Rangkuman Fungsi Kuadrat Kelas X/10

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat dua dalam variabel x.

Bentuk Umum

Bentuk umum fungsi kuadrat: ƒ(x) = ɑx² + bx + c , (a, b, dan c ∈ R, ɑ ≠ 0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Grafik fungsi kuadrat dalam bidang Cartesius dikenal sebagai parabola.

1. Koordinat titik puncak atau titik balik
   ƒ(x) = y = ɑx² + bx + c , (a, b, dan c ∈ R, ɑ ≠ 0) mempunyai titik puncak atau titik balik
   
   
2. Sumbu simetri x = x_p
3. Nilai maksimum/minimum y = y_p

Sifat Kurva Parabola

1. Berdasarkan koefisien “ɑ”
   Nilai a berfungsi untuk menentukan arah membukanya sebuah grafik.
   • Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sedangkan titik baliknya minimum sehingga mempunyai nilai minimum.
   • Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah sedangkan titik baliknya maksimum sehingga mempunyai nilai maksimum.

2. Berdasarkan koefisien “b”
   Nilai b berfungsi untuk menentukan posisi sumbu simetri pada grafik.
   • Untuk a dan b bertanda sama (a > 0, b > 0) atau (a < 0, b <0) maka, sumbu simetri berada di kiri sumbu y.
   • Untuk a dan b berlainan tanda (a < 0, b > 0) atau (a > 0, b < 0) maka, sumbu simetri berada di kanan sumbu y.

3. Berdasarkan koefisien “c”
   Nilai c berfungsi untuk menentukan titik potong dengan sumbu y.
   • Jika c > 0, grafik parabola memotong di sumbu y positif.
   • Jika c < 0, grafik parabola memotong di sumbu y negatif.

4. Berdasarkan D = b² – 4ac (diskriminan)
   • Jika D > 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. Parabola akan memotong sumbu x di dua titik. Untuk D kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional, sedangkan D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional.
   • Jika D = 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional. Parabola akan menyinggung di sumbu x.
   • Jika D < 0 persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner). Parabola tidak memotong dan tidak menyinggung di sumbu x.
   1. Untuk D < 0, a > 0 parabola akan selalu berada di atas sumbu x atau disebut definit positif.
   2. Untuk D < 0, ɑ < 0 parabola akan selalu berada di bawah sumbu x atau disebut definit negatif.

Menyusun Fungsi kuadrat

1. Apabila memotong di sumbu x di (x₁,0) dan (x₂,0), maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – x₁) (x – x₂).
2. Apabila titik puncak (x_p, y_p) maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – x_p)² + y_p.
3. Apabila menyinggung sumbu x di (x₁,0) maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – x₁)².

Hubungan Garis Dengan Parabola

Berdasarkan D = b² – 4ac, kedudukan garis terhadap parabola dibagi menjadi 3, yaitu:

1. 1. D > 0 artinya garis akan memotong parabola di dua titik.

1. D = 0 artinya garis memotong parabola di satu titik (menyinggung)
2. D < 0 artinya garis tidak memotong dan tidak menyinggung parabola.

Contoh Soal & Pembahasan Fungsi Kuadrat Kelas X/10

1. -7
2. -8
3. -9
4. -10
5. -11

PEMBAHASAN :
Diketahui titik puncak ( x_p , y_p) = (-2,0), melalui titik (x , y) = (0,-4)
Rumus yang sesuai apabila diketahui titik puncak:
y = f(x) = a(x-x_p )² + y_p

Untuk mencari nilai a:
y = f(x) = a(x-x_p)² + y_p
y = a(x+2)² + 0
-4 = a(0+2)² + 0
-4 = 4a
a = -1

Sehingga
f(x) = -(x + 2)², dengan f(-5)
f(-5) = -(-5 + 2)² = -9
Jawaban : C

1. -3
2. -3/2
3. -1
4. 2/3
5. 3

PEMBAHASAN :
Diketahui:
y = px² + (p – 3)x + 2
x_p = p

Ditanyakan: nilai p = …
Untuk menentukan absis titik puncak = x_p = – b/2a

-p + 3 = 2p²
2p² + p – 3 = 0
(2p + 3)(p – 1) = 0
p = – 3/2 atau p = 1
Maka, nilai p yang sesuai adalah p = – 3/2
Jawaban : B

1. a > 0, b > 0 dan c > 0
2. a < 0, b < 0 dan c > 0
3. a < 0, b > 0 dan c < 0
4. a > 0, b > 0 dan c < 0
5. a < 0, b > 0 dan c > 0

PEMBAHASAN :
Diketahui titik puncak (8,4)
maka grafik terbuka ke bawah, maka a < 0
x_p = -b/2a = 8, karena a < 0 → b > 0
D = b² – 4ac, syarat memotong sumbu x negatif D > 0
karena b > 0 dan a < 0, maka:
b² – 4ac > 0
(+) – 4(-)c > 0
c > 0
Jawaban : E

1. {y|-3 ≤ y ≤ 5, x ∈ R}
2. {y|-3 ≤ y ≤ 3, x ∈ R}
3. {y|-13 ≤ y ≤ -3, x ∈ R}
4. {y|-13 ≤ y ≤ 3, x ∈ R}
5. {y|-13 ≤ y ≤ 5, x ∈ R}

PEMBAHASAN :
Diketahui: {x|-2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}
x = -2, x = 1, x = 3
f(x) = -2x² + 4x + 3
x_p = -b/2a = -4/(2.-2) = 1
Untuk x = -2 → f (-2) = – 2(- 2)² + 4 (- 2) + 3 = – 8 – 8 + 3 = – 13
Untuk x = 1 → f(1)= -2(1)² + 4(1) + 3 = -2 + 4 + 3 = 5
Untuk x = 3 → 3 f(3) = -2(3)² + 4(3) + 3 = -18 + 12 + 3 = – 3
Maka, {y|-13 ≤ y ≤ 5, x ∈ R}
Jawaban : E

1. (-2,-3)
2. (-2,-2)
3. (-2,0)
4. (-2,1)
5. (-2,5)

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Asumsikan persamaan parabola  y = ax² + bx + c
parabola simetris terhadap garis x_p = -2
Tentukan x_p = -b/2a =-2 → b = 4
garis ≡ 4x+y = 4 → m_g = -4
karena  sejajar  maka m_parabola = m_garis = -4
m_parabola = y
2ax + b = -4 melalui titik (0,1)
2a(0) + b = -4
b = -4
Untuk menentukan x_p dan y_p:
b = 4a
-4 = 4a
a = -1

persamaan parabola y = ax² + bx + c
y = -x² – 4x + c melalui titik (0,1)
1 = -0² – 4(0) + c
c = 1

Maka dapat dihitung y = -x² – 4x + 1
x_p = -b/2a = -(-4)/2(-1) = -2 dan y_p = -(-2)² – 4(-2) +1= 5
Titik puncak parabola adalah (-2,5)
Jawaban : E

1. y = 2x² + 8x – 6
2. y = -2x² + 8x – 6
3. y = 2x² – 8x + 6
4. y = -2x² – 8x – 6
5. y = -x²  + 4x – 6

PEMBAHASAN :
Untuk titik C (0,-6) → x = 0, y = – 6
Untuk titik A (1,0) dan B (3,0) → x₁ = 1, x₂ = 3
Maka rumus yang berlaku y = a(x – x₁)(x – x₂)
y = a(x – 1)(x – 3)
– 6 = (0 – 1)(0 – 3)
– 6 = 3a
a = – 2

Menentukan fungsi kuadrat:
y = a(x – x₁)(x – x₂)
y = – 2(x – 1)(x – 3)
y = – 2(x² – 4x + 3)
y = – 2x² + 8x – 6
Jawaban : B

1. 6
2. 4
3. -4
4. -5
5. -6

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

 

PEMBAHASAN :
Diketahui:
(x_p , y_p) = (1,4)
(x , y)  = (0,3)
Ditanyakan: Fungsi kuadrat yang terbentuk
Untuk parabola yang memiliki titik puncak rumus yang berlaku sebagai berikut:
y = a(x – x_p)² + y_p
y = a (x – 1)² + 4
3 = a(0 -1)² + 4
3 = a + 4
a = -1

Fungsi kuadrat yang terbentuk adalah
y = a(x – x_p)² + y_p
y = -1(x -1)² + 4
y = -x² + 2x + 3
Jawaban : C