Rangkuman Lingkaran Kelas XI/11
Persamaaan lingkaran
Pengertian lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama atau tetap terhadap titik tertentu. Yang dimaksud titik tertentu adalah pusat lingkaran sedangkan jarak yang tetap adalah jari-jari lingkaran. Beberapa persamaan lingkaran:
Sehingga, untuk menentukan persamaan lingkaran, langkah yang harus dilakukan adalah:
- Menentukan pusat dan jari—jarinya
- Menentukan persamaan lingkaran yang sesuai
(x-a)2 + (y – b)2 = r2 atau x2 + y2 = r2
Persamaan Jarak pada Lingkaran
Persamaan Garis Singgung
Garis yang memotong lingkaran di satu titik disebut garis singgung. Ada tiga hal yang menentukan, yaitu:
- Apabila diketahui titik pada lingkaran
Terdapat titik (x1 , y1) pada lingkaran, maka persamaan harus diubah sebagai berikut:
Persamaannya menjadi:
- Apabila diketahui titik di luar lingkaran
- Tentukan persamaan garis kutub (polar) dari titik A(x1, y1) terhadap lingkaran.
- Melalui titik potong antara garis kutub
- Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub (polar) dan
Kedudukan Dua Lingkaran
Apabila jarak antara pusat-pusat lingkaran kita sebut d, untuk r1 dan r2 merupakan jari-jari pada masing-masing kedua lingkaran, maka kedua lingkaran akan:
- Saling lepas, sehingga d ˃ r1 + r2
- Saling bersinggungan di dalam lingkaran, sehingga d = |r1 – r2|
- Saling bersinggungan di luar lingkaran, sehingga d = r1 + r2
- Saling berpotongan, sehingga |r1 – r2| < d < r1 + r2
- Lingkaran di dalam lingkaran, sehingga d = ˂ r1 – r2
Contoh Soal & Pembahasan Lingkaran Kelas XI/11
- 24
- 36
- 48
- 60
- 72
PEMBAHASAN :
a > 3, b > 3
Jarak P(a,b) ke garis 3x + 4y – 12 = 0 adalah 12 (r = 12)
⇒
⇒60 = |3a + 4b – 12|
⇒(3a + 4b – 12 + 60).(3a + 4b -12 – 60) = 0
⇒(3a + 4b + 48).(3a + 4b – 72) = 0
⇒ 3a + 4b = 72
Jawaban E
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
PEMBAHASAN :
Dari lingkaran
x2 + y2 − ax − ay + a = 0
Didapat:
A = −a
B = −a
C = a
Menentukan a dari rumus jari-jari lingkaran:
x 4
a2 = 2a2 − 4a
a2 − 4a = 0
a(a − 4) = 0
a = 0 atau a = 4
Jawaban D
PEMBAHASAN :
Lingkaran I
L1 ≡ x2 + y2 = 2
Titik pusatnya P1 (0,0)
dengan r1 =
l1 ≡ x1.x + y1.y = 2
⇒ 1.x + (-1).y = 2
⇒ x – y = 2……….persamaan 1
m1 = – (1/-1) = 1
l2 : m1.m2 = -1
1.m2 = -1
m2 = -1
l2 ≡ y = m2.x ± r
⇒ y = -1. x ± 2
⇒ y = -x ± 2
⇒ x + y = 2……….. persamaan 2
atau
x + y = – 2
Menentukan titik potong l1 dan l2
x – y = 2
x + y = 2
dari kedua persamaan di peroleh
x = 1 +
y = – 1
(1 + ,
– 1)
Jawaban A
- (1,-2)
- (-1,2)
- (-1,-2)
- 0
- 2
- 3
- -1
- -2
PEMBAHASAN :
Diketahui: A = -2, B = 4
Dari persamaan x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0
Diperoleh:
a = -½A = -½ (-2) = 1
b = -½B = -½ (4) = -2
Sehingga, 2a + b = 2(1) + (-2) = 0
Jawaban : A
- (-6,4)
- (6,4)
- (-1,4)
- (1,4)
- (5,4)
PEMBAHASAN :
Diketahui:
y = 4
Untuk mencari x:
(x + 6)2 + (y + 1)2 = 25
(x + 6)2 + (4 + 1)2 = 25
(x +6)2 + 25 = 25
(x + 6)2 = 0
x = -6
Sehingga lingkaran menyinggung garis y = 4 di titik (-6,4)
Jawaban : A
- √7
- 3
- 4
- 2√6
- 9
PEMBAHASAN :
Diketahui titik A(5,-1) melalui persamaan:
x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0
x = 5, y = -1
52 + (-1)2 – 4(5) + 2(-1) + C = 0
25 + 1 – 20 – 2 + C = 0
C = – 4
Maka persamaannya menjadi x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
A = 4, B = 2, C = – 4
Jawaban : B
- x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0
- x2 + y2 + 2x – 2y – 7 = 0
- 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 17 = 0
- x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0
- 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 1 = 0
PEMBAHASAN :
Diketahui: A = 3, B = – 4, x1 = – 1, y1 = 1, C= 12
Jarak titik (-1, 1) ke garis 3x – 4y + 12 = 0:
Maka persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) → P (-1, 1) dan jari-jari 1 (d = r):
(x – a)2 + (y –b)2 = r2
(x – (–1))2 + (y – 1)2 = 12
(x+1)2 + (y –1)2 = 1
x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0
Jawaban : A
- 3/2
- 4/3
- 3/4
- 2/3
- 1/4
PEMBAHASAN :
Diketahui: P (-1,3), r = 1, A = a, B = 1
Jawaban : B
- x2 + y2 – 6x – 2y = 0
- x2 + y2 + 2x – 6y = 0
- x2 + y2 – 2x – 2y = 0
- x2 + y2 + 2x – 6y = 0
- x2 + y2 – 2x – 6y = 0
PEMBAHASAN :
Diketahui:
a = -1, b = 3, d = √40
r = ½ d = ½ √40
Sehingga persamaan lingkarannya :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – (-1))2 + (y – 3)2 = (½ √40)2
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 10
x2 + y2 + 2x – 6y = 0
Jawaban : E
- (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
- (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
- (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25
- (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16
- (x – 4)2 + (y + 6)2 = 25
PEMBAHASAN :
Dari persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 diketahui A = – 4, B = 6
Koordinat pusat lingkaran P(- ½A ,-½ B) → P(2,-3)
r = jarak pusat lingkaran ke garis 3x – 4y + 7 = 0
Maka persamaan lingkaran yang pusatnya di titik (2,-3) dengan r = 5 adalah
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y – (- 3))2 = 52
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
Jawaban : A
- -8 dan 8
- -6 dan 6
- -5 dan 5
- -4 dan 4
- -2 dan 2
PEMBAHASAN :
Persamaan lingkarannya:
x2 + y2 – Ax – 10y + 4 = 0
Dengan pusat P(- ½A ,-½ B) → P(½A, 5)
Diketahui menyinggung sumbu x maka r = 5
Jawaban : D
- 0
- 4
- 5
- 9
- 13
PEMBAHASAN :
Diketahui: P(2,3), x + y – 1 = 0
x2 + y2 – 4x – 6y + c = 0
Jawaban : C
- x2 + y2 + 3x – 4y – 2 = 0
- x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0
- x2 + y2 + 2x + 8y – 8 = 0
- x2 + y2 + 2x – 8y + 8 = 0
- x2 + y2 + 2x + 8y – 16 = 0
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Jari-jari adalah jarak pusat lingkaran titik (x1 , y1) (1,4) ke garis 3x – 4y – 2 = 0
Sehingga persamaan lingkarannya:
(x – 1)2 + (y – 4)2 = 32
x2 + y2 – 2x – 8y + 8 = 0
Jawaban : D

- x2 + y2 – x + y – 1 = 0
- x2 + y2 – x – y – 1 = 0
- x2 + y2 + 2x – 2y – 1 = 0
- x2 + y2 – 2x + 2y – 1 = 0
- x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0
PEMBAHASAN :
Kita ilustrasikan dengan gambar di bawah ini:
Diketahui: Pusat lingkaran berada pada x – y – 2 = 0, misalkan P(a,a – 2)
r = BC = AB
a2 + 0 = 0 + a2 – 4a + 4
4a = 4
a = 1
Sehingga dengan P(a,a – 2) → P(1,-1) dan r = 1 persamaan lingkarannya:
(x – 1)2 + (y + 1)2 = 12
x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0
Jawaban :E
- tidak berpotongan
- bersinggungan dalam
- bersinggungan luar
- berpotongan di dua titik
- mempunyai jari-jari sama
- 4x – 3y = 43
- 4x + 3y = 23
- 3x – 4y = 41
- 10x + 3y = 55
- 4x – 5y = 53
PEMBAHASAN :
Diketahui:
x1 = 7, y1 = -5
A = 6, B = 4
Persamaan untuk garis singgung:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x1x + y1y + A/2(x + x1) + B/2 (y + y1) + C = 0
7x – 5y – 3 (x + 7) + 2(y – 5) – 12 = 0
7x – 5y – 3x – 21 + 2y – 10 – 12 = 0
4x – 3y = 43
Jawaban : A
- 7/25
- 8/25
- 12/25
- 16/25
- 18/25
PEMBAHASAN :
Diketahui:
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25
P(3,4)
r = 5
Memotong sumbu x di titik A dan B → y = 0
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25
(x – 3)2 + (0 – 4)2 = 25
(x – 3)2 = 9
(x – 3)2 = (±3)2
x = 6 , x = 0
Jawaban : A
- x = 2 dan x = -4
- x = 2 dan x = -2
- x = -2 dan x = 4
- x = -1 dan x = -4
- x = 8 dan x = -10
PEMBAHASAN :
- Diketahui garis y = 3
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 9
(x + 1)2 + (3-3)2 = 9
(x + 1)2 = 9
x + 1 = ± 3
x = 2 dan x = -4
Sehingga titik potong yang diperoleh (2,3) dan (-4,3) - Garis singgung lingkaran di titik (2,3)
(x + 1)(2 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
3x + 3 = 9
x = 2 - Garis singgung lingkaran di titik (-4,3)
(x + 1)(-4 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
-3x – 3 = 9
x = -4
Jawaban : A
- y = ½ x+1
- y = ½ x-1
- y = ½ x+2
- y = ½ x-2
- y = ½ x
PEMBAHASAN :
Persamaan lingkaran
x2 + y2 + 4x + 3 = 0
(x+2)2 + y2 = -3 + 4
(x+2)2 + y2 = 1
Diketahui: P (-2,0), r = 1
Menentukan gradien:
x – 2y = 10 → y = ½ x – 5 →m = ½
Maka persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan melalui (-2,0) adalah …
y – 0 = ½ (x+2)
y = ½ x+1
Jawaban : A
- y = 10x – 10 ± 2 √101
- y = 10x – 11 ± 2 √101
- y = -10x + 10 ± 2 √101
- y = -10x ± 2 √101
- y = 10x ± 2 √101
PEMBAHASAN :
Persamaan garis singgung x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0
Diketahui: Pusat (a,b) → P(1,-1), m = 10
Jawaban : B
- x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 = 0
- x2 + y2 – 2ax – 2a2 y – a2 = 0
- x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a4 = 0
- x2 + y2 – 2ax – 2a2 y – a4 = 0
- x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 + a4 = 0
PEMBAHASAN :
Diketahui: y = x2 menyinggung sumbu x
Kita asumsikan pusat lingkaran di x = a → y = a2, sedangkan lingkaran menyinggung sumbu x → r = y = a2
(x – a) + (y – b)2 = r2
(x – a)2 + (y – a2)2 = (a2)2
x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 + a4 = a4
x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 = 0
Jawaban : A
- 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 58 = 0
- 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 20 = 0
- 12x + 5y – 20 = 0 atau 12x + 5y + 20 = 0
- 12x + 5y = – 20 atau 5x + 12y = 58
- 5x + 12y = – 20 atau 5x + 12y = 58
PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan Lingkaran:
2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 0, disederhanakan menjadi x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dengan P (1, 2), A = -2, B =4
Sehingga persamaan garis singgung lingkaran:
- 12y + 24 = – 5x + 5 + 39 → 5x + 12y – 20 = 0
- 12y + 24 = – 5x + 5 – 39 → 5x + 12y + 58 = 0
Jawaban : A
- (x – 4)2 + (y + 6)2 = 144
- (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
- x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0
- x2 + y2 – 24x + 44 = 0
- x2 + y2 – 8x + 6y + 56 = 0
PEMBAHASAN :
Berdasarkan ilustrasi gambar: (OP)2 = a2 + b2
Persamaan (1)
(2 + b)2 = a2 + b2
b2 + 4b + 4 = a2 + b2
4b = a2 – 4
Persamaan (2)
(x – a)2 + (y – b)2 = b2 melalui titik (x,y) ® (4,6)
(4 – a)2 + (6 – b)2 = b2
(4 – a)2 + 36 – 12b = 0
Substitusikan persamaan (1) ke (2)
(4 – a)2 + 36 – 3(4b) = 0
a2 – 8a + 16 + 36 – 3(a2 – 4) = 0
a2 – 8a + 16 + 36 – 3a2 + 12 = 0
2 a2 + 8a – 64 = a2 + 4a – 32 = 0
(a – 4) (a + 8) = 0
a = 4 → a = -8
Untuk a = 4 → b = 3
4b = a2 – 4
4b = 42 – 4
4b = 12
b = 3
Sehingga persamaan Lingkarannya adalah:
P(a,b) → (4,3), sedangkan r = b = 3
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 32
x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0
Jawaban : C
- y = 3x + 1 dan y = 3x – 30
- y = 3x + 2 dan y = 3x – 32
- y = 3x – 2 dan y = 3x + 32
- y = 3x + 5 dan y = 3x – 35
- y = 3x – 5 dan y = 3x + 35
- (3,√3)
- (3,3√3)
- (3,2 +√3)
- (3,2 + 2√3)
- (3,2 + 3√3)
- 3
- 5
- 7
- 9
- 11
PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan garis singgung x2 + y2 = 25 di titik (-3 ,4)
x1 x + y1 y = r2
-3x + 4y = 25 → -3x + 4y – 25 = 0
Jarak titik P(10, 5) ke garis -3x + 4y – 25 = 0
x1 = 10, y1 = 5, C = -25, A = -3, B = 4
Jawaban : C
- y = -x
- y = – x√a
- y = – ax
- y = -2x√2
- y = -2ax
- y = -x√3 + 4√3 + 12
- y = -x√3 – 4√3 + 8
- y = -x√3 + 4√3 – 4
- y = -x√3 – 4√3 – 8
- y = -x√3 + 4√3 + 22
- (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx – my)
- (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx + my)
- (n + m)(x2 + y2 – 1) = (nx – my)
- (n + m)(x2 + y2 – 1) = (mx – ny)
- (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx – my)
PEMBAHASAN :
Diketahui: A(1,0) dan B(0,1)
((x – 1)2 + y2)(x2 + (y – 1)2 ) = m : n
m(x2 + (y – 1)2) = n ((x – 1)2 + y2)
m(x2 + y2–2y + 1) = n(x2 – 2x +1+ y2)
mx2 + my2 – 2my + m = nx2 – 2nx +n + ny2
2(nx – my) = (n – m)(x2 + y2 + 1)
Jawaban : E
- x – y = 0
- 11x + y = 0
- 2x + 11y = 0
- 11x – y = 0
- 11x – 2y = 0
PEMBAHASAN :
Pada titik (0,0), persamaan garis polar:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 → (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2
Untuk mencari y:
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
(x – 3)(0 – 3)+(y – 4)(0 – 4) = 5
(x – 3)( – 3)+(y – 4)( – 4) = 5
– 3x +9 – 4y +16 = 5
3x+ 4y –20 = 0
- x2 + y2 – 3x + 6y – 1 = 0
- 2x2 + 2y2 – 6x + 28y – 10 = 0
- x2 + y2 + 4ax + 4by – 4ab = 0
PEMBAHASAN :
- x2 + y2 – 3x + 6y – 1 = 0
Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh:A = – 3 , B = 6 , C = – 1Menentukan pusat lingkaran, sebagai berikut:
Menentukan jari-jari lingkaran, sebagai berikut:
- 2x2 + 2y2 – 6x + 28y – 10 = 0
Bagi persamaan dengan 2, diperoleh sebagai berikut:x2 + y2 – 3x + 14y – 5 = 0Berdasarkan persamaan tersebut, diperoleh:
A = – 3 , B = 14 , C = – 5
- x2 + y2 + 4ax + 4by – 4ab = 0
Berdasarkan persamaan tersebut, diperoleh:
A = 4a , B = 4b , C = – 4ab
Menentukan pusat lingkaran, sebagai berikut:
Menentukan jari-jari lingkaran, sebagai berikut:
- Berpusat di (3,-5) dan melalui titik (-2,7)
- Berpusat di (8,4) dan menyinggung sumbu y
- Berpusat di (-2,-3) dan menyinggung garis 3x + 4y – 7 = 0
- Pusatnya pada garis y = x – 5 dan menyinggung sumbu x di titik (6,0)
PEMBAHASAN :
- Jari-jari lingkaran = r = jarak dari titik (a,b) = (3,-5) ke titik (x,y) = (-2,7)
Persamaan untuk lingkaran yang berpusat di (a,b) dan jari-jari di r, sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Berpusat di (3,-5) dan r = 13
(x – 3)2 + (y – (-5))2 = 132
x2 – 6x + 9 + y2 + 10 y + 25 = 169
x2 + y2 – 6x + 10y – 135 = 0 - Titik pusat di (8,4) dan menyinggung sumbu y
Diketahui:
Lingkaran menyinggung sumbu y sehingga jari jari = absis = r = 8 sebagai titik pusat lingkarannya.
Maka persamaan lingkaran sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 8)2 + (y – 4)2 = 82
x2 – 16x + 64 + y2 – 8y + 16 = 64
x2 + y2 – 16x – 8y + 16 = 0 - Berpusat di (-2,-3) dan menyinggung garis 3x + 4y – 7 = 0
Rumus jari-jari yang menyinggung garis sebagai berikut:
Maka persamaan yang terbentuk adalah:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – (-2))2 + (y – (-3))2 = 52
(x + 2)2 + (y + 3)2 = 52
x2 + 4x + y2 + 6y + 9 = 25
x2 + y2 + 4x + 6y – 16 = 0 - Pusatnya pada garis y = x – 5 dan menyinggung sumbu x di titik (6,0)
y = x – 5 , lingkaran menyinggung sumbu x di titik (6,0)
x = 6 → y = 6 – 5 = 1
Maka pusat lingkarannya diperoleh (6,1), jari-jari = r = ordinat titik pusat = 1
Persamaan lingkarannya sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 6)2 + (y – 1)2 = 12
x2 – 12x + 36 + y2 – 2y + 1 = 1
x2 + y2 – 12x – 2y + 36

- x2 + y2 – 8x – 8y + 3 = 0
- x2 + y2 – 8x – 8 = 0
- x2 + y2 – 8x + 8y – 10 = 0
- x2 + y2 + 6x – 9 = 0
- x2 + y2 + x + 8 = 0
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Titik pusat (3,0)
Diameter = d = 4
Jari-jari = r = 2
Maka persamaan lingkarannya sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 4)2 + (y – 0)2 = (2)2
x2 – 8x + y2 = 8
x2 + y2 – 8x – 8 = 0
Jawaban B
- x2 + y2 + x – 4y + 8 = 0
- x2 + y2 – 12x + 7y + 4 = 0
- x2 + y2 – 10x – 4y + 4 = 0
- x2 + 3y2 + 9x + 4y + 10 = 0
- 2x2 + y2 – 10x – 4y – 4 = 0
PEMBAHASAN :
Menentukan jari-jari lingkaran:
Titik pusat P (5,2)
Persamaan garis: 6x + 8y + 4 = 0
Maka persamaan lingkarannya sebagai berikut:
(a,b) → (5,2)
r = 5
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 5)2 + (y – 2)2 = 52
x2 – 10x + 25 + y2 – 4y + 4 = 25
x2 + y2 – 10x – 4y + 4 = 0
Jawaban C
- x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0
- x2 + y2 + 2x + 6y + 2 = 0
- x2 + y2 + 4x – y – 4 = 0
- x2 + y2 + 5x – 6y + 4 = 0
- x2 + y2 + 4x – 6y + 6 = 0
PEMBAHASAN :
Titik pusat (-2,3)
Persamaan garis 5x – 12y + 7 = 0
Persamaan lingkarannya sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
a = -2 , b = 3 , r = 3
(x – (-2))2 + (y – 3)2 = 32
x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 9
x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0
Jawaban A

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Titik pusat (6,8)
r = 10
memotong sumbu x → y = 0
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 6)2 + (y – 8)2 = 102
(x – 6)2 + (0 – 8)2 = 102
x2 – 12x + 36 + 64 = 100
(x – 6)2 = 100 – 64
(x – 6)2 = 36
x – 6 = ± 6
x1 dan x2 = 12
P (0,0) dan Q (15,0) → PQ = 12
Jawaban B
- 3x + 2y = 20
- 2x + 5y = 10
- 5x – 2y = 20
- 2x – 5y = 20
- 3x + 2y = 10
PEMBAHASAN :
Persamaan lingkaran: x2 + y2 = 20
Titik singgung: (2, -5) → (x1 , y1)
Maka persamaan garis singgung lingkarannya sebagai berikut:
x . x1 + y . y1 = 20
2x – 5y = 20
Jawaban D
- 3x + 2y – 10 = 0
- 3x – 5y + 9 = 0
- 5x + 2y + 9 = 0
- x – 3y – 10 = 0
- 3x – 2y – 9 = 0
PEMBAHASAN :
Persamaan garis singgung lingkaran:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x.x1 + y.y1 + ½ A (x + x1 ) + ½ B (y + y1 ) + C = 0
Maka persamaannya menjadi:
x2 + y2 – 4x – 10y + 16 = 0 di titik (5,3) → (x1 , y1 )
x.x1 + y.y1 + ½ A (x + x1 ) + ½ B (y + y1 ) + C = 0
5x + 3y + ½ . – 4(x + 5) + ½ . – 10(y + 3) + 16 = 0
5x + 3y – 2(x + 5) – 5(y + 3) + 16 = 0
5x + 3y – 2x – 10 – 5y – 15 + 16 = 0
3x – 2y – 9 = 0
Jawaban E
- 14 x – 2y = 16
x + 2y = 16
x – 2y = 12
- 4 x +
y = 14
- – 24 x – 2y = 10
PEMBAHASAN :
Persamaan: x2 + y2 = 16
Titik yang dilalui: P(0,8)
x.x1 + y.y1 = 16
0.x1 + 8.y1 = 16
y1 = 2
Menentukan x1 dengan persamaan x1 2 + y1 2 = 16
Substitusikan y1 = 2
x1 2 + y1 2 = 16
x1 2 + 2 = 16
x1 2 = 14
x1 =
Maka persamaan garis singgung lingkaran, sebagai berikut:
±x + 2y = 16
Jawaban B
- (2,-3)
- (3,1)
- (-5,2)
- (3,9)
- (4,1)
PEMBAHASAN :
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 61 → x = 3
Maka:
(3 + 2)2 + (y – 3)2 = 61
25 + (y – 3)2 = 61
(y – 3)2 = 36
y – 3 = 6
y = 9
Maka titik singgungnya adalah (3,9)
Jawaban D
PEMBAHASAN :
x2 + y2 = 36 → r = = 6
y + 2x – 3 = 0
y = -2x + 3
m1 = – 2
m1 x m2 = -1
-2 x m2 = -1
m2 = ½
Jawaban B
- y = x ± 3
- y = 2x ± 2
- y = -2x ± 3
- y = 2x ± 3
- y = 2x ± 2
PEMBAHASAN :
Jawaban D
- y – 3x = ± 3
– 1
- 3y + x = ± 2
– 100
- 3y – x = ± 3
– 11
- 2y – 3x = ± 3
- y – 5x = ± 3
– 15
PEMBAHASAN :
x2 + y2 – 4x + 6y – 14 = 0
Menentukan titik pusat dan jari-jari, sebagai berikut:
Titik pusat = (2, -3)
Jari-jari = r = 3
Menentukan gradien garis y = 5 – 3x
Berlaku untuk persamaan garis yang tegak lurus m1 x m2 = – 1
y = 5 – 3x → m1 = – 3
m1 x m2 = – 1
-3 x m2 = -1
m2 = 1/3
Maka persamaan garis singgungnya, sebagai berikut:
Titik pusat (2,-3) → (a,b) , r = 3 , m = 1/3
3y + 9 = x – 2 ± 3
3y – x = ± 3 – 11
Jawaban C
- y = 2x
- y = x
- y = – 3x
- y = ½ x
- y = -x
PEMBAHASAN :
Titik pusat pada kurva y = – x , maka:
- Absis titik pusat x = p
- Ordinat titik pusat y = – x → y = – p
Titik pusat (p, – p) → (x,y)
Titik yang dilalui (0,0) → (a,b)
Menentukan gradien garis, sebagai berikut:
Gradien pada garis lurus dengan koordinat titik pusat (p,-p)
m1 . m2 = – 1
-1 . m2 = – 1
m2 = 1
Maka persamaan garis singgungnya yaitu:
y = mx
y = x
Jawaban B

- 8 m
- 10 m
- 12 m
- 18 m
- 22 m
PEMBAHASAN :
Panjang OD = Panjang AB = 10 m
Pada ΔOCD siku-siku di C, maka:
Jawaban A
- 10 cm
- 8 cm
- 12 cm
- 16 cm
- 20 cm
PEMBAHASAN :
Jawaban C

PEMBAHASAN :
Jawaban A
- Bersinggungan
- Berpotongan di dua titik
PEMBAHASAN :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + y2 – 8x – By + 6 = 0
y = 0
x2 + 02 – Ax – 12.0 + 6 = 0
x2 – Ax + 6 = 0
- Bersinggungan
D = 0
D = b2 – 4ac
x2 – Ax + 6 = 0
a = 1 , b = – A , c = 6
(-A)2 – 4. 1 . 6 = 0
A2 – 24 = 0
A2 = 24
A = ± 2
Nilai A yang memenuhi 2atau – 2
- Berpotongan di dua titik
D > 0
D = b2 – 4ac
x2 – Ax + 6 = 0
a = 1 , b = – A , c = 6
(-A)2 – 4. 1 . 6 > 0
A2 – 24 > 0
A2 > 24
A > ± 2
- Bersinggungan
- Berpotongan
- Tidak berpotongan
PEMBAHASAN :
Persamaan 1: y = ax + 4
Persamaan 2: x2 + y2 = 2
Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2, sebagai berikut:
x2 + (ax + 4)2 = 2
x2 + a2x2 + 8ax + 16 = 2
(1 + a2)x2 + 8ax + 14 = 0
- Bersinggungan
(1 + a2)x2 + 8ax + 14 = 0
a = 1 + a2
b = 8a
c = 14
D = 0
D = b2 – 4ac
(8a)2 – 4. (1 + a2) .(14) = 0
64a2 – 56 – 56a2 = 0
8a2 – 56 = 0
8a2 = 56
a2 = 7
Maka nilai a yang memenuhi: a = –atau a =
- Berpotongan
D ≥ 0
D = b2 – 4ac
(8a)2 – 4. (1 + a2) .(14) ≥ 0
64a2 – 56 – 56a2 ≥ 0
8a2 – 56 ≥ 0
8a2 ≥ 56
a2 ≥ 7
a ≥ ±
Maka nilai a yang memenuhi: a ≤ –atau a ≥
- Tidak berpotongan
D < 0
D = b2 – 4ac
(8a)2 – 4. (1 + a2) .(14) < 0
64a2 – 56 – 56a2 < 0
8a2 – 56 < 0
8a2 < 56
a2 < 7
a < ±
Maka nilai yang memenuhi: –< a <
- L1 : x2 + y2 – 8x + 2y + 15 = 0 dan L2 : x2 + y2 + 12x – 20y – 8 = 0
- L1 : x2 + y2 – 10x + 9 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 8y – 20 = 0
- L1 : x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0
- L1 : x2 + y2 – 24x – 6y + 32 = 0 dan L2 : x2 + y2 + 8x – 10y + 16 = 0
PEMBAHASAN :
- L1 : x2 + y2 – 8x + 2y + 15 = 0
L2 : x2 + y2 + 12x – 20y – 8 = 0
Titik pusat lingkaran:
Jari jari lingkaran:
Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:
Maka hubungan kedua lingkaran tersebut adalah:
L1 dan L2 saling lepas
- L1 : x2 + y2 – 10x + 9 = 0
L2 : x2 + y2 – 8y – 20 = 0
Titik pusat lingkaran:
Jari jari lingkaran:
Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:
Hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2 berpotongan
- L1 : x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0
L2 : x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0
Titik pusat lingkaran:
Jari jari lingkaran:
Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:
Hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2 berpotongan
- L1 : x2 + y2 – 24x – 6y + 32 = 0
L2 : x2 + y2 + 8x – 10y + 16 = 0
Titik pusat lingkaran:
Jari jari lingkaran:
Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:
Maka hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2 bersinggungan di luar
- x2 + y2 + 4x + 6y + 5 = 0
- x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0
- x2 – y2 + 4x + 6y – 5 = 0
- x2 – y2 – 6x + 6y – 3 = 0
- x2 + y2 – 4x + 6y – 5 = 0
PEMBAHASAN :
Pusat lingkaran di (2,3) → (a,b)
Jari-jari lingkaran = r = 4
Rumus yang berlaku sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 42
x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 16
x2 + y2 – 4x – 6y + 13 – 16 = 0
x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0
Jawaban B
- x2 + y2 – 8x – 6y + 10 = 0
- x2 + y2 + 6x + 8y – 2 = 0
- x2 – y2 – 6x + 8y = 0
- x2 + y2 – 6x – 8y = 0
- x2 – y2 + 6x – 8y = 0
PEMBAHASAN :
Titik pusat lingkaran (3,4) → (a,b)
Rumus yang berlaku sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 3)2 + (y – 4)2 = r2
Titik yang di lalui lingkaran (7,7) → (x,y)
(x – 3)2 + (y – 4)2 = r2
(7 – 3)2 + (7 – 4)2 = r2
42 + 32 = r2
16 + 9 = r2
25 = r2
5 = r
Maka, menentukan persamaan lingkarannya sebagai berikut:
(x – 3)2 + (y – 4)2 = r2
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 52
x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 52
x2 + y2 – 6x – 8y + 25 = 25
x2 + y2 – 6x – 8y = 0
Jawaban D
- (3,4) dan 6
- (2,5) dan 8
- (1,4) dan 4
- (3,2) dan 10
- (1,2) dan 5
PEMBAHASAN :
x2 + y2 – 6x – 8x – 11 = 0
A = – 6, B = – 8, C = – 11
Menentukan pusat lingkaran:
Menentukan jari-jari lingkaran:
Maka titik pusat lingkaran (3,4) dan jari-jari lingkaran = 6
Jawaban A
- 2x – 5y + 3 = 0
- 3x + 2y – 3 = 0
- x + 9y + 3 = 0
- 3x – 2y + 1 = 0
- 3x + 5y + 3 = 0
PEMBAHASAN :
x2 + y2 – 2x + 6y + 1 = 0 → A = -2, B = 6, C = 1
Titik singgung (4,2) → (x1 , y1)
Rumus yang berlaku:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b(y1+ y) + c = 0
x1.x + y1.y – ½ .2(x1 + x) + ½ .6(y1+ y) + c = 0
4x + 2y – (4 + x) + 3( 2 + y) + 1 = 0
4x + 2y – 4 – x + 6 + 3y + 1 = 0
3x + 5y + 3 = 0
Jawaban E
- 4
- 7
- 9
- 12
- 15
PEMBAHASAN :
x2 + y2 – 6x + 8y + C = 0, jari jari = 4
A = – 6
B = 8
r = 4
Menentukan nilai C dengan rumus jari-jari lingkaran:
16 = 9 + 16 – C
16 = 25 – C
C = 9
Jawaban C