Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat Kelas 9 SMP
Bentuk Aljabar
Bentuk aljabar merupakan suatu bentuk matematika untuk menyelesaikan masalah yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Unsur-unsur aljabar meliputi:
- Variable/ peubah: lambang untuk mengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilai pastinya. Misalnya dengan huruf kecil a, b, c, x, y, dst.
- Koefisien: konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Contoh: 3x2 – 7x + 2, 7 = koefisien x.
- Konstanta: suku dari suatu bentuk aljabar dalam bentuk bilangan yang tidak memuat variable. Contoh: 5 + 6x2 – x, 5 = konstanta
- Faktor: bilangan yang membagi habis suatu bilangan (bilangan pembagi habis)
- Suku dalam bentuk aljabar adalah suatu variable beserta koefisien atau konstanta yang dipisahkan oleh operasi hitung. Suku dalam aljabar dibagi menjadi dua, yaitu:
- Suku sejenis: suku dengan variable serta pangkat yang sama pada masing-masing variabelnya.
- Suku tidak sejenis: suku dengan variable serta pangkat yang berbeda pada masing-masing variabelnya.
Berdasarkan banyaknya penggunaan operasi hitung, suku dibagi menjadi:
- Suku satu: bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi hitung. Contoh: 5x atau 2ab atau -7xy
- Suku dua: bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi hitung. Contoh: 4x+5 atau 2a-6
- Suku tiga: bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi hitung. Contoh: 3x+2y-xy
Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar
- Penjumlahan dan pengurangan: penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar hanya bisa dilakukan pada suku-suku yang sejenis atau sama.
- Perkalian: perkalian bilangan bulat pada bentuk aljabar akan berlaku sifat distributive (penyebaran) terhadap penjumlahan dan pengurangan.
- Perpangkatan: perkalian yang berulang pada bilangan yang sama. Hal ini berlaku juga pada bentuk aljabar
- Pembagian: menentukan factor persekutuan dari pembilang dan penyebut, kemudian lakukan pembagian pada pembilang dan penyebut masing-masing dengan faktor sekutunya.
- Pecahan, syarat yang berlaku:
- Pada operasi pecahan bentuk aljabar untuk penjumlahan dan pengurangan harus disamakan penyebutnya terlebih dahulu.
- Perkalian pecahan bentuk aljabar caranya pembilang kali pembilang dan penyebut kali penyebut kemudian sederhanakan apabila bisa disederhanakan, bentuk umumnya sebagai berikut:
Dengan b ≠ 0 dan d ≠ 0 - Pembagian pecahan bentuk aljabar caranya dengan mengubah ke bentuk perkalian dengan membalik pecahan pembaginya, pembilang jadi penyebut dan penyebut jadi pembilang. Bentuk umumnya sebagai berikut:
Dengan b ≠ 0, c ≠ 0, dan d ≠ 0
Faktorisasi Bentuk Aljabar
Faktorisasi bentuk aljabar adalah mengubah bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar. Jenis-jenis faktorisasi bentuk aljabar, sebagai berikut:
- Menggunakan sifat distributif
ap + aq → a(p + q), dengan a merupakan faktor persekutuan dari ap dan aq
- Selisih dua kuadrat
(a + b)(a – b) → (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
maka, a2 – b2 adalah selisih dua kuadrat
- Bentuk kuadrat:
- ax2 + bx + c, a = 1fa
x2 + (p+q)x + pq = ax2 + bx + c
a = 1, b = p + q, c = pq
faktornya (x + p) (x + q)
p dan q adalah faktor c - ax2 + bx + c, a ≠ 1 dan a ≠ 0
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c
dengan p x q = a x c dan p + q = b
atau ax2 + bx + c = 1/a (ax + m)(ax + n)
m x n = a x c dan m + n = ba
- ax2 + bx + c, a = 1fa
Contoh Soal & Pembahasan Operasi Suku Aljabar & Persamaan Kuadrat Kelas 9 SMP
- x2 +2x – 3 = 0
- 3x2 = 5x + 2
- 2x2 + 6x = 0
PEMBAHASAN :
- x2 + 2x – 3 = 0
(x-1)(x+3) = 0
x-1 = 0 atau x + 3 = 0
x = 1 atau x = -3 - 3x2 = 5x + 2
3x2 – 5x -2 = 0
(3x+1)(x-2) = 0
3x + 1 = 0 atau x – 2 = 0
x = – 1/3 atau x = 2 - 2x2 + 6x = 0
2x(x + 3) = 0
2x = 0 atau x + 3 = 0
x = 0 atau x = -3
PEMBAHASAN :
9x2 – 4 = 0
(3x – 2)(3x + 2) = 0
3x – 2 = 0 atau 3x + 2 = 0
x = atau x =
Maka himpunan penyelesaiannya adalah
PEMBAHASAN :
Cara melengkapkan kuadrat sempurna, langkah-langkahnya:
- Letakan suku-suku yang mengandung peubah (variabel) di ruas kiri sedangkan konstanta di ruas kanan
x2 + 6x – 16 = 0
x2 + 6x = 16 - Koefisien x2 nya harus satu, dalam persamaan tersebut koefisien x2 sudah 1.
- Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisen x
x2 + 6x + 32 = 16 + 32
(x + 3)2 = 25
x + 3 = ± 5
x + 3 = 5 atau x + 3 = -5
x = 2 atau x = -8
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x2 + 9x -5 = 0 dengan menggunakan metode rumus!
PEMBAHASAN :
Dari persamaan 2x2 + 9x -5 = 0 diperoleh informasi:
a = 2, b = 9, c = -5.
Menentukan himpunan penyelesaiannya menggunakan rumus:
Maka himpunan penyelesaiannya adalah {-5, ½}
PEMBAHASAN :
3x2 – 4x = 5
3x2 – 4x – 5 = 0
Maka :
a = 3, b = -4, dan c = -5, sehingga himpunan penyelesaiannya:
Maka himpunan penyelesaiannya =
PEMBAHASAN :
Persamaan dikali 4 agar tidak dalam bentuk pecahan
x 4
⇔6x2– 7x – 3 = 0
⇔ (2x – 3)(3x + 1) = 0
⇔ 2x – 3 = 0 atau 3x + 1 = 0
Maka himpunan penyelesaiannya adalah
PEMBAHASAN :
dikali x
⇔ x2 + 4 = 4 + 3x
⇔ x2 + 4 – 3x – 4 = 0
⇔ x2 – 3x = 0
⇔ x(x – 3) = 0
⇔ x = 0 atau x = 3
x = 0 tidak memenuhi karena jika dimasukan hasilnya tidak didefinisikan. Maka himpunan penyelesaiannya {3}
PEMBAHASAN :
- Diketahui:
x1 = 2 dan x2 = 3
(x – x1)(x – x2) = 0
(x – 2)(x – 3) = 0
x2 – 5x + 6 = 0 - Diketahui:
x1 = -5 dan x2 = 1
(x – x1)(x – x2) = 0
(x – (-5))(x – 1) = 0
(x + 5)(x – 1) = 0
x2 + 4x – 5 = 0 - Diketahui:
x1 =dan x2 =
(x – x1)(x – x2) = 0
6x2 – 4x – 5 = 0 - Diketahui:
x1 =dan x2 =
(x – x1)(x – x2) = 0
6x2 – 5x – 6 = 0
PEMBAHASAN
- Diketahui:
x1 = 2 dan x2 = 3
x1 + x2 = 2 + 3 = 5
x1 . x2 = (2)(3) = 6
Maka:
x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
x2 – 5x + 6 = 0 - Diketahui:
x1 = -5 dan x2 = 1
x1 + x2 = -5 + 1 = -4
x1 . x2 = (-5)(1) = -5
Maka:
x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
x2 – (-4)x + (-5) = 0
x2 + 4x – 5 = 0 - Diketahui:
Maka:
x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
x2 –x +
= 0
6x2 – 7x + 2 = 0 - Diketahui:
Maka:
x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
x2 –x – 1 = 0
6x2 – 5x – 6 = 0
PEMBAHASAN :
Jika dimisalkan:
lebar = x m
karena keliling 70 m dimana keliling = 2p + 2l = 2(p+l) = 70 m
maka p + l = 70/2 = 35 m
sehingga p = 35 – l = 35 – x m
Maka untuk menentukan x dapat diperoleh dari rumus luas
L = p x l = (35 – x).x = 300 m2
35x – x2 = 300
x2 + 35x – 300 = 0
(x – 15)(x – 20) = 0
x – 15 = 0 atau x – 20 = 0
x = 15 atau x = 20
sehinggal lebar = x m = 15 m (diambil yang lebih kecil karena lebih lebih pendek dibanding panjang)
dan panjangnya = 35 – 15 m = 20 m
- 2
- 5
- 6
- 8
PEMBAHASAN :
5x2 + 2x – 8
Pada bentuk aljabar di atas koefisien x adalah 2
Jawaban A
- 18x – y + 1
- 18x + y + 1
- – 18x – y – 1
- 18x + y – 1
PEMBAHASAN :
Diketahui:
p = 2x + 3y – 5
q = 6x – 4y + 8
Maka 3p + 2q dapat dihitung sebagai berikut:
3p + 2q = 3(2x + 3y – 5) + 2(6x – 4y + 8)
. = 6x + 9y – 15 + 12x – 8y + 16
. = 18x + y + 1
Jawaban B
- 17p – 13q – 12
- 17p + 13q + 12
- – 17p – 13q + 12
- 17p + 13q – 12
PEMBAHASAN :
Diketahui:
a = 4p – q – 3
b = 3p + 5q + 6
Maka
2a + 3b = 2(4p – q – 3) + 3(3p + 5q + 6)
. = 8p – 2q – 6 + 9p + 15q + 18
. = 17p + 13q + 12
Jawaban B
- – 2p2 q3 – 7pq2 r – 15qr2
- 2p2 q3 + 7pq2 r – 15qr2
- 2p2 q3 + 7pq2 r + 15qr2
- 2p2 q3 – 7pq2 r – 15qr2
PEMBAHASAN :
(2pq2 + 3qr)(pq – 5r)
⇔ 2pq2 (pq – 5r) + 3qr (pq – 5r)
⇔ 2p2 q3 – 10pq2 r + 3pq2 r – 15qr2
⇔ 2p2 q3 – 7pq2 r – 15qr2
Jawaban D

PEMBAHASAN :
Jawaban C
- 2x + 5y
- 3x – 6y + 5
- 7xy – 4
- x2 – 2xy + 3y2 – 5z
PEMBAHASAN :
- 2x + 5y (bentuk aljabar bersuku dua)
- 3x – 6y + 5 (bentuk aljabar bersuku tiga)
- 7xy-4 (bentuk aljabar bersuku 2)
- x2 – 2xy + 3y2 – 5z (bentuk aljabar bersuku empat)
Jawaban B
- x3 dan y3
- 2x2 y dan 2xy2
- 3x2 y2 dan 2x2 y2
- x3 y2 dan 5x2 y3
PEMBAHASAN :
Suku dalam aljabar dibagi menjadi dua, yaitu:
- Suku sejenis: suku dengan variable serta pangkat yang sama pada masing-masing variabelnya.
- Suku tidak sejenis: suku dengan variable serta pangkat yang berbeda pada masing-masing variabelnya.
Jawaban C
- – 2x2 + 5x – 13
- 2x2 – 5x – 13
- 2x2 + 5x + 13
- 2x2 + 5x – 13
PEMBAHASAN :
(6x2 + 3x – 8) – (4x2 – 2x + 5)
⇔ 6x2 + 3x – 8 – 4x2 + 2x – 5
⇔ 2x2 + 5x – 13
Jawaban D
- 6x2 – 7x – 5
- 6x2 + 7x – 5
- 6x2 – 7x + 5
- – 6x2 – 7x – 5
PEMBAHASAN :
(2x + 1)(3x – 5)
⇔ 2x(3x – 5) + 1(3x – 5)
⇔ 6x2 – 10x + 3x – 5
⇔ 6x2 – 7x – 5
Jawaban A

PEMBAHASAN :
Pembagian pecahan bentuk aljabar caranya dengan mengubah ke bentuk perkalian dengan membalik pecahan pembaginya, pembilang jadi penyebut dan penyebut jadi pembilang.
Jawaban B

PEMBAHASAN :
Jawaban B

- 0
- 1
- 2
- 3
PEMBAHASAN :
Dari persamaan di atas didapat nilai a = 1 dan b = 2
Maka a + b = 1 + 2 = 3
Jawaban D

PEMBAHASAN :
Jawaban C
- 3
- 4
- 10
- 15
PEMBAHASAN :
(2x +3y)(px + qy) = 2x(px + qy) + 3y(px + qy) = 2px2 + 2xqy + 3ypx + 3qy2
⇔ 2px2 + 2xqy + 3ypx + 3qy2 = rx2 +23xy + 12y2
⇔ 2px2 + (2xqy + 3ypx) + (3q)y2 = rx2 +23xy + 12y2
Menentukan nilai q
2p = r
3q = 12
q = 4
Menentukan nilai p
2xqy + 3ypx = 23xy
⇔ 2q + 3p = 23
⇔ 2(4) + 3p = 23
⇔ 3p = 15
⇔ p = 5
Menentukan nilai r
2p = r
r = 2 x 5 = 10
Jawaban C

PEMBAHASAN :
Jawaban C
- 5p2 + 14pq + 26q2
- – 5p2 + 14pq + 26q2
- – 5p2 – 14pq – 26q2
- 5p2 + 14pq – 26q2
PEMBAHASAN :
(2p + 5q)2 – (3p – q)2 = {(2p)2 + 2(2p)(5q) + (5q)2 } – {(3p)2 + 2(3p)(- q) + (-q)2
⇔ 4p2 + 20pq + 25q2 – 9p2 – 6pq + q2
⇔ – 5p2 + 14pq + 26q2
Jawaban B

PEMBAHASAN :
Jawaban A
- x5 y4 z6
- x6 y4 z8
- x2 y2 z2
- x z2
PEMBAHASAN :
Operasi hitung pada pangkat sebagai berikut:
(pa )b = paxb
Maka (x3 y2 z4 )2 = x3×2 y2×2 z4×2 = x6 y4 z8
Jawaban B
- 10x2 + 11x – 35
- x2 + 10x – 35
- 10x2 – 11x – 35
- 10x2 + 11x – 15
PEMBAHASAN :
(2x + 5)(5x – 7) = 2x(5x – 7) + 5(5x – 7)
⇔ 2x (5x) + 2x(-7) + 5(5x) + 5(-7)
⇔ 10x2 – 14x + 25x – 35
⇔ 10x2 + 11x – 35
Jawaban A
- -9
- -10
- -11
- -12
PEMBAHASAN :
(2x + 3)(5x + 2) = 2x(5x + 2) + 3(5x+2) = 10x2 + 4x + 15x + 6 = 10x2 + 19x + 6
⇔ 10x2 + 19x +96 = px2 – qx – 6
⇔ p = 10 , q = 19
Maka nilai p – q = 10 – 19 = -9
Jawaban A
- 4a2 b(b + 6)
- 4a b(b – 6)
- 4a2 b2(b + 6)
- 4a2 b2(b – 6)
PEMBAHASAN :
Menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 4a2 b2 – 24a2 b yaitu 4a2 b
Maka bentuk sederhana dari 4a2 b2 + 24a2b = 4a2 b(b + 6)
Jawaban A
- (a – y)(x + q)
- (x – y)(p + q)
- (x + y)(p – q)
- (p – q)(x + y)
PEMBAHASAN :
Faktor dari p(x – y) + q(x – y) = (x – y)
Maka pemfaktoran dari p(x – y) + q(x – y) = (x – y)(p + q)
Jawaban B

PEMBAHASAN :
Menentukan faktor dari x2 – 16 = (x + 4)(x – 4)
Maka:
Jawaban B

PEMBAHASAN :
Jawaban C

PEMBAHASAN :
Jawaban C
- 8(x + 2)(x – 4)
- 8(x – 2)(x – 2)
- 4(x + 2)(x – 4)
- 8(x + 2)(x – 2)
PEMBAHASAN :
Maka pemfaktoran dari 8x2 -32 = 8(x2 – 4) = 8(x + 2)(x – 2)
Jawaban C
- (16x + 13y)(16x – 13y)
- (16x – 13y)(16x – 13y)
- (- 16x + 13y)(- 16x + 13y)
- (16x + 13y)(16x + 13y)
PEMBAHASAN :
Bentuk dasar aljabar x2 – y2 = (x + y)(x – y)
Maka pemfaktoran dari 256x2 – 169y2 = (16x + 13y)(16x – 13y)
Jawaban A

PEMBAHASAN :
Jawaban D

PEMBAHASAN :
Jawaban B
- (7 + y)(9x + y)
- (- 7x + y)(- 9x – y)
- (7x + y)(x + y)
- (7x + y)(9x – y)
PEMBAHASAN :
64x2 – (x – y)2 = {8x – (x – y)}{8x + (x – y)}
⇔ (8x – x + y)(8x + x – y)
⇔ (7x + y)(9x – y)
Jawaban D
- (2p + q)(2p – q)(p – 2q)(p + 2q)
- ( ½ p + q)( ½ p – q)(p – 2q)(p + 2q)
- ( ½ p2 + q)( ½ p2 – q)(p – 2q)(p + 2q)
- ( ¼ p + q)( ¼ p – q)(p – 2q)(p + 2q)
PEMBAHASAN :
¼ p4 – 2p2 q2 + 4q4 = ( ½ p2 – q2 )( ½ p2 – q2)
⇔ ½ (p2 – 4q2) ½ (p2 – 4q2)
⇔ ½ (p + 2q)(p – qy) ½ (p + 2q)(p – 2q)
⇔ ( ½ p + q)( ½ p – q)(p – 2q)(p + 2q)
Jawaban B
- x – 2
- x + 3
- x – 1
- x + 1
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Luas = (x2 – 5x + 4) cm
a = 1
b = – 5
c = 4
Lebar = (x – 4) cm
Menentukan x1 dan x2 sebagai berikut:
Menentukan faktor dari persamaan x2 – 5x + 4 = (x – x1 )(x – x2 )
⇔ x – x1 = x – 4
⇔ x – x2 = x – 1
Maka untuk menghitung panjang persegi panjang tersebut, yaitu:
Luas persegi panjang = panjang x lebar
Jawaban C
- (0,2x + 0,3)2x – 3)
- (0,2x – 0,3)(2x + 3)
- 2(0,2x + 0,3)(2x – 3)
- 2(0,2x + 0,3)(2x + 3)
PEMBAHASAN :
Diketahui:
a = 0,8
b = – 2,4
c = – 1,8
Maka faktor dari 0,8x2 – 2,4x – 1,8 = (0,4x + 0,6)(2x – 3)
⇔ 2(0,2x + 0,3)(2x – 3)
Jawaban C
- 3x – 5
- 6x – 10
- 2x + 3
- 6x + 5
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Luas = (6x2 – 19x + 15) cm
Tinggi = (2x – 3) cm
Maka untuk menghitung panjang alasnya, sebagai berikut:
L segitiga = ½ x alas x tinggi
6x2 – 19x + 15 = ½ x alas x 2x – 3
2(6x2 – 19x + 15) = 2x – 3 x alas
Jawaban B

PEMBAHASAN :
Jawaban B

PEMBAHASAN :
Jawaban C

PEMBAHASAN :
Jawaban A
- p3 + 3p2 q2 + 3p2 q2 + q3
- p3 – 3p2 q – 3pq2 – q3
- p2 + 3p2 q3 + 3p3 q2 + q2
- p3 + 3p2 q + 3pq2 + q3
PEMBAHASAN :
Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk aljabar, maka gunakan pola segitiga pascal sebagai berikut:
1
1 1
1 2 1 → (p + q)2 = p2 + 2pq + q2
1 3 3 1 → (p + q)3 = p3 + 3p2 q + 3pq2 + q3
1 4 6 4 1 → (p + q)4 = p4 + 4p3 q + 6p2 q2 + 4pq3 + q4
Dst
Jawaban D
- – 44
- – 55
- – 66
- – 77
PEMBAHASAN :
a = 144 →√144 = 12
b = -p
c = 100 → √100 = 10
Maka untuk menentukan nilai p dapat dihitung sebagai berikut:
b = – p = 2 x (12 + 10) = 44
p = -44
Jawaban A
- 5x2 + 11x2 – 12
- 15x2 + 11x2 + 12
- – 15x2 – x2 – 12
- 15x2 – 11x2 – 12
PEMBAHASAN :
(5x + 3)(3x – 4) = 5x(3x – 4) + 3(3x – 4)
⇔ 15x2 – 20x + 9x2 – 12
⇔ 15x2 – 11x2 – 12
Jawaban D
- Konstanta
- Suku
- Variabel
- Koefisien
PEMBAHASAN :
- Konstanta: bentuk aljabar yang tidak memuat variabel
- Suku: Variabel disertai koefisien, juga konstanta dalam bentuk aljabar yang dipisahkan oleh tanda operasi hitung
- Variabel: pengganti bilangan yang masih harus dicari
- Koefisien: konstanta dari suatu suku
Jawaban B
- 9x + 13y – 4
- 5x + 13y + 4
- 9x – 12y – 4
- 4x + 13y – 2
PEMBAHASAN :
Diketahui:
p = 2x + 6y – 3
q = 5x + y + 2
Maka 2p + q dapat dihitung sebagai berikut:
2p + q = 2 (2x + 6y – 3) + (5x + y + 2)
= 4x +12y – 6 + 5x + y + 2
= 9x + 13y – 4
Jawaban A
- x2 + 2x + 2
- 2x2 – 2x – 1
- 2x2 + 2x – 5
- 3x2 + x – 2
PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan kuadrat:
5x2 – 2x – 13 dan 3x2 – 4x – 8
Maka pengurangan dari kedua persamaan tersebut:
(5x2 – 2x – 13) – (3x2 – 4x – 8)
= 5x2 – 2x – 13 – 3x2 + 4x + 8
= 2x2 + 2x – 5
Jawaban C
- 5
- – 3
- 0
- – 1
PEMBAHASAN :
Diketahui:
(2x + 1)(x – 3) = ax2 + bx – 5
2x2 – 6x + x – 3 = ax2 + bx – 5
2x2 – 5x – 3 = ax2 + bx – 5
Diperoleh:
a = 2 dan b = – 5
Maka nilai a + b dapat dihitung sebagai berikut:
a + b = 2 + (- 5) = – 3
Jawaban B
- p + 10q – 14
- 3p + 8q + 14
- 2p – 11q – 14
- 3p + 11q – 14
PEMBAHASAN :
Diketahui:
a = 2(p + 2q – 5) → 2p + 4q – 10
b = (p – 3q – 6)
Maka nilai 2a + b dapat dihitung sebagai berikut:
2a – b = 2(2p + 4q – 10) – (p – 3q – 6)
= 4p + 8q – 20 – p + 3q + 6
= 3p + 11q – 14
Jawaban D
Makasih , tolong contoh soal jangan banyak , saya mau 20 soal aja atau 10 , karena 50 banyak untuk murid