 1
Menentukan gradien:
x – 2y = 10 → y = ½ x – 5 →m = ½
Maka persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan melalui (-2,0) adalah …
y – 0 = ½ (x+2)
y = ½ x+1
Jawaban : A

Soal No.19 (UN 2007)
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0 yang bergradien 10 adalah …
  1. y = 10x – 10 ± 2 √101
  2. y = 10x – 11 ± 2 √101
  3. y = -10x + 10 ± 2 √101
  4. y = -10x ± 2 √101
  5. y = 10x ± 2 √101

PEMBAHASAN :
Persamaan garis singgung x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0
Diketahui: Pusat (a,b) → P(1,-1), m = 10

Jawaban : B

Soal No.20 (Matematika IPA SPMB 2004)
Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada pada parabola y = x2 dan menyinggung sumbu x adalah …
  1. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 = 0
  2. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y – a2 = 0
  3. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a4 = 0
  4. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y – a4 = 0
  5. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 + a4 = 0

PEMBAHASAN :
Diketahui: y = x2 menyinggung sumbu x
Kita asumsikan pusat lingkaran di x = a → y = a2, sedangkan lingkaran menyinggung sumbu x → r = y = a2
(x – a) + (y – b)2 = r2
(x – a)2 + (y – a2)2 = (a2)2
x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 + a4 = a4
x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 = 0
Jawaban : A

Soal No.21 (UMPTN 2001)
Persamaan garis singgung pada lingkaran  2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y – 15 = 0 adalah …
  1. 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 58 = 0
  2. 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 20 = 0
  3. 12x + 5y – 20 = 0 atau 12x + 5y + 20 = 0
  4. 12x + 5y = – 20  atau 5x + 12y = 58
  5. 5x + 12y = – 20 atau 5x + 12y = 58

PEMBAHASAN :
Diketahui  persamaan Lingkaran:
2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 0, disederhanakan menjadi x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dengan P (1, 2), A = -2, B =4


Sehingga persamaan garis singgung lingkaran:

  1. 12y + 24 = – 5x + 5 + 39 → 5x + 12y – 20 = 0
  2. 12y + 24 = – 5x + 5 – 39 → 5x + 12y + 58 = 0

Jawaban : A

Soal No.22 (Matematika IPA SPMB 2005)
Lingkaran L menyinggung sumbu x, menyinggung lingkaran x2 + y2 = 4 dan melalui titik B(4,6). Persamaan L dapat ditulis sebagai …
  1. (x – 4)2 + (y + 6)2 = 144
  2. (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
  3. x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0
  4. x2 + y2 – 24x + 44 = 0
  5. x2 + y2 – 8x + 6y + 56 = 0

PEMBAHASAN :

Berdasarkan ilustrasi gambar: (OP)2 = a2 + b2
Persamaan (1)
(2 + b)2 = a2 + b2
b2 + 4b + 4 = a2 + b2
4b = a2 – 4

Persamaan (2)
(x – a)2 + (y – b)2 = b2 melalui titik (x,y) ® (4,6)
(4 – a)2 + (6 – b)2 = b2
(4 – a)2 + 36 – 12b = 0
Substitusikan persamaan (1) ke (2)
(4 – a)2 + 36 – 3(4b) = 0
a2 – 8a + 16 + 36 – 3(a2 – 4) = 0
a2 – 8a + 16 + 36 – 3a2 + 12 = 0
2 a2 + 8a – 64 = a2 + 4a – 32 = 0
(a – 4) (a + 8) = 0
a = 4 → a = -8
Untuk a = 4 → b = 3
4b = a2 – 4
4b = 42 – 4
4b = 12
b = 3
Sehingga persamaan Lingkarannya adalah:
P(a,b) → (4,3), sedangkan r = b = 3
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 32
x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0
Jawaban : C

Soal No.23 (UN 2004)
Persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 40 yang tegak lurus garis x + 3y + 5 = 0 adalah …
A. y = 3x + 1 dan y = 3x – 30
B. y = 3x + 2 dan y = 3x – 32
C. y = 3x – 2 dan y = 3x + 32
D. y = 3x + 5 dan y = 3x – 35
E. y = 3x – 5 dan y = 3x + 35

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.24 (Matematika IPA UM UGM 2013)
Titik pusat lingkaran yang menyinggung garis y = 2 di (3,2) dan menyinggung garis y = -x√3 + 2  adalah …
  1. (3,√3)
  2. (3,3√3)
  3. (3,2 +√3)
  4. (3,2 + 2√3)
  5. (3,2 + 3√3)

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.25 (UN 2000)
Garis singgung lingkaran x+  y2 = 25 di titik (-3 ,4) menyinggung lingkaran dengan pusat  (10,5) dan jari-jari r. Nilai r = …
  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 9
  5. 11

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan garis singgung  x2 + y2  = 25 di titik (-3 ,4)
x1 x  +  y1 y = r2
-3x + 4y = 25 → -3x + 4y – 25 = 0
Jarak titik P(10, 5) ke garis -3x + 4y – 25 = 0
x1 = 10, y1 = 5, C = -25, A = -3, B = 4

Jawaban : C

Soal No.26 (Matematika IPA SPMB 2005)
Diketahui suatu lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva dan melalui titik asal O(0,0). Jika absis titik pusat lingkaran tersebut adalah a maka persamaan garis singgung lingkaran melalui O adalah …
  1. y = -x
  2. y = – x√a
  3. y = – ax
  4. y = -2x√2
  5. y = -2ax

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.27 (UN 2003)
Salah satu garis singgung lingkaran yang bersudut 120° terhadap sumbu x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7,6) dan (1,-2) adalah …
  1. y = -x√3  +  4√3 + 12
  2. y = -x√3 – 4√3 + 8
  3. y = -x√3 + 4√3 – 4
  4. y = -x√3 – 4√3 – 8
  5. y  = -x√3  + 4√3 + 22

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.28 (SAINTEK SNMPTN 2014)
Misalkan diberikan titik A(1,0) dan B(0,1). Jika P bersifat |PA| : |PB| = √m : √n maka P terletak pada lingkaran dengan persamaan …
  1. (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx – my)
  2. (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx + my)
  3. (n + m)(x2 + y2 – 1) = (nx – my)
  4. (n + m)(x2 + y2 – 1) = (mx – ny)
  5. (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx – my)

PEMBAHASAN :
Diketahui: A(1,0) dan B(0,1)

((x – 1)2 + y2)(x2 + (y – 1)2 ) = m : n
m(x2 + (y – 1)2) = n ((x – 1)2 + y2)
m(x2 + y2–2y + 1) = n(x2 – 2x +1+ y2)
mx2 + my2 – 2my + m = nx2 – 2nx +n + ny2
2(nx – my) = (n – m)(x2 + y2 + 1)
Jawaban : E

Soal No.29 (EBTANAS 2001)
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran dari titik (0,0) pada lingkaran (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5 adalah …
  1. x – y = 0
  2. 11x + y = 0
  3. 2x + 11y = 0
  4. 11x – y = 0
  5. 11x – 2y = 0

PEMBAHASAN :
Pada titik (0,0), persamaan garis polar:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 → (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2
Untuk mencari y:
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
(x – 3)(0 – 3)+(y – 4)(0 – 4) = 5
(x – 3)( – 3)+(y – 4)( – 4) = 5
– 3x +9 – 4y +16 = 5
3x+ 4y –20 = 0


Jawaban : E

Lihat Juga

Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Barisan & Deret

Rangkuman Barisan & Deret Barisan dan Deret Aritmetika Barisan Aritmetika Barisan aritmetika adalah suatu barisan …

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

error: