Rangkuman & Contoh Soal Bab Himpunan Kelas 7 SMP

Definisi Himpunan

Himpunan merupakan sekumpulan benda atau objek yang memiliki ciri-ciri sama dan dapat didefinisikan dengan jelas objek tersebut termasuk himpunan atau tidak termasuk dalam himpunan.

Istilah-istilah dalam himpunan:

1. Anggota himpunan dilambangkan “∈”.
2. Bukan anggota himpunan dilambangkan “∉”.
3. Anggota himpunan ditulis di dalam “{ }”.
4. Gunakan tanda “ , “ sebagai pemisah antara anggota yang satu dengan yang lain.
5. Untuk jumlah anggota himpunan yang sangat banyak dan tidak dapat dituliskan satu persatu (masih berlanjut) dapat digunakan tanda tiga titik atau “ …”.
6. Banyaknya anggota himpunan A ditulis “n(A)”.
   Beberapa cara yang digunakan untuk menyatakan himpunan, sebagai berikut:
   1. Mendaftar anggota himpunan atau Roster
      Contohnya:
      A = {Aris, Angga, Anita, Alea, Ahmad, Andi, Anti, Ana, Amara, Asti }
      B = {Bandung, Banjar, Bekasi, Bogor, Cimahi, Cirebon, Depok, Sukabumi}
   2. Menggunakan diagram Venn
      Hal-hal yang harus diperhatikan untuk membuat diagram Venn yaitu:
      • Himpunan semesta digambarkan dengan bentuk persegi panjang dan terdapat symbol “ S “ dituliskan pada pojok kiri atas.
      • Himpunan yang menjadi fokus utama pembahasan dinyatakan dalam bentuk lingkaran atau kurva tertutup.
      • Setiap anggota himpunan dilambangkan dengan noktah atau titik yang diberi nama.
        Contohnya:
        S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
        A = {2, 4, 6, 8}
        Gambarkan diagram vennya:
        
   3. Menuliskan sifat anggota himpunan
      Contohnya:
      A merupakan nama-nama siswa yang memiliki huruf awal A, sedangkan B merupakan nama – nama kota di Jawa Barat. Sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut:
      A = { Nama – nama siswa berawalan huruf A}
      B = {Nama – nama kota di Jawa Barat}
   4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan (Rule)
      Contohnya:
      A = {x|x adalah Nama – nama siswa berawalan huruf A}
      B = {x|x Nama – nama kota di Jawa Barat}

Jenis-Jenis Himpunan

1. Himpunan Kosong
   Himpunan kosong merupakan himpunan yang tidak memiliki anggota, dilambangkan dengan “{ }” atau “Ø”. Contohnya:
   • Himpunan bilangan asli kurang dari 1
   • Himpunan nama bulan dalam setahun yang terdiri dari 27 hari
2. Himpunan Nol
   Himpunan nol merupakan himpunan yang hanya memiliki 0 sebagai anggota himpunannya. Contohnya:
   • Himpunan bilangan cacah yang kurang dari 1
   • Himpunan bilangan bulat antara – 1 dan 1
3. Himpunan Semesta
   Himpunan semesta merupakan himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan ini dilambangkan dengan “ S “. Contohnya:
   A = {Aris, Angga, Anita, Alea, Ahmad}
   A adalah nama-nama siswa yang berawalan huruf AS = {Santi, Dadan, Aris, Angga, Dewi, Anita, Susan, Ahmad, Alea, Maman}
   Himpunan semesta berupa nama-nama siswa di kelas 2B
4. Himpunan Bagian
   Himpunan bagian merupakan himpunan yang semua anggotanya terdapat di dalam himpunan lainnya. Himpunan ini dilambangkan dengan “ ⊂ “ = himpunan bagian dari. Sedangkan lambang ” ⊄ “ = bukan himpunan bagian dari. Contohnya:
   • A ⊂ B atau B ⊃ A = A adalah himpunan bagian dari B karena anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B. A ⊄ B = A bukan himpunan bagian dari B.
   • A = {1, 3, 5, 7, 9}
     B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10}
     A ⊂ B

   Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2ⁿ dengan n = banyaknya anggota himpunan tersebut. Contohnya:
   M = {1, 3, 5}
   n(M) = 3 → M = 2³ = 8, yaitu { }, {1 }, {3 }, {5 }, {1,3 }, {1,5 }, {3,5}, {1,3,5 }

Hubungan Antarhimpunan

1. Himpunan saling lepas atau saling asing
   Dua himpunan yang tidak kosong, dikatakan saling asing atau saling lepas jika himpunan tersebut  tidak memiliki anggota yang sama (anggota persekutuan). Contohnya:
   A = {1, 3, 5, 7, 9}
   B = {2, 4, 6, 8}
   A ⊃⊂ B = A dan B dua himpunan saling lepas atau saling asing karena tidak memiliki anggota yang sama.
2. Himpunan berpotongan
   Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling berpotongan bila memiliki anggota yang sama (anggota persekutuan) tetapi masih ada anggota lain pada masing-masing himpunan yang tidak sama. Himpunan yang berpotongan dilambangkan dengan “ ∩ “ dan dapat dinyatakan dengan diagram Venn.Contohnya:
   A = {a, i, u, e, o}
   B = {a, b, c, d, e, f}
   Anggota persekutuan A dan B = {a,e} sehingga A ∩ B
   
   Diagram Venn dari A ∩ B
3. Himpunan sama
   Dua himpunan tidak kosong dikatakan sama apabila memiliki anggota himpunan yang sama. Contohnya:
   A = {1,2,3,4}
   B = {4,2,1,3}
   Maka A = B
4. Himpunan ekuivalen
   Dua himpunan tidak kosong dikatakan ekuivalen jika banyak anggota dari kedua himpunan tersebut sama. Contohnya:
   A = {a,b,c,d}
   B = {1,2,3,4}
   Maka n(A) = n(B)

Operasi Himpunan

Beberapa operasi pada himpunan yaitu:

1. Irisan himpunan (intersection/∩)
   A dan B memiliki anggota persekutuan (beririsan) → A ∩ B = {x|x ∈ A dan x ∈ B).
   
   Contoh:
   A = {a, i, u, e, o}
   B = {a, b, c, d, e, f}
   Anggota persekutuan A dan B = {a,e} sehingga A ∩ B
   
   Ketentuan yang berlaku:
   • Jika kedua himpunan sama maka akan berlaku A = B sehingga A ∩ B = A dan A ∩ B = B
   • Jika A dan B saling lepas maka A ∩ B = Ø.
   • Jika A ⊂ B maka A ∩ B = A.
2. Gabungan himpunan (Union/∪)
   Gabungan himpunan memiliki anggota –anggota himpunan yang anggotanya berasal dari himpunan A atau himpunan B, dilambangkan dengan A ∪ B = {x|x ∈ A atau x ∈ B). Banyaknya anggota himpunan A ∪ B yaitu: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).
   
   Contoh:
   A = {a, i, u, e, o}
   B = {a, b, c, d, e, f}
   Tentukan:
   1. A ∩ B = {a,e}, n(A ∩ B) = 2
   2. A ∪ B = {a, b, c, i, d, u, e, o, f}
   3. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 5 + 6 – 2 = 9
      Berlaku:
      • Apabila A ∈ B maka A ∪ B = B
      • Apabila A = B maka A ∪ B = A = B
3. Selisih himpunan (Difference/ – )
   Selisih dua himpunan meliputi semua anggota himpunan yang tidak memiliki himpunan lain. Selisih antar dua himpunan tersebut dilambangkan dengan tanda kurang ( – ), ditulis dengan persamaan A – B = {x|x ∈ A atau x ∉ B} atau B – A = {x|x ∈ B atau x ∉ A}
   
   Contoh:
   A = {a, b, c, d, e}
   B = {a, i, u, e, o}
   A – B = {b, c, d}
   B – A = {I, u, o}
4. Komplemen himpunan (A^c )
   Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan semua anggota himpunan semesta (S) yang tidak ada di himpunan A. komplemen suatu himpunan dilambangkan dengan pangkat C yang melekat pada himpunan tersebut dan persamaannya A^C = {x|x ∈ S tetapi x ∉ A}.
   
   Contoh:
   S = {1,2,3,4,5,6,7}
   A = {3,4,7}
   A^C = {1,2,5,6}
   
5. Beda setangkup (symmetric difference)
   Operasi himpunan beda setangkup menghasilkan anggota – anggota himpunan yang dioperasikan tetapi tidak termasuk anggota irisannya. Hasil operasi beda setangkup merupakan anggota himpunan A atau B tetapi tidak keduanya. Beda setangkup dilambangkan dengan ⊕ dan persamaannya A ⊕ B = {x|x ∈ A tetapi x ∉ B dan x ∈ B tetapi x ∉ A} atau A ⊕ B = (A∪B) – (A∩B) atau A ⊕ B = ( A – B) ∪ (B – A).
   
   Contoh:
   A = {a, b, c, d, e}
   B = {a, i, u, e, o}
   A ⊕ B = { b, c, d, i, u, o}

Konsep Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-hari

Contoh:
Kelas 2B memiliki jumlah siswa 40 orang. 30 orang menyukai matematika dan 25 orang menyukai fisika. Tentukan banyak siswa yang:

1. Gemar matematika dan fisika
2. Gemar matematika saja
3. Gemar fisika saja

Pembahasan:
Diketahui:
A = anggota himpunan matematika
B = anggota himpunan fisika
n(A∪B) = 40
n(A) = 30
n(B) = 25

1. Siswa gemar matematika dan fisika = n(A∩B)
   n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
   40 = 30 + 25 – n(A ∩ B)
   40 = 55 – n(A ∩ B)
   n(A ∩ B) = 55 – 40
   n(A ∩ B) = 15
   siswa yang gemar matematika dan fisika adalah 15 siswa
2. Siswa yang gemar matematika saja = 30 – 15 = 15 siswa
3. Siswa yang gemar fisika saja = 25 – 15 = 10 siswa

Contoh Soal & Pembahasan Bab Himpunan Kelas 7 SMP

1. 12
2. 32
3. 64
4. 16

PEMBAHASAN :
Menentukan himpunan bagian dapat dicari menggunakan rumus : 2ⁿ
Karena jumlah anggota A (n(A)) = 5, maka himpunan bagiannya = 2⁵= 32
Jawaban B

1. Ø
2. 0
3. {3, 5, 7, 9}
4. {2}

PEMBAHASAN :
Anggota A = {bilangan ganjil} = {1, 3, 5, 7, 9}
Anggota B = {bilangan prima} = {2, 3, 5, 7, 9}
3, 5, 7, 9 merupakan anggota A dan B, maka
A ∩ B = {3, 5, 7, 9}
Jawaban C

1. himpunan hewan berkaki empat atau bertanduk
2. himpunan hewan berkaki empat dan hewan bertanduk
3. himpunan hewan berkaki empat dan himpunan hewan bertanduk
4. himpunan hewan berkaki empat yang bertanduk

PEMBAHASAN :
A ∩ B merupakan gabungan anggota himpunan A dan anggota himpunan B. Maka:
A ∩ B = himpunan hewan berkaki empat dan hewan bertanduk
Jawaban B

1. A = {a, i, u, e, o}
   B = {1, 2, 3, 4, 5}
2. A = {m, a, n, d, i}
   B = {i, d, n, a, m}
3. A = {ayam, bebek, kelinci, sapi}
   B = {domba, jerapah, gajah, kerbau, angsa}
4. A = {1, 2, 3 , 4, 5}
   B = {2, 4, 6, 8}

PEMBAHASAN :
Himpunan ekuivalen merupakan dua himpunan yang jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi tidak sama. Yang termasuk himpunan ekuivalen adalah jawaban A karena jumlah anggotanya sama dan tidak sama
Jawaban A

1. Q ⊂ P
2. Q ⊂ (P ∪ Q)
3. P ⊂ R
4. R ⊂ P

PEMBAHASAN :
P = {semua jenis hewan}

himpunan Q merupakan anggota himpunan P atau di tulis Q ⊂ P
himpunan R merupakan anggota himpunan P atau di tulis R ⊂ P
P ∪ Q = gabungan himpunan A dan B akan sama dengan himpunan A, atau
P ∪ Q = P, maka Q ⊂ (P ∪ Q) benar karena sama dengan Q ⊂ P
Maka jawaban yang salah adalah P ⊂ R karena seharusnya R ⊂ P
Jawaban C

1. 8
2. 5
3. 6
4. 4

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Jumlah siswa yang gemar IPA n(A) = 25 siswa
Jumlah siswa yang gemar matematika n(B) = 21 siswa
Menentukan jumlah siswa yang gemar IPA atau matematika
n(A ∪ B) = 46 – 5 = 41 siswa
Menentukan siswa yang gemar IPA dan matematika n(A ∩ B) adalah
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
⇔ 41 = 25 + 21 – n(A ∩ B)
⇔ n(A ∩ B) = (25 + 21) – 41 = 5 siswa
Jawaban B

1. 23
2. 19
3. 16
4. 30

PEMBAHASAN :
Menentukan jumlah himpunan semesta n(S)
n(P ∪ Q) = n(p) + n(q) – n(P ∩ Q) = 21 + 14 – 0 = 35
maka
n(S) = n(P ∪ Q) + n(P ∪ Q)^c = 35 + 5 = 40
Menentukan n(P^c) atau jumlah komplemen himpunan P (anggota himpunan semesta yang bukan anggota P)
n(P^c) = n(S) – n(P) = 40 – 21 = 19
Jawaban B

PEMBAHASAN :
Menentukan (P ∩ Q)
(P ∩ Q) = {1, 3, 5, 6, 7, 9} ∩ {2, 5, 7, 8, 9} = {5, 7, 9}
Menentukan P – Q (merupakan anggota P tapi bukan anggota Q)
P – Q = {1, 3, 5, 6, 7, 9} – {2, 5, 7, 8, 9} = {1, 3, 6}
Maka (P ∩ Q)∪(P – Q)
(P ∩ Q)∪(P – Q) = {5, 7, 9} ∪ {1, 3, 6} = {1, 3, 5, 6, 7, 9} = P
Jawaban A

PEMBAHASAN 
Himpunan {1, 2, 5, 6, 15, 30} merupakan faktor dari 30, maka notasinya dapat ditulis {x | x faktor dari 30}
Jawaban B

1. 1
2. 6
3. 4
4. 7

PEMBAHASAN :
himpunan semesta n(S) = 45
himpunan siswa yang gemar sepak bola n(B) = 15
himpunan siswa yang gemar bulu tangkis n(T) = 20
himpunan siswa yang gemar tenis meja n(M) = 10
n(B ∩ T) = 4
n(T ∩ M) = 6
n(B ∩ M) = 5
n(B ∩ T ∩ M) = 9
Menentukan n(B ∪ T ∪ M)
n(B ∪ T ∪ M) = n(B) + n(T) + n(M) – n(B ∩ T) – n(T ∩ M) – n(B ∩ M) + n(B ∩ T ∩ M) = 15 + 20 + 10 – 4 – 6 – 5 + 9 = 39
Menentukan siswa yang tidak menyukai ketiga olahraga tersebut
n(S) – n(B ∪ T ∪ M) = 45 – 39 = 6 orang
Jawaban B

1. {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
2. {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
3. {- ½ , ½ , – ¼ , ¼ }
4. {1 ,2 ,3, 4, 5, …}

PEMBAHASAN :
Beberapa anggota himpunan berikut:

• {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} → himpunan bilangan bulat
• {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} → himpunan bilangan cacah
• {- ½ , ½ , – ¼ , ¼ } → himpunan bilangan pecahan
• {1 ,2 ,3, 4, 5, …} → himpunan bilangan asli

Jawaban D

1. {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
2. {2,3,4,6,7,9,12,18,20,36}
3. {1,2,3,4,5,6,9,12,15,18}
4. {2,4,6,9,12,18,36}

PEMBAHASAN :
Untuk menentukan faktor dari 36, dapat dicari dengan menghitung perkalian yang menghasilkan angka 36 sebagai berikut:
1 x 36
2 x 18
3 x 12
4 x 9
6 x 6
Sehingga himpunan untuk faktor 36 = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
Jawaban A

1. Himpunan bilangan asli kurang dari 10
2. Himpunan bilangan cacah kurang dari 1
3. Himpunan bilangan prima kurang dari 6
4. Himpunan bilangan asli kurang dari 1

PEMBAHASAN :

• Himpunan bilangan asli kurang dari 10
  ⇔ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

• Himpunan bilangan cacah kurang dari 1
  ⇔ {0}

• Himpunan bilangan prima kurang dari 6
  ⇔ {2,3,5}

• Himpunan bilangan asli kurang dari 1
  ⇔ tidak ada bilangan asli kurang dari 1

Jawaban B

1. A ⊂ B atau B ⊃ A
2. 4 ⊂ {bilangan genap}
3. {bilangan cacah} ⊂ {bilangan asli}
4. -2 ∈ {bilangan cacah}

PEMBAHASAN :

• A ⊂ B atau B ⊃ A (benar)
  A adalah himpunan bagian dari B karena anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B

• 4 ⊂ {bilangan genap} (salah)
  Seharusnya 2 ∈ { bilangan genap}

• {bilangan cacah} ⊂ {bilangan asli} (salah)
  Seharusnya {bilangan cacah} ⊂ {bilangan bulat}

• -2 ∈ {bilangan cacah} (salah)
  Seharusnya -2 ∈ {bilangan bulat}

Jawaban A

1. {a,u}
2. {u,o}
3. {a,c}
4. {i,e}

PEMBAHASAN :
{a,u} ∈ {a,i,u,e,o}
{u,o} ∈ {a,i,u,e,o}
{a,c} → c ∉ {a,i,u,e,o}
{i,e} ∈ {a,i,u,e,o}
Jawaban C

1. A = B
2. A ⊂ B
3. B ⊂ A
4. A ⊃⊂ B

PEMBAHASAN :

• A = B = Dua himpunan tidak kosong dikatakan sama apabila memiliki anggota himpunan yang sama
• A ⊂ B = A adalah himpunan bagian dari B karena anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B
• B ⊂ A = B adalah himpunan bagian dari A karena anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A
• A ⊃⊂ B = A dan B dua himpunan saling lepas atau saling asing karena tidak memiliki anggota yang sama.

Jawaban D

1. A = C
2. A = B
3. B = D
4. B = C

PEMBAHASAN :
A = {bilangan asli kurang dari 10}
⇔ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} → n(A) = 9

B = {bilangan ganjil kurang dari 15}
⇔ {1,3,5,7,9,11,13} → n(B) = 7

C = {bilangan pada sebuah dadu}
⇔ {1,2,3,4,5,6} → n(C) = 6

D = {x | 0 < x < 8, x bilangan bulat}
⇔ {1,2,3,4,5,6,7} → n(D) = 7
Jawaban C

1. {f,g,h,i}
2. {0}
3. {b,c,d,f,g,h}
4. {a,e,i}

PEMBAHASAN :
Komplemen himpunan (A^c ) merupakan komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan semua anggota himpunan semesta (S) yang tidak ada di himpunan A.
A = {a,b,c,d,e}
(S) = {a,b,c,d,e,f,g,h,i}
A^c = {f,g,h,i}
Jawaban A

1. {1,2,3,4,6,8,12,24}
2. {1,2,4,8}
3. {2,4,6,8,12,16,24,32}
4. {1,2,3,4,6,8,12,16,24,32}

PEMBAHASAN :
Untuk menentukan faktor dari suatu bilangan, dapat dicari dengan menghitung perkalian yang menghasilkan angka tersebut sebagai berikut:

Faktor dari 24:
1 x 24
2 x 12
3 x 8
4 x 6
A = {1,2,3,4,6,8,12,24}

Faktor dari 32:
1 x 32
2 x 16
4 x 8
B = {1,2,4,8,16,32}

Maka A + B  = {1,2,3,4,6,8,12,24} + {1,2,4,8,16,32} = {1,2,3,4,6,8,12,16,24,32}
Jawaban D

1. 1
2. 5
3. -2
4. -3

PEMBAHASAN :
n(A∪B) = 30
n(A) = 15
n(B) = 20

maka:
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
30 = 15 + 20 – n(A∩B)
n(A∩B) = 35 – 30
n(A∩B) = 5
Jawaban B

1. 32
2. 20
3. 16
4. 8

PEMBAHASAN :
Menyelesaikan pertidaksamaan sebagai berikut:
-4 < x -1 < 0
⇔ -4 + 1 < x -1 + 1 < 0 + 1
⇔ -3 < x < 1
Diperoleh A = {-2, -1, 0} → n(A) = 3

Maka banyaknya himpunan bagian dari A = 2ⁿ = 2³ = 8
Jawaban D

1. Himpunan bilangan asli
2. Himpunan bilangan ganjil
3. Himpunan bilangan cacah
4. Himpunan bilangan prima

PEMBAHASAN :

• Himpunan bilangan asli = {1,2,3,4,5, …} → {1,3,5} ⊂ {1,2,3,4,5, …}
• Himpunan bilangan ganjil = {1,3,5,7,9, …} → {1,3,5} ⊂ {1,3,5,7,9, …}
• Himpunan bilangan cacah = {0,1,2,3,4,5, …} → {1,3,5} ⊂ {0,1,2,3,4,5, …}
• Himpunan bilangan prima = {2,3,5,7, …} → {1,3,5} ⊄ {2,3,5,7, …}

Jawaban D