Rangkuman, Contoh Soal Garis & Program Linear Berikut Pembahasan

Contoh Soal Garis & Persamaan Linear UN Berikut Pembahasan

Soal No.1 (UN 2014)
Di Zedland ada dua media massa Koran yang sedang mencari orang untuk bekerja sebagai penjual Koran. Iklan di bawah ini menunjukkan bagaimana mereka membayar gaji penjual Koran.
Joko memutuskan untuk melamar menjadi penjual Koran. Ia perlu memilih bekerja pada Media Zedland atau Harian Zedland. Grafik manakah di bawah ini yang menggambarkan bagaimana Koran membayar penjual-penjualnya?

PEMBAHASAN :
Misal:
Jumlah koran yang terjual = x

Untuk persamaan terhadap pendapatan Media Zedland:
M(x) : 0,20x; x≤240
M(x) : 0,40x; x>240
Dari persamaan di atas terbentuk dua garis lurus dengan gradient yang berbeda.

Untuk persamaan terhadap pendapatan Harian Zedland:
H(x) : 60+0,05x
Dari persamaan di atas hanya terbentuk satu garis lurus.

Sehingga grafik yang memenuhi persamaan pendapatan untuk Media dan Harian Zedland adalah grafik pada gambar C.

Jawaban : C

Soal No.2 (UN 2013)
Luas daerah parkir 1.760 m2 . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir itu adalah …
  1. Rp 176.000,00
  2. Rp 200.000,00
  3. Rp 260.000,00
  4. Rp 300.000,00
  5. Rp 340.000,00

PEMBAHASAN :

Pertidaksamaan yang terbentuk:

  • x+y ≤ 200
  • 4x+20y ≤ 1760 → x+5y ≤ 440
  • x ≥ 0 dan y ≥ 0

dengan f(x,y) = 1000x+2000y

Untuk memperoleh daerah penyelesaian terlebih dahulu harus dicari titik potong pada sumbu x dan y, sebagai berikut:

Persamaan 1:
x=0 → x+y = 200 → 0+y=200 → y=200 (0,200)
y=0 → x+y = 200 → x+0=200 → x=200 (200,0)

Persamaan 2:
x=0 → x+5y=440 → 0+5y=440 → y=88 (0,88)
y=0 → x+5y=440 → x+5(0)=440 → x=440 (440,0)

grafik yang terbentuk sebagai berikut:

untuk mendapatkan titik Q:
x+y = 200
x+5y = 440
2x+6y = 640 → x+3y = 320 → x=320-3y

Substitusikan ke persamaan x+y = 200:
320-3y+y = 200
320-2y = 200
y = 60 dan x = 320 – 3(60) = 140
maka titik Q adalah (140,60)

untuk menghitung penghasilan maksimum f(x,y)= 1000x+2000y
titik P(200,0) → 1000(200)+2000(0) = 200.000
titik Q(140,60) → 1000(140)+2000(60) = 260.000 (maksimum)
titik R (0,88) → 1000(0) + 2000(88) = 176.000
Jawaban : C

Soal No.3 (EBTANAS 1998)
Pada gambar berikut, yang merupakan himpunan penyelesaian system pertidaksamaan
2x + y ≤ 24
x + 2y ≥ 12
x – y ≥ -2
adalah daerah …
  1. 38
  2. 26
  3. 24
  4. 18
  5. 16

PEMBAHASAN :
Lakukan pengujian dengan titik sembarang pada grafik terhadap ketiga pertidaksamaan. Misalkan pada titik (0,0).
(0,0) → 2x + y ≤ 24 → 2(0)+0 ≤ 24 → 0 ≤ 24 benar

.               x + 2y ≥ 12 → 0+2(0) ≥ 12 → 0 ≥ 12 salah

.               x – y ≥ -2 → 0-0 ≥ -2 → 0 ≥ -2 benar
maka daerah yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah daerah III
Jawaban : D

Soal No.4 (EBTANAS 1997)
Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan …
  1. x ≥ 0, 6x + y ≤ 12, 5x + 4y ≥ 20
  2. x ≥ 0, 6x + y ≥ 12, 5x + 4y ≤ 20
  3. x ≥ 0, 6x + y ≤ 12, 4x + 5y ≥ 20
  4. x ≥ 0, 6x + 6y ≤ 12, 4x + 5y ≥ 20
  5. x ≥ 0, 6x + 6y ≤ 12, 5x + 4y ≥ 20

PEMBAHASAN :
Untuk menentukan persamaan garis dengan dua titik yang diketahui yaitu:

Dari gambar di atas diketahui titik-titik sebagai berikut:
(x1 , y1 ) dan (x2 , y2 ) → (2,0) dan (0,12)

Maka:

⇒ -2y=12x-24
⇒ 12x+2y=24
⇒ 6x+y =12( persamaan I)

(x1 , y1 ) dan (x2 , y2 ) → (4,0) dan (0,5)

Maka:
⇒ -4y=5x-20
⇒ 5x+4y=20 (persamaan II)

Untuk membuktikan daerah penyelesaiannya benar, lakukan perhitungan dengan mengambil titik sembarang pada grafik.

Persamaan I:
(0,8) → 6x+y =12 → 6(0)+8=12 → 8≤12
6x+y ≤12

Persamaan II:
(0,8) → 5x+4y=20 → 5(0)+4(8)=20 → 32≥20
5x+4y≥20
Jawaban : C

Soal No.5 (UN 2012)
Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium  dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp 1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp 800,00 maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah …
  1. Rp. 12.000,00
  2. Rp. 14.000,00
  3. Rp. 18.000,00
  4. Rp. 24.000,00
  5. Rp. 36.000,00

PEMBAHASAN :

Pertidaksamaan yang terbentuk:
I               5x + 2y ≤ 60
II             2x + 2y ≤ 30
Dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0

Fungsi f(x,y) = 1.000x + 800y

untuk memperoleh daerah penyelesaian terlebih dahulu harus dicari titik potong pada sumbu x dan y, sebagai berikut:

Persamaan I:
x = 0 → 5x + 2y = 60 → 5(0) + 2y = 60 → y = 30  (0,30) → titik R
y = 0 → 5x + 2y = 60 → 5x + 2(0) = 60 → x = 12 (12,0)

Persamaan II:
x = 0 → 2x + 2y = 30 → 2(0) + 2y = 30 → y = 15 (0,15)
y = 0 → 2x + 2y = 30 → 2x + 2(0) = 30 → x = 15 (15,0) → titik P

grafik yang terbentuk sebagai berikut:

untuk mendapatkan titik Q, kita dapat mengeliminasi kedua persamaan di atas:
5x + 2y = 60
2x + 2y = 30   –
.        3x = 30
.          x = 10

5x + 2y = 60 → 5(10) + 2y = 60
.                                          2y = 10
.                                            y = 5

maka titik Q adalah (10,5)
untuk menghitung biaya minimum f(x,y) = 1.000x + 800y
titik P (15,0) → 1.000(15) + 800(0) = 15.000
titik Q (10,5) → 1.000(10) + 800(5) = 14.000 (biaya minimum)
titik R (0,30) → 1.000(0) + 800(30) = 24.000
Jawaban : B

Soal No.7 (UN 2011)
Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A  dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp 4.000,00 per biji dan tablet II Rp 8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah …
  1. Rp. 12.000,00
  2. Rp. 14.000,00
  3. Rp. 16.000,00
  4. Rp. 18.000,00
  5. Rp. 20.000,00

PEMBAHASAN :

Pertidaksamaan yang terbentuk:
I               5x + 10y ≥ 25 → x + 2y ≥ 5
II             3x + y ≥ 5
Dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0

Fungsi f(x,y) = 4.000x + 8.000y

untuk memperoleh daerah penyelesaian terlebih dahulu harus dicari titik potong pada sumbu x dan y, sebagai berikut:

Persamaan I:
x = 0 → 5x + 10y = 25 → 5(0) + 10y = 25 → y = 5/2  (0, 5/2)
y = 0 → 5x + 10y = 25 → 5x + 10(0) = 25 → x = 5 (5,0) → titik P

Persamaan II:
x = 0 → 3x + y = 5 → 3(0) + y = 5 → y = 5 (0,5) → titik R
y = 0 → 3x + 0 = 5 → 3x + 0 = 5 → 3x = 5/3 (5/3, 0)

grafik yang terbentuk sebagai berikut:

untuk mendapatkan titik Q, substitusikan kedua persamaan di atas:
5x + 10y = 25 → x + 2y =5 → x = 5 – 2y
3x + y = 5 → 3(5 – 2y) + y = 5
.                       15 – 6y + y    = 5
.                                       – 5y = – 10
.                                            y = 2

x = 5 – 2y → x = 5 – 2(2)
.                       x = 1
maka titik Q adalah (1,2)

untuk menghitung biaya minimum f(x,y) = 4.000x + 8.000y substitusikan nilai x dan y
titik P (5,0) → 4.000(5) + 8.000(0) = 20.000 (biaya minimum)
titik Q (1,2) → 4.000(1) + 8.000(2) = 20.000 (biaya minimum)
titik R (0,5) → 4.000(0) + 8.000(5) = 40.000
Jawaban : E

Soal No.8 (UN 2011)
Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2 sedangkan tipe B luasnya 75 m2 . Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalah Rp 100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp 60.000.000,00. Supaya pendapatan dari hasil penjualan seluruh rumah maksimum maka harus dibangun rumah sebanyak …
  1. 100 rumah tipe A saja
  2. 125 rumah tipe A saja
  3. 100 rumah tipe B saja
  4. 100 rumah tipe A dan 25 tipe B
  5. 25 rumah tipe A dan 100 tipe B

PEMBAHASAN :

Pertidaksamaan yang terbentuk:

  1. 100x + 75y ≤ 10.000→ 4x + 3y ≤ 400
  2. x+y ≤ 125
  3. x≥0 dan y≥0

Dengan f(x,y)=100.000.000x+60.000.000y

Untuk memperoleh daerah penyelesaian terlebih dahulu harus dicari titik potong pada sumbu x dan y, sebagai berikut:

Persamaan 1:
x=0 → 4x + 3y = 400 → 0 + 3y = 400 → y = 400/3 (0, 400/3)
y=0 → 4x + 3y = 400 → 4x + 0 = 400 → x = 100 (100,0)

Persamaan 2:
x=0 → x+y = 125 → 0+y = 125 → y = 125 (0,125)
y=0 → x+y = 125 → x+0 = 125 → x = 125 (125,0)

grafik yang terbentuk sebagai berikut:

untuk mendapatkan titik Q:
Substitusikan ke persamaan x+y = 125 ke persamaan 4x+3y = 400
x = 125 – y → 4(125 – y) + 3y = 400
.                          500 – 4y + 3y = 400
.                                              – y = 400 – 500
.                                                y = 100
x + y = 125 → x + 100 = 125 → x = 25

maka titik Q adalah (25,100)

Menghitung penghasilan maksimum f(x,y)= 100.000.000x+60.000.000y
titik P(100,0) → 100jt (100) + 60jt (0) = 10 Milyar (penghasilan maksimum)
titik Q(25,100) → 100jt (25) + 60jt (100) = 8,5 Milyar
titik R (0,125) → 100jt (0) + 60jt (125) = 7,5 Milyar
Jawaban : A

Soal No.9 (UN 2010)
Suatu perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produk model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 1 jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu kerja mesin A dan B berturut-turut adalah 12 jam per hari dan 15 jam per hari. Keuntungan penjualan produk model I sebesar Rp 40.000,00 per unit dan model II Rp 10.000,00 perunit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah …
  1. Rp 120.000,00
  2. Rp 220.000,00
  3. Rp 240.000,00
  4. Rp 300.000,00
  5. Rp 600.000,00

PEMBAHASAN :

Pertidaksamaan yang terbentuk:

  1. 2x + y ≤ 12
  2. x + 5y ≤ 15

Dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0
Fungsi f(x,y) = 40.000x + 10.000y

untuk memperoleh daerah penyelesaian terlebih dahulu harus dicari titik potong pada sumbu x dan y, sebagai berikut:
Persamaan I:
x = 0 → 2x + y = 12 → 2(0) + y = 12 → y = 12 (0,12)
y = 0 → 2x + y = 12 → 2x + 0 = 12 → x = 6 (6,0) → titik P

Persamaan II:
x = 0 → x + 5y =15 → 0 + 5y = 15 → y = 3 (0,3) → titik R
y = 0 → x + 5y = 15 → x + 5(0) = 15 → x = 15 (15,0)

grafik yang terbentuk sebagai berikut:

untuk mendapatkan titik Q:
Substitusikan ke persamaan x + 5y = 15  ke persamaan 2x + y = 12
x = 15 – 5y → 2x +y = 12
.             2(15-5y) + y = 12
.              30 – 10y + y = 12
.                             – 9y = – 18
.                                  y = 2

x + 5y = 15 → x + 5(2) = 15
.                   → x + 10 = 15
.                   →         x = 5

maka titik M adalah (5,2)

Untuk menghitung laba maksimum f(x,y) = 40.000x + 10.000y
titik L (6,0) → 40.000(6) + 10.000(0) = 240.000 (laba maksimum)
titik M (5,2) → 40.000(5) + 10.000(2) = 220.000
titik N (0,3) → 40.000(0) + 10.000(3) = 30.000
Jawaban : C

Soal No.10 (UN 2009)
Luas daerah parkir 360 m2 . Luas rata-rata sebuah mobil 6 m2 dan luas rata-rata bus 24 m2 . Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda 4 (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil Rp 2.000,00 dan tariff parkir bus Rp 5.000,00 maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah …
  1. Rp 40.000,00
  2. Rp 50.000,00
  3. Rp 60.000,00
  4. Rp 75.000,00
  5. Rp 90.000,00

PEMBAHASAN :

Pertidaksamaan yang terbentuk:

  1. 6x + 24y ≤ 360 ® x + 4y = 60
  2. x + y ≤ 30

x ≥ 0 dan y ≥ x 0
Dengan f(x,y) = 2000x + 5000y

Untuk memperoleh daerah penyelesaian terlebih dahulu harus dicari titik potong pada sumbu x dan y, sebagai berikut:

Persamaan I:
x = 0 → x + 4y = 60 → 0 + 4y = 60 → y =  (0,15) → titik R
y = 0 → x + 4y = 60 → x + 4(0) = 60 → x = 60 (60,0)

Persamaan II:
x = 0 → x + y = 30 → 0 + y = 30 → y = 30 (0,30)
y = 0 → x + y = 30 → x + 0 = 30 → x = 30 (30,0) → titik P

grafik yang terbentuk sebagai berikut:

untuk mendapatkan titik Q, eliminasi  persamaan  x + y = 30 dengan persamaan x + 4y = 60:
x + 4y = 60
x + y = 30  –
.    3y = 30
.       y = 10

x + y = 30 → x + 10 = 30
.                                x = 20
maka titik Q adalah (20,10)

untuk menghitung pendapatan maksimum f(x,y) = 2.000x + 5.000y
titik P(30,0) → 2.000(30) + 5000(0) = 60.000
titik Q(20,10) → 2.000(20) + 5000(10) = 90.000 (pendapatan  maksimum)
titik R (0,15) → 2.000(0) + 5.000(15) = 75.000
Jawaban : C

Soal No.11 (UN 2008)
Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu system pertidaksamaan linier. Nilai maksimum dari f(x,y) = 7x + 6y adalah …
  1. 88
  2. 94
  3. 102
  4. 106
  5. 196

PEMBAHASAN :
Berdasarkan gambar dapat kita ketahui:

titik (12,0) dan (0,20)
Persamaan I: 20x + 12y = 12.20 → 20x + 12y = 240 → 5x + 3y = 60

titik (18,0) dan (0,15)
Persamaan II : 15x + 18y = 15.18 → 15x + 18y = 270 → 5x + 6y = 90

Mencari titik potong dari garis I dan II:
5x + 6y = 90
5x + 3y = 60   –
.        3y = 30
.          y = 10

5x + 6y = 90 → 5x + 6(10) = 90
.                                          5x = 30
.                                            x = 6
Titik potong garis I dan II adalah (6,10)

Untuk menghitung nilai maksimum dari f(x,y) = 7x + 6y
Titik (12,0) → 7(12) + 6(0) = 84
Titik (6,10) → 7(6) + 6(10) = 102 (nilai maksimum)
Titik (0,15) → 7(0) + 6(15) = 90
Jawaban : C

Soal No.12 (UN 2012)
Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp 1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp 2.000.000,00 perbuah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp 42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp 500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp 600.000,00 maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah …
  1. Rp 400.000,00
  2. Rp 12.600.000,00
  3. Rp 12.500.000,00
  4. Rp 10.400.000,00
  5. Rp 8.400.000,00

PEMBAHASAN :

Pertidaksamaan yang terbentuk:

  1. 15x + 20y ≤ 420 → 3x + 4y = 84
  2. x + y ≤ 25

Dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0

Fungsi f(x,y) = 500.000x + 600.000y

untuk memperoleh daerah penyelesaian terlebih dahulu harus dicari titik potong pada sumbu x dan y, sebagai berikut:

Persamaan I:
x = 0 → 3x + 4y = 84 → 3(0) + 4y = 84 → y = 21 (0,21) → titik R
y = 0 → 3x + 4y = 84 → 3x + 4(0) = 84 → x = 28 (28,0)

Persamaan II:
x = 0 → x + y = 25 → 0 + y = 25 → y = 25 (0,25)
y = 0 → x + y = 25 → x + 0 = 25 → x = 25 (25,0) → titik P

grafik yang terbentuk sebagai berikut:

untuk mendapatkan titik Q, eliminasi kedua persamaan:
3x + 4y = 84 ………. x 1
x + y = 25 …………… x 3

3x + 4y = 84
3x + 3y = 75      –
.          y = 9

x + y = 25 → x + 9 = 25
.                               x = 16

maka titik Q adalah (16,9)

untuk menghitung laba maksimum f(x,y) = 500.000x + 600.000y
titik P (25,0) → 500.000(25) + 600.000(0) = 12.500.000
titik Q (16,9) → 500.000(16) + 600.000(9) = 13.400.000  (keuntungan maksimum)
titik R (0,21) → 500.000(0) + 600.000(21) = 12.600.000
Jawaban : A

Soal No.13 (UN 2009)
Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun toko untuk 2 tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2 . Jumlah toko yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A sebesar Rp 7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar Rp 4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan took tersebut adalah …
  1. Rp 575.000.000,00
  2. Rp 675.000.000,00
  3. Rp 700.000.000,00
  4. Rp 750.000.000,00
  5. Rp 800.000.000,00

PEMBAHASAN :

Pertidaksamaan yang terbentuk:

  1. 100x + 75y ≤ 10.000®4x + 3y ≤ 400
  2. x + y ≤ 125
  3. x ≥ 0 dan y ≥ 0

dengan f(x,y)= 7.000.000x + 4.000.000y

untuk memperoleh daerah penyelesaian terlebih dahulu harus dicari titik potong pada sumbu x dan y, sebagai berikut:

Persamaan 1:
x = 0 → 4x + 3y = 400 → 0 + 3y = 400 → y = 400/3 (0,400/3)
y = 0 → 4x + 3y = 400 → 4x + 0 = 400 → x = 100 (100,0) → titik P

Persamaan 2:
x = 0 → x + y = 125 → 0 + y = 125 → y = 125 (0,125) → titik R
y = 0 → x + y = 125 → x + 0 = 125 → x = 125 (125,0)

grafik yang terbentuk sebagai berikut:

untuk mendapatkan titik Q:
Substitusikan ke persamaan x+y = 125 ke persamaan 4x + 3y = 400
x = 125 – y → 4(125 – y) + 3y = 400
.                          500 – 4y + 3y = 400
.                                               – y = 400 – 500
.                                                y = 100
x + y = 125 → x + 100 = 125 → x = 25

maka titik Q adalah (25,100)
untuk menghitung penghasilan maksimum f(x,y) = 7.000.000x + 4.000.000y
titik P(100,0) → 7jt (100) + 4jt (0) = 700.000.000 (keuntungan maksimum)
titik Q(25,100) → 7jt (25) + 4jt (100) = 575.000.000
titik R (0,125) → 7jt (0) + 4jt (125) = 500.000.000
Jawaban : C

Soal No.14 (UN 2006)
Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir. Rangkaian II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai Bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai  dan 100 tangkai. Jika rangkaian I dijual seharga Rp 200.000,00 dan rangkaian II dijual seharga Rp 100.000,00 per rangkaian maka penghasilan maksimum yang dapat diperoleh adalah …
  1. Rp 1.400.000,00
  2. Rp 1.500.000,00
  3. Rp 1.600.000,00
  4. Rp 1.700.000,00
  5. Rp 1.800.000,00

PEMBAHASAN :

Pertidaksamaan yang terbentuk:

  1. 10x + 20y ≤ 200 ® x + 2y ≤ 20
  2. 15x + 5y ≤ 100 ® 3x + y ≤ 20
  3. x ≥ 0 dan y ≥ 0

dengan f(x,y)= 200.000x + 100.000y

untuk memperoleh daerah penyelesaian terlebih dahulu harus dicari titik potong pada sumbu x dan y, sebagai berikut:

Persamaan 1:
x = 0 → x + 2y = 20 → 0 + 2y = 20 → y = 10 (0,10) → titik R
y = 0 → x + 2y = 20 → x + 2(0) = 20 → x = 20 (20,0)

Persamaan 2:
x = 0 → 3x + y = 20 → 3(0) + y = 20 → y = 20 (0,20)
y = 0 → 3x + y = 20 → 3x + 0 = 20 → x = 20/3 (20/3,0) → titik P

grafik yang terbentuk sebagai berikut:

untuk mendapatkan titik Q, eliminasi kedua persamaan:
x + 2y = 20 …… x 3
3x + y = 20 …… x 1

3x + 6y = 60
3x + y = 20  –
.       5y = 40
.         y = 8

x + 2y = 20 → x + 2(8) = 20
.                                      x = 4
maka titik Q adalah (4,8)

untuk menghitung penghasilan maksimum f(x,y) = 200.000x + 100.000y
titik P(20/3,0) → 200rb (20/3) + 100rb(0) = 1.300.000
titik Q(4,8) → 200rb (4) + 100rb (8) = 1.600.000 (penghasilan maksimum)
titik R (0,10) → 200rb (0) + 100rb (10) = 1.000.000
Jawaban : C

Soal No.15 (UN 2005)
Seorang penjahit membuat 2 jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 2 m katun dan 4 m sutra, dan pakaian jenis II memerlukan 5 m katun dan 3 m sutra. Bahan katun yang tersedia adalah 70 m dan sutra yang tersedia adalah 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba Rp 25.000,00 dan pakaian jenis II mendapat laba Rp 50.000,00. Agar ia memperoleh laba yang sebesar-besarnya maka banyak pakaian masing-masing adalah …
  1. Pakaian jenis I = 15 potong dan jenis II = 8 potong
  2. Pakaian jenis I = 8 potong dan jenis II = 15 potong
  3. Pakaian jenis I = 20 potong dan jenis II = 3 potong
  4. Pakaian jenis I = 13 potong dan jenis II = 10 potong
  5. Pakaian jenis I = 10 potong dan jenis II = 13 potong

PEMBAHASAN :

Pertidaksamaan yang terbentuk:

  1. 2x + 5y ≤ 70
  2. 4x + 3y ≤ 84

Dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0

Fungsi f(x,y) = 25.000x + 50.000y

untuk memperoleh daerah penyelesaian terlebih dahulu harus dicari titik potong pada sumbu x dan y, sebagai berikut:

Persamaan I:
x = 0 → 2x + 5y = 70 → 2(0) + 5y = 70 → y = 14 (0,14) → titik R
y = 0 → 2x + 5y = 70 → 2x + 5(0) = 70 → x = 35 (35,0)

Persamaan II:
x = 0 → 4x + 3y = 84 → 4(0) + 3y = 84 → y = 28 (0,28)
y = 0 → 4x + 3y = 84 → 4x + 0 = 84 → x = 21 (21,0) → titik P

grafik yang terbentuk sebagai berikut:

untuk mendapatkan titik Q, dengan cara mengeliminasi kedua persamaan:
2x + 5y = 70  ……… x 2
4x + 3y = 84  ……… x 1

4x + 10y = 140
4x + 3y = 84   –
.        7y = 56
.          y = 8

2x + 5y = 70 → 2x + 5(8) =70
.                           2x + 40    = 70
.                                          x = 15
maka titik Q adalah (15,8)

untuk menghitung laba maksimum f(x,y) = 25.000x + 50.000y
titik P (21,0) → 25.000(21) + 50.000(0) = 525.000
titik Q (15,8) → 25.000(15) + 50.000(8) = 775.000 (laba maksimum)
titik R (0,14) → 25.000(0) + 50.000(14) = 700.000
laba maksimum diperoleh dari penjualan model I sebanyak 15 potong dan model II sebanyak 8 potong.
Jawaban : A

Contoh Soal Garis & Persamaan Linear SBMPTN Berikut Pembahasan

Soal No.1 (SMBPTN 2014)
Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter  dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah …
  1. 10
  2. 20
  3. 22
  4. 25
  5. 30

PEMBAHASAN :
Jika dimisalkan:
Model A = x, memerlukan:

  • Kain batik = 1 meter
  • Kain polos = 1,5 meter

Model B = y, memerlukan:

  • Kain batik = 2 meter
  • Kain polos = 0,5 meter

Jika penjahit memiliki persediaan:
Persediaan kain batik = 40
Persediaan kain polos = 15

Jika dibuat pertidaksamaan maka:
Pertidaksamaan I (kain batik): x + 2y ≤ 40
Pertidaksamaan II (kain polos): 1,5x + 0,5y ≤ 15

Dapat digambarkan daerah penyelesaian, sebagai berikut:

Untuk f (x,y) = x + y
Titik:
P (10,0) → x + y = 10 + 0 = 10
Q (4,18) → x + y = 4 + 18 =22 (maksimum)
R (0,20) → x + y = 0 + 20 = 20
Jadi, maksimum banyak pakaian yang dapat dibuat adalah 22.
Jawaban : E

Soal No.2 (SBMPTN 2014)
Jika titik (x,y) memenuhi x2 ≤ y ≤ x + 6, maka nilai maksimum x + y adalah …
  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 9
  5. 12

PEMBAHASAN :
Dari x2 ≤ y ≤ x + 6 dapat diartikan
x2 ≤ x + 6
x2 – x – 6 ≤ 0
⇒(x – 3)(x + 2) ≤ 0
⇒ -2 ≤ x ≤ 3

Maka, nilai x minimum = -2 dan nilai x maksimum = 3
x2 ≤ y ≤ x + 6 (tambahkan x pada tiap ruas)
x+ x ≤ x + y ≤ 2x + 6
maka, nilai x + y minimum = x+ x dan nilai x + y maksimum = 2x + 6

Berdasarkan penyelesaian pertama diperoleh x maksimum = 3, sehingga diperoleh nilai maksimum 2x + 6 yaitu:
x + y maksimum = 2x + 6 = 2(3) + 6 = 12
Jawaban : E

Soal No.3 (SNMPTN 2012)
Nilai minimum fungsi objektif (tujuan) f(x,y) = x + 4y dengan kendala 3x +2y ≥ 24, x ≥ 2, dan y ≥ 3 adalah …
  1. 38
  2. 26
  3. 24
  4. 18
  5. 16

PEMBAHASAN :
Perhatikan gambar daerah penyelesaian di bawah ini!

Berdasarkan gambar di atas:
(x,y)
P (2,9) →f(x,y) = x + 4y = 2 + 4(9) = 38
Q (6,3) → f(x,y) = x + 4y = 6 + 4(3) = 18
Jadi, nilai minimum f(x,y) adalah 18
Jawaban : D

Soal No.4 (SNMPTN 2011)
Fungsi f(x,y) = cx + 4y dengan kendala: 3x + y ≤ 9, x + 2y ≤ 8, x ≥ 0, dan y ≥ 0 mencapai maksimum di (2,3) jika …
  1. c ≤ -12 atau c ≥ -2
  2. c ≤ -2 atau c ≥ -2
  3. 2 ≤ c ≤ 12
  4. -2 ≤ c ≤ 12
  5. 2 ≤ c ≤ 14

PEMBAHASAN :

Perhatikan gambar berikut!

Perpotongan dua garis 3x + y ≤ 9 dan x + 2y ≤ 8 berada pada titik (2,3) yaitu titik maksimum.

Fungsi f (x,y) = cx + 4y

Sehingga untuk titik maksimum pada perpotongan dua garis maka berlaku:

 

Jawaban : C

Soal No.5 (SMNPTN 2010)
Jika fungsi f(x,y) = 500 +  x + y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, 2x – y – 2 ≥ 0, dan x + 2y – 6 ≥ 0 maka …
  1. Fungsi f mempunyai nilai maksimum dan tidak mempunyai nilai minimum
  2. Nilai minimum dan nilai maksimum fungsi f tidak dapat ditentukan
  3. Fungsi f mempunyai nilai minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum
  4. Fungsi f tidak mempunyai nilai minimum dan nilai maksimum
  5. Fungsi f mempunyai nilai minimum dan nilai maksimum

PEMBAHASAN :
Dari pertidaksamaan diatas dapat diperoleh daerah penyelesaian sebagai berikut:

Nilai maksimum dapat dilihat pada titik (2,2), sedangkan nilai minimum tidak dapat diketahui karena daerah penyelesaiannya tak hingga.
Jawaban : A

Soal No.6 (SIMAK UI 2010)
Sebuah perusahaan membuat dua buah produk (X dan Y) dengan menggunakan dua buah mesin (A dan B). Setiap unit X memerlukan 50 menit proses pada mesin A dan 30 menit proses pada mesin B. Setiap unit Y memerlukan 24 menit proses pada mesin A dan 33 menit proses pada mesin B. Pada kondisi awal, terdapat 30 unit X dan 90 unit Y di dalam gudang. Mesin A dapat digunakan maksimum 40 jam dan mesin B dapat digunakan 35 jam. Diprediksi akan ada permintaan 75 unit X dan 95 unit Y. Sistem pertidaksamaan linier yang mewakili situasi di atas adalah …
  1. 50X + 24Y ≤ 40 (60); 30X +33 Y ≤ 35 (60); x ≥ 0; y ≥ 5
  2. 50X + 24 Y ≤ 40 (60); 30X + 33Y ≤ 35 (60); x ≥ 45; y≥ 5
  3. 50X + 24Y ≤ 40; 30X + 33Y ≤ 35 (60); x ≥ 0; y≥5
  4. 50X + 24Y ≤ 40; 30X + 33Y ≤ 35; x ≥ 45; y ≥ 0
  5. 50X + 24Y ≤ 40 (60); 30X + 33Y ≤ 35 (60);  x ≥ 0; y≥ 0

PEMBAHASAN :
Produk X:
Mesin A = 50 menit, maks penggunaan 40 jam (40 x 60 menit)
Mesin B = 30 menit
Persediaan = 30 unit
Prediksi permintaan = 75 unit

Produk Y:
Mesin A = 24 menit, maks penggunaan 35 jam (35 x 60 menit)
Mesin B = 33 menit
Persediaan = 90 unit
Prediksi permintaan = 95 unit
Maka diperoleh pertidaksamaan linier yaitu:
50X + 24 Y ≤ 40 (60); 30X + 33Y ≤ 35 (60); x ≥ 45; y≥ 5
Jawaban : B

Soal No.7 (UM UGM 2013)
Daerah penyelesaian system pertidaksamaan linier y ≥ 0, x + y ≤ 2, 3x – 2y ≤ 3 dan -2x + 3y ≤ 3 adalah …

PEMBAHASAN :
Pertidaksamaan I:

x + y = 2
x = 0 → 0 + y = 2 → y = 2 → (0,2)
y = 0 → x + 0 = 2 → x = 2 → (2,0)

Pertidaksamaan II:
3x – 2y = 3
x = 0 → 3(0) + 2y = 3 → y = -3/2 → (0,3/2)
y = 0 → 3x – 2(0) = 3 → x = 1 → (1,0)

Pertidaksamaan III:
-2x + 3y = 3
x = 0 → -2(0) + 3y =3 → y = 1 → (0,1)
y = 0 → -2x + 3(0) = 3 → x = -3/2 → (-3/2,0)

maka diperoleh gambar daerah penyelesaian sebagai berikut:

Jawaban : B

Soal No.8 (UM UGM 2010)
Nilai minimum f(x,y) = 3 + 4x – 5y untuk x dan y yang memenuhi –x + y ≤ 1; x + 2y ≥ 5; 2x + y ≤ 10 adalah …
  1. -19
  2. -6
  3. -5
  4. -3
  5. 23

PEMBAHASAN :
Diketahui pertidaksamaan:
–x + y ≤ 1
x + 2y ≥ 5
2x + y ≤ 10

Dengan nilai minimum f(x,y) = 3 + 4x – 5y

Menentukan titik P (1,2) dihitung dari:
–x + y = 1
x + 2y = 5    +
3y = 6 → y =2 dan x = 1

Menentukan titik Q (3,4) dihitung dari:
–x + y = 1
2x + y = 10   –
-3x  = -9 → x = 3 dan y = 4

Menentukan titik R (5,0) dihitung dari:
x + 2y = 5
2x + y = 10    +
3x + 3y =15 → x + y =5 → x = 5 – y, subsitusikan untuk memperoleh nilai x dan y
Maka x = 5 dan y = 0

Daerah penyelesaiannya sebagai berikut:

Untuk memperoleh nilai minimum dari f (x,y) = 3 + 4x – 5y
Titik R (1,2) → 3 + 4(1) – 5(2) = – 3
Titik S (3,4) → 3 + 4(3) – 5(4) = – 5 (minimum)
Titik T (5,0) → 3 + 4(5) – 5(0) = 23

Jadi nilai minimum yang diperoleh adalah – 5
Jawaban : C

Soal No.9 (SIMAK UI 2009)
Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak 240 orang. Penumpang kelas utama boleh membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi sebanyak 20 kg. Kapal tersebut hanya dapat mengangkut bagasi seberat 7200 kg. harga sebuah tiket kelas utama adalah Rp. 100.000, 00 dan kelas ekonomi Rp. 75.000, 00. Pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pengusaha kapal dari hasil penjualan tiket adalah … (dalam rupiah).
  1. 18 juta
  2. 19 juta
  3. 21 juta
  4. 21,5 juta
  5. 24 juta

PEMBAHASAN :
Misal:
x = kelas utama
y = kelas ekonomi

Diketahui:
Kelas utama (x): bagasi 60 kg dan harga tiket Rp 100.000;
Kelas ekonomi (y): bagasi 20 kg dan harga tiket Rp 75.000;
Bagasi maksimum 7200 kg dan banyak penumpang x + y berjumlah 240
Pendapatan maksimum dengan f(x,y)=100.000x +75.000y

Pertidaksamaan I: 60x + 20y ≤ 7200 → 3x + y ≤ 360

Pertidaksamaan II: x + y < 240

Dari pertidaksamaan I dan II dapat diperoleh daerah penyelesaian sebagai berikut:

Dari gambar di atas diketahui bahwa :
Titik P (240,0) → 100.000 (240) + 75.000 (0) = 24 juta (maksimum)
Titik Q (60,180) → 100.000 (60) + 75.000 (180) = 19,5 juta
Titik R (0,120) → 100.000 (0) + 75.000 (120) = 9 juta
Maka pendapatan maksimum yang bisa diperoleh adalah sebesar Rp 24 juta
Jawaban : E

Soal No.10 (SIMAK UI 2009)
Untuk membuat barang tipe A, diperlukan 4 jam kerja mesin I dan 2 jam kerja mesin II. Sedangkan untuk barang tipe B, diperlukan 5 jam kerja mesin I dan 3 jam kerja mesin II. Setiap hari, kedua mesin tersebut bekerja lebih dari 15 jam. Jika setiap hari dapat dihasilkan x barang tipe A dan y barang tipe B maka model matematika yang tepat adalah …
  1. 4x + 2y ≤ 15 dan 5x + 3y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
  2. 4x + 5y ≤ 15 dan 2x + 3y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
  3. 3x + 2y ≤ 15 dan 5x + 3y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
  4. 4x + 2y ≤ 15 dan 3x + 3y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
  5. 3x + 2y ≤ 15 dan 5x + 2y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Barang tipe A dimisalkan sebagai x dan barang tipe B dimisalkan sebagai y.
Untuk memperoleh model matematika dapat kita peroleh dengan menggunakan table berikut:

Tipe barang

Mesin I / jam

Mesin II / jam

A

4

2

B

5

3

Kerja mesin maksimum

15

15

Maka model matematika yang tepat adalah 4x + 5y ≤ 15 dan 2x + 3y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
Jawaban : B

Soal No.11 (SIMAK UI 2009)
Himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan
4x + y ≥ 8
3x + 4y ≤ 24
x + 6y ≥ 12
Terletak dalam daerah yang berbentuk …
  1. Garis
  2. Segitiga
  3. Segiempat
  4. Segilima
  5. Trapesium

PEMBAHASAN :
Untuk mengetahui bentuk daerah penyelesaian, buatlah titik potong pada sumbu x dan sumbu y sebagai berikut:

Pertidaksamaan I:
4x + y = 8
x = 0 → 4(0) + y = 8 → y = 8 → (0,8)
y = 0 → 4x + 0 = 8 → x = 2 → (2,0)

pertidaksamaan II:
3x + 4y = 24
x = 0 → 3(0) + 4y = 24 → y = 6 → (0,6)
y = 0 → 3x + 0 = 24 → x = 8 → (8,0)

pertidaksamaan III:
x + 6y = 12
x = 0 → 0 + 6y =12 → y = 2 → (0,2)
y = 0 → x + 6(0) = 12 → x = 12 → (12,0)

Sehingga diperoleh daerah penyelesaian seperti di bawah ini:

Maka daerah penyelesaian berbentuk segitiga
Jawaban : B

Soal No.12 (SIMAK UI 2009)
Jika daerah yang diarsir membentuk segitiga sama kaki, maka sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah tersebut adalah …
  1. x – y ≤ 0, x + y ≥ 2, x ≤ 3
  2. x – y ≥ 0, x + y ≥ 2, x ≤ 3
  3. x + y ≥ 0, x – y ≥ 2, x ≤ 3
  4. x – y ≥ 0, x + y ≥ 2, x ≤ 3, y ≥ 0
  5. x + y ≤ 0, x – y ≥ 2, x ≤ 3, y ≥ 0

PEMBAHASAN :
Pada gambar di atas dapat diketahui:
Persamaan garis dengan titik (3,-1) dan (0,2)

Karena titik (0,0) bukan daerah penyelesaian, jadi x + y ≥ 2

Persamaan garis dengan titik (0,0) dan (3,3)

Karena titik (0,2) bukan daerah penyelesaian maka x – y ≥ 0
x ≤ 3
Jawaban : B

Soal No.13 (SIMAK UI 2009)
Perhatikan gambar berikut:
Dalam sistem pertidaksamaan 2y ≥ x, y ≤ 2x, 2y + x ≤ 20, y + x ≥ 9, nilai minimum dari -3y – x dicapai pada titik …
  1. O
  2. P
  3. Q
  4. R
  5. S

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Daerah penyelesaian berada pada titik P, Q, R, S.

P (6,3)
2y – x = 0
x + y = 9 → 3y = 9 → y = 3,  x = 6

Q (3,6)
y – 2x = 0
y + x = 9 → 3x = 9 → x = 3, y = 6

R (4,8)
y – 2x = 0 → 2y – 4x = 0 → 2y + x = 20 → 2y + x = 20 → 5x = 20
x = 4 dan y = 8

S (10,5)
2y – x = 0
2y – x = 20 → 4y = 20 → y = 5, x = 10

Jadi, nilai minimum dari -3y – x adalah:
P (6,3) → -3(3) – 6 = -15
Q (3,6) → -3(6) – 3 = -21
R (4,8) → -3(8) – 4 = -28 (minimum)
S (10,5) → -3(5) – 10 = -25
Jawaban : B

Soal No.14 (SIMAK UI 2010)
Nilai minimum fungsi f(x,y) = 500x + 1000y pada daerah yang diarsir adalah …
  1. 8000
  2. 6000
  3. 5750
  4. 5000
  5. 4500

PEMBAHASAN :
Penyelesaian I:
Membuat persamaan dari titik-titik yang memotong sumbu x dan y

Titik (9,0) dan (0,6)
6x + 9y = 54 → 2y + 3y = 18
Pertidaksamaannya menjadi 2y + 3y ≥ 18

Titik (12,0) dan (0,4)
4x + 12y = 48 → x + 3y = 12
Pertidaksamaannya menjadi x + 3y ≥ 12

Titik (4,0) dan (0,8)
8x + 4y = 32 → 2x + y = 8
Pertidaksamaannya menjadi 2x + y ≥ 8

Penyelesaian II:
Titik P (12,0)

Titik Q (6,2)
2x + 3y = 18
x + 3y = 12 → x = 6 dan y = 2

Titik R (3/2,5)
2x + 3y = 18
2x + y   = 8 → y = 5 dan x = 3/2

Titik S (0,8)

Penyelesaian III:
Jadi, nilai minimum pada f (x,y) = 500x + 1000y
Titik P (12,0) → 500(12) + 1000(0) = 6000
Titik Q (6,2) → 500(6) + 1000(2) = 5000 (minimum)
Titik R (3/2,5) → 500(3/2) + 1000(5) = 5750
Titik S (0,8) → 500(0) + 1000(8) = 8000
Jawaban : D

Soal No.15 (SNMPTN 2008)
Untuk dapat diterima disuatu pendidikan, seseorang harus lulus tes dengan nilai matematika lebih dari 7, nilai bahasa inggris lebih dari 5, dan jumlah kedua nilai ini lebih dari 13. Seorang peserta tes mempunyai nilai matematika x dan nilai bahasa inggris y sehingga 2x +3y = 30. Ia akan diterima pada pendidikan tersebut jika x dan y memenuhi …
  1. 7 < x < 15/2 dan 5 < y < 16/3
  2. 7 < x < 8 dan 5 < y < 11/2
  3. 7 < x < 15/2 dan 11/2 < y < 6
  4. 15/2 < x < 8 dan 16/3 < y < 11/2
  5. 15/2 < x < 8 dan 11/2 < y < 6

PEMBAHASAN :
Misal
Nilai matematika = x, dimana x > 7
Nilai bahasa inggris = y, dimana y > 5
x + y ≥ 13
2x + 3y ≥ 30

Dari pertidaksamaan di atas, maka daerah penyelesaiannya sebagai berikut:

Dari gambar di atas dapat kita ketahui bahwa titik P berada pada sumbu (7, 11/2) dan titik Q (8, 5). Maka x dan y yang memenuhi adalah 7 < x < 8 dan 5 < y < 11/2
Jawaban : B

Sebelumnya Rangkuman Materi, Contoh Soal & Pembahasan Listrik Dinamis Tingkat SMP
Selanjutnya Rangkuman, Contoh Soal Dimensi Tiga Jawaban & Pembahasannya

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.