Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat Kelas 9 SMP

Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar merupakan suatu bentuk matematika untuk menyelesaikan masalah yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Unsur-unsur aljabar meliputi:

1. Variable/ peubah: lambang untuk mengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilai pastinya. Misalnya dengan huruf kecil a, b, c, x, y, dst.
2. Koefisien: konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Contoh: 3x² – 7x + 2, 7 = koefisien x.
3. Konstanta: suku dari suatu bentuk aljabar dalam bentuk bilangan yang tidak memuat variable. Contoh: 5 + 6x² – x, 5 = konstanta
4. Faktor: bilangan yang membagi habis suatu bilangan (bilangan pembagi habis)
5. Suku dalam bentuk aljabar adalah suatu variable beserta koefisien atau konstanta yang dipisahkan oleh operasi hitung. Suku dalam aljabar dibagi menjadi dua, yaitu:
   • Suku sejenis: suku dengan variable serta pangkat yang sama pada masing-masing variabelnya.
   • Suku tidak sejenis: suku dengan variable serta pangkat yang berbeda pada masing-masing variabelnya.

   Berdasarkan banyaknya penggunaan operasi hitung, suku dibagi menjadi:

   • Suku satu: bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi hitung. Contoh: 5x atau 2ab atau -7xy
   • Suku dua: bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi hitung. Contoh: 4x+5 atau 2a-6
   • Suku tiga: bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi hitung. Contoh: 3x+2y-xy

Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan pengurangan: penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar hanya bisa dilakukan pada suku-suku yang sejenis atau sama.
2. Perkalian: perkalian bilangan bulat pada bentuk aljabar akan berlaku sifat distributive (penyebaran) terhadap penjumlahan dan pengurangan.
3. Perpangkatan: perkalian yang berulang pada bilangan yang sama. Hal ini berlaku juga pada bentuk aljabar
4. Pembagian: menentukan factor persekutuan dari pembilang dan penyebut, kemudian lakukan pembagian pada pembilang dan penyebut masing-masing dengan faktor sekutunya.
5. Pecahan, syarat yang berlaku:
   • Pada operasi pecahan bentuk aljabar untuk penjumlahan dan pengurangan harus disamakan penyebutnya terlebih dahulu.
   • Perkalian pecahan bentuk aljabar caranya pembilang kali pembilang dan penyebut kali penyebut kemudian sederhanakan apabila bisa disederhanakan, bentuk umumnya sebagai berikut:
     
     Dengan b ≠ 0 dan d ≠ 0
   • Pembagian pecahan bentuk aljabar caranya dengan mengubah ke bentuk perkalian dengan membalik pecahan pembaginya, pembilang jadi penyebut dan penyebut jadi pembilang. Bentuk umumnya sebagai berikut:
     
     Dengan b ≠ 0, c ≠ 0, dan d ≠ 0

Faktorisasi Bentuk Aljabar

Faktorisasi bentuk aljabar adalah mengubah bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar. Jenis-jenis faktorisasi bentuk aljabar, sebagai berikut:

1. Menggunakan sifat distributif
   ap + aq → a(p + q), dengan a merupakan faktor persekutuan dari ap dan aq

2. Selisih dua kuadrat
   (a + b)(a – b) → (a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b² = a² – b²
   a² – b² = (a + b)(a – b)
   maka, a² – b² adalah selisih dua kuadrat

3. Bentuk kuadrat:
   1. ax² + bx + c, a = 1fa
      x² + (p+q)x + pq = ax² + bx + c
      a = 1, b = p + q, c = pq
      faktornya (x + p) (x + q)
      p dan q adalah faktor c
   2. ax² + bx + c, a ≠ 1 dan a ≠ 0
      ax² + bx + c = ax² + px + qx + c
      dengan p x q = a x c dan p + q = b
      atau ax² + bx + c = 1/a (ax + m)(ax + n)
      m x n = a x c dan m + n = ba

Contoh Soal & Pembahasan Operasi Suku Aljabar & Persamaan Kuadrat Kelas 9 SMP

1. x² +2x – 3 = 0
2. 3x² = 5x + 2
3. 2x² + 6x = 0

PEMBAHASAN :

1. x² + 2x – 3 = 0
   (x-1)(x+3) = 0
   x-1 = 0 atau x + 3 = 0
   x = 1 atau x = -3
2. 3x² = 5x + 2
   3x² – 5x -2 = 0
   (3x+1)(x-2) = 0
   3x + 1 = 0 atau x – 2 = 0
   x = – 1/3 atau x = 2
3. 2x² + 6x = 0
   2x(x + 3) = 0
   2x = 0 atau x + 3 = 0
   x = 0 atau x = -3

PEMBAHASAN :
9x² – 4 = 0
(3x – 2)(3x + 2) = 0
3x – 2 = 0 atau 3x + 2 = 0
x = atau x =
Maka himpunan penyelesaiannya adalah

PEMBAHASAN :
Cara melengkapkan kuadrat sempurna, langkah-langkahnya:

1. Letakan suku-suku yang mengandung peubah (variabel) di ruas kiri sedangkan konstanta di ruas kanan
   x² + 6x – 16 = 0
   x² + 6x = 16
2. Koefisien x² nya harus satu, dalam persamaan tersebut koefisien x² sudah 1.
3. Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisen x
   
   x² + 6x + 3² = 16 + 3²
   (x + 3)² = 25
   
   x + 3 = ± 5
   x + 3 = 5 atau x + 3 = -5
   x = 2 atau x = -8

PEMBAHASAN :
Dari persamaan 2x² + 9x -5 = 0 diperoleh informasi:
a = 2, b = 9, c = -5.
Menentukan himpunan penyelesaiannya menggunakan rumus:




Maka himpunan penyelesaiannya adalah {-5, ½}

PEMBAHASAN :
3x² – 4x = 5
3x² – 4x – 5 = 0
Maka :
a = 3, b = -4, dan c = -5, sehingga himpunan penyelesaiannya:




Maka himpunan penyelesaiannya =

Himpunan penyelesaian dari  adalah…

PEMBAHASAN :

Persamaan dikali 4 agar tidak dalam bentuk pecahan
     x  4
⇔6x²– 7x – 3 = 0
⇔ (2x – 3)(3x + 1) = 0
⇔ 2x – 3 = 0 atau 3x + 1 = 0

Maka himpunan penyelesaiannya adalah

Himpunan penyelesaian dari adalah…

PEMBAHASAN :
       dikali x

⇔ x² + 4 = 4 + 3x
⇔ x² + 4 – 3x – 4 = 0
⇔ x² – 3x = 0
⇔ x(x – 3) = 0
⇔ x = 0 atau x = 3
x = 0 tidak memenuhi karena jika dimasukan hasilnya tidak didefinisikan. Maka himpunan penyelesaiannya {3}

PEMBAHASAN :

1. Diketahui:
   x₁ = 2 dan x₂ = 3
   (x – x₁)(x – x₂) = 0
   (x – 2)(x – 3) = 0
   x² – 5x + 6 = 0
2. Diketahui:
   x₁ = -5 dan x₂ = 1
   (x – x₁)(x – x₂) = 0
   (x – (-5))(x – 1) = 0
   (x + 5)(x – 1) = 0
   x² + 4x – 5 = 0
3. Diketahui:
   x₁ = dan x₂ =
   (x – x₁)(x – x₂) = 0
   
   
   
   6x² – 4x – 5 = 0
4. Diketahui:
   x₁ =  dan x₂ =
   (x – x₁)(x – x₂) = 0
   
   
   
   
   6x² – 5x – 6 = 0

PEMBAHASAN 

1. Diketahui:
   x₁ = 2 dan x₂ = 3
   x₁ + x₂ = 2 + 3 = 5
   x₁ . x₂ = (2)(3) = 6
   Maka:
   x² – (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0
   x² – 5x + 6 = 0
2. Diketahui:
   x₁ = -5 dan x₂ = 1
   x₁ + x₂ = -5 + 1 = -4
   x₁ . x₂ = (-5)(1) = -5
   Maka:
   x² – (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0
   x² – (-4)x + (-5) = 0
   x² + 4x – 5 = 0
3. Diketahui:
   
   
   
   Maka:
   x² – (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0
   x² – x + = 0
   6x² – 7x + 2 = 0
4. Diketahui:
   
   
   
   Maka:
   x² – (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0
   x² – x – 1 = 0
   6x² – 5x – 6 = 0

PEMBAHASAN :
Jika dimisalkan:
lebar = x m
karena keliling 70 m dimana keliling = 2p + 2l = 2(p+l) = 70 m
maka p + l = 70/2 = 35 m
sehingga p = 35 – l = 35 – x m
Maka untuk menentukan x dapat diperoleh dari rumus luas
L = p x l = (35 – x).x = 300 m²
35x – x² = 300
x² + 35x – 300 = 0
(x – 15)(x – 20) = 0
x – 15 = 0 atau x – 20 = 0
x = 15 atau x = 20
sehinggal lebar = x m = 15 m (diambil yang lebih kecil karena lebih lebih pendek dibanding panjang)
dan panjangnya = 35 – 15 m = 20 m

1. 2
2. 5
3. 6
4. 8

PEMBAHASAN :
5x² + 2x – 8
Pada bentuk aljabar di atas koefisien x adalah 2
Jawaban A

1. 18x – y + 1
2. 18x + y + 1
3. – 18x – y – 1
4. 18x + y – 1

PEMBAHASAN :
Diketahui:
p = 2x + 3y – 5
q = 6x – 4y + 8

Maka 3p + 2q dapat dihitung sebagai berikut:

3p + 2q = 3(2x + 3y – 5) + 2(6x – 4y + 8)
.              = 6x + 9y – 15 + 12x – 8y + 16
.              = 18x + y + 1
Jawaban B

1. 17p – 13q – 12
2. 17p + 13q + 12
3. – 17p – 13q + 12
4. 17p + 13q – 12

PEMBAHASAN :
Diketahui:
a = 4p – q – 3
b = 3p + 5q + 6

Maka
2a + 3b = 2(4p – q – 3) + 3(3p + 5q + 6)
.              = 8p – 2q – 6 + 9p + 15q + 18
.              = 17p + 13q + 12
Jawaban B

1. – 2p² q³ – 7pq² r – 15qr²
2. 2p² q³ + 7pq² r – 15qr²
3. 2p² q³ + 7pq² r + 15qr²
4. 2p² q³ – 7pq² r – 15qr²

PEMBAHASAN :
(2pq² + 3qr)(pq – 5r)
⇔ 2pq² (pq – 5r) + 3qr (pq – 5r)
⇔ 2p² q³ – 10pq² r + 3pq² r – 15qr²
⇔ 2p² q³ – 7pq² r – 15qr²
Jawaban D

Hasil dari

PEMBAHASAN :

Jawaban C

1. 2x + 5y
2. 3x – 6y + 5
3. 7xy – 4
4. x² – 2xy + 3y² – 5z

PEMBAHASAN :

• 2x + 5y (bentuk aljabar bersuku dua)
• 3x – 6y + 5 (bentuk aljabar bersuku tiga)
• 7xy-4 (bentuk aljabar bersuku 2)
• x² – 2xy + 3y² – 5z (bentuk aljabar bersuku empat)

Jawaban B

1. x³  dan y³
2. 2x² y dan 2xy²
3. 3x² y² dan 2x² y²
4. x³ y² dan 5x² y³

PEMBAHASAN :
Suku dalam aljabar dibagi menjadi dua, yaitu:

• Suku sejenis: suku dengan variable serta pangkat yang sama pada masing-masing variabelnya.
• Suku tidak sejenis: suku dengan variable serta pangkat yang berbeda pada masing-masing variabelnya.

Jawaban C

1. – 2x² + 5x – 13
2. 2x² –  5x – 13
3. 2x² + 5x + 13
4. 2x² + 5x – 13

PEMBAHASAN :
(6x² + 3x – 8) – (4x² – 2x + 5)
⇔ 6x² + 3x – 8 – 4x² + 2x – 5
⇔ 2x² + 5x – 13
Jawaban D

1. 6x² – 7x – 5
2. 6x² + 7x – 5
3. 6x² – 7x + 5
4. – 6x² – 7x – 5

PEMBAHASAN :
(2x + 1)(3x – 5)
⇔ 2x(3x – 5) + 1(3x – 5)
⇔ 6x² – 10x + 3x – 5
⇔ 6x² – 7x – 5
Jawaban A

Sederhanakan pecahan bentuk aljabar dari

PEMBAHASAN :
Pembagian pecahan bentuk aljabar caranya  dengan mengubah ke bentuk perkalian dengan membalik pecahan pembaginya, pembilang jadi penyebut dan penyebut jadi pembilang.

Jawaban B

Hasil dari

PEMBAHASAN :

Jawaban B

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3

PEMBAHASAN :

Dari persamaan di atas didapat nilai a = 1 dan b = 2
Maka a + b = 1 + 2 = 3
Jawaban D

PEMBAHASAN :

Jawaban C

1. 3
2. 4
3. 10
4. 15

PEMBAHASAN :
(2x +3y)(px + qy) = 2x(px + qy) + 3y(px + qy) = 2px² + 2xqy + 3ypx + 3qy²
⇔ 2px² + 2xqy + 3ypx + 3qy² = rx² +23xy + 12y²
⇔ 2px² + (2xqy + 3ypx) + (3q)y² = rx² +23xy + 12y²

Menentukan nilai q
2p = r
3q = 12
q = 4

Menentukan nilai p
2xqy + 3ypx = 23xy
⇔ 2q + 3p = 23
⇔ 2(4) + 3p = 23
⇔ 3p = 15
⇔ p = 5

Menentukan nilai r
2p = r
r = 2 x 5 = 10
Jawaban C

Hasil perhitungan dari

PEMBAHASAN :

Jawaban C

1. 5p² + 14pq + 26q²
2. – 5p² + 14pq + 26q²
3. – 5p² – 14pq – 26q²
4. 5p² + 14pq – 26q²

PEMBAHASAN :
(2p + 5q)² – (3p – q)² = {(2p)² + 2(2p)(5q) + (5q)² } – {(3p)² + 2(3p)(- q) + (-q)²
⇔ 4p² + 20pq + 25q² – 9p² – 6pq + q²
⇔ – 5p² + 14pq + 26q²
Jawaban B

Hasil dari

PEMBAHASAN :

Jawaban A

1. x⁵ y⁴ z⁶
2. x⁶ y⁴ z⁸
3. x² y² z²
4. x z²

PEMBAHASAN :
Operasi hitung pada pangkat sebagai berikut:
(p^a )^b = p^axb
Maka (x³ y² z⁴ )² = x^3×2 y^2×2 z^4×2 = x⁶ y⁴ z⁸
Jawaban B

1. 10x² + 11x – 35
2. x² + 10x – 35
3. 10x² – 11x – 35
4. 10x² + 11x – 15

PEMBAHASAN :
(2x + 5)(5x – 7) = 2x(5x – 7) + 5(5x – 7)
⇔ 2x (5x) + 2x(-7) + 5(5x) + 5(-7)
⇔ 10x² – 14x + 25x – 35
⇔ 10x² + 11x – 35
Jawaban A

1. -9
2. -10
3. -11
4. -12

PEMBAHASAN :
(2x + 3)(5x + 2) = 2x(5x + 2) + 3(5x+2) = 10x² + 4x + 15x + 6 = 10x² + 19x + 6
⇔ 10x² + 19x +96 = px² –  qx – 6
⇔ p = 10 , q = 19
Maka nilai p – q = 10 – 19 = -9
Jawaban A

1. 4a² b(b + 6)
2. 4a b(b – 6)
3. 4a² b²(b + 6)
4. 4a² b²(b – 6)

PEMBAHASAN :
Menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 4a² b² – 24a² b yaitu 4a² b
Maka bentuk sederhana dari 4a² b² + 24a²b = 4a² b(b + 6)
Jawaban A

1. (a – y)(x + q)
2. (x – y)(p + q)
3. (x + y)(p – q)
4. (p – q)(x + y)

PEMBAHASAN :
Faktor dari p(x – y) + q(x – y) = (x – y)
Maka pemfaktoran dari p(x – y) + q(x – y) = (x – y)(p + q)
Jawaban B

Hasil perhitungan dari adalah …

PEMBAHASAN :
Menentukan faktor dari x² – 16 = (x + 4)(x – 4)
Maka:

Jawaban B

Hasil dari menyederhanakan persamaan adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban C

Hasil sederhana dari  adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban C

1. 8(x + 2)(x – 4)
2. 8(x – 2)(x – 2)
3. 4(x + 2)(x – 4)
4. 8(x + 2)(x – 2)

PEMBAHASAN :
Maka pemfaktoran dari 8x² -32 = 8(x² – 4) = 8(x + 2)(x – 2)
Jawaban C

1. (16x + 13y)(16x – 13y)
2. (16x – 13y)(16x – 13y)
3. (- 16x + 13y)(- 16x + 13y)
4. (16x + 13y)(16x + 13y)

PEMBAHASAN :
Bentuk dasar aljabar x² – y² = (x + y)(x – y)
Maka pemfaktoran dari 256x² – 169y² = (16x + 13y)(16x – 13y)
Jawaban A

Hasil perhitungan dari

PEMBAHASAN :

Jawaban D

Hasil perhitungan dari adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban B

1. (7 + y)(9x + y)
2. (- 7x + y)(- 9x – y)
3. (7x + y)(x + y)
4. (7x + y)(9x – y)

PEMBAHASAN :
64x² – (x – y)² = {8x – (x – y)}{8x + (x – y)}
⇔ (8x – x + y)(8x + x – y)
⇔ (7x + y)(9x – y)
Jawaban D

1. (2p + q)(2p – q)(p – 2q)(p + 2q)
2. ( ½ p + q)( ½ p – q)(p – 2q)(p + 2q)
3. ( ½ p² + q)( ½ p² – q)(p – 2q)(p + 2q)
4. ( ¼  p + q)( ¼ p – q)(p – 2q)(p + 2q)

PEMBAHASAN :
¼ p⁴ – 2p² q² + 4q⁴ = ( ½ p² – q² )( ½ p² – q²)
⇔ ½ (p² – 4q²) ½ (p² – 4q²)
⇔ ½ (p + 2q)(p – qy) ½ (p + 2q)(p – 2q)
⇔ ( ½ p + q)( ½ p – q)(p – 2q)(p + 2q)
Jawaban B

1. x – 2
2. x + 3
3. x – 1
4. x + 1

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Luas = (x² – 5x + 4) cm
a = 1
b = – 5
c = 4
Lebar = (x – 4) cm
Menentukan x₁ dan x₂ sebagai berikut:

Menentukan faktor dari persamaan x² – 5x + 4 = (x – x₁ )(x – x₂ )
⇔ x – x₁ = x – 4
⇔ x – x₂ = x – 1
Maka untuk menghitung panjang persegi panjang tersebut, yaitu:
Luas persegi panjang = panjang x lebar

Jawaban C

1. (0,2x + 0,3)2x – 3)
2. (0,2x – 0,3)(2x + 3)
3. 2(0,2x + 0,3)(2x – 3)
4. 2(0,2x + 0,3)(2x + 3)

PEMBAHASAN :
Diketahui:
a = 0,8
b = – 2,4
c = – 1,8

Maka faktor dari 0,8x² – 2,4x – 1,8 = (0,4x + 0,6)(2x – 3)
⇔ 2(0,2x + 0,3)(2x – 3)
Jawaban C

1. 3x – 5
2. 6x – 10
3. 2x + 3
4. 6x + 5

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Luas = (6x² – 19x + 15) cm
Tinggi = (2x – 3) cm

Maka untuk menghitung panjang alasnya, sebagai berikut:
L _segitiga = ½  x alas x tinggi
6x² – 19x + 15 = ½ x alas x 2x – 3
2(6x² – 19x + 15) = 2x – 3 x alas

Jawaban B

Hasil perhitungan dari

PEMBAHASAN :

Jawaban B

PEMBAHASAN :

Jawaban C

Hasil penyederhanaan dari

PEMBAHASAN :

Jawaban A

1. p³ + 3p² q² + 3p² q² + q³
2. p³ –  3p² q –  3pq² –  q³
3. p² + 3p² q³  + 3p³ q² + q²
4. p³ + 3p² q + 3pq² + q³

PEMBAHASAN :
Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk aljabar, maka gunakan pola segitiga pascal sebagai berikut:
1
1              1
1              2              1 →  (p + q)² = p² + 2pq + q²
1              3              3              1 → (p + q)³ = p³ + 3p² q + 3pq² + q³
1              4              6              4              1  →  (p + q)⁴ = p⁴ +  4p³ q + 6p² q² + 4pq³ + q⁴
Dst
Jawaban D

1.  – 44
2. – 55
3. – 66
4. – 77

PEMBAHASAN :
a = 144 →√144 = 12
b = -p
c = 100 → √100 = 10

Maka untuk menentukan nilai p dapat dihitung sebagai berikut:
b = – p = 2 x (12 + 10) = 44
p = -44
Jawaban A

1. 5x² + 11x² – 12
2. 15x² + 11x² + 12
3. – 15x² – x² – 12
4. 15x² – 11x² – 12

PEMBAHASAN :
(5x + 3)(3x – 4) = 5x(3x – 4) + 3(3x – 4)
⇔ 15x² – 20x + 9x² – 12
⇔ 15x² – 11x² – 12

Jawaban D