DAFTAR ISI
Rangkuman Fungsi Kuadrat Kelas X/10
Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat dua dalam variabel x.
Bentuk Umum
Bentuk umum fungsi kuadrat: ƒ(x) = ɑx2 + bx + c , (a, b, dan c ∈ R, ɑ ≠ 0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Grafik fungsi kuadrat dalam bidang Cartesius dikenal sebagai parabola.
- Koordinat titik puncak atau titik balik
ƒ(x) = y = ɑx2 + bx + c , (a, b, dan c ∈ R, ɑ ≠ 0) mempunyai titik puncak atau titik balik
- Sumbu simetri x = xp
- Nilai maksimum/minimum y = yp
Sifat Kurva Parabola
- Berdasarkan koefisien “ɑ”
Nilai a berfungsi untuk menentukan arah membukanya sebuah grafik.- Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sedangkan titik baliknya minimum sehingga mempunyai nilai minimum.
- Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah sedangkan titik baliknya maksimum sehingga mempunyai nilai maksimum.
- Berdasarkan koefisien “b”
Nilai b berfungsi untuk menentukan posisi sumbu simetri pada grafik.- Untuk a dan b bertanda sama (a > 0, b > 0) atau (a < 0, b <0) maka, sumbu simetri berada di kiri sumbu y.
- Untuk a dan b berlainan tanda (a < 0, b > 0) atau (a > 0, b < 0) maka, sumbu simetri berada di kanan sumbu y.
- Berdasarkan koefisien “c”
Nilai c berfungsi untuk menentukan titik potong dengan sumbu y.- Jika c > 0, grafik parabola memotong di sumbu y positif.
- Jika c < 0, grafik parabola memotong di sumbu y negatif.
- Berdasarkan D = b2 – 4ac (diskriminan)
- Jika D > 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. Parabola akan memotong sumbu x di dua titik. Untuk D kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional, sedangkan D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional.
- Jika D = 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional. Parabola akan menyinggung di sumbu x.
- Jika D < 0 persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner). Parabola tidak memotong dan tidak menyinggung di sumbu x.
- Untuk D < 0, a > 0 parabola akan selalu berada di atas sumbu x atau disebut definit positif.
- Untuk D < 0, ɑ < 0 parabola akan selalu berada di bawah sumbu x atau disebut definit negatif.
Menyusun Fungsi kuadrat
- Apabila memotong di sumbu x di (x1,0) dan (x2,0), maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – x1) (x – x2).
- Apabila titik puncak (xp, yp) maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – xp)2 + yp.
- Apabila menyinggung sumbu x di (x1,0) maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – x1)2.
Hubungan Garis Dengan Parabola
Berdasarkan D = b2 – 4ac, kedudukan garis terhadap parabola dibagi menjadi 3, yaitu:
- D > 0 artinya garis akan memotong parabola di dua titik.
- D = 0 artinya garis memotong parabola di satu titik (menyinggung)
- D < 0 artinya garis tidak memotong dan tidak menyinggung parabola.
Contoh Soal & Pembahasan Fungsi Kuadrat Kelas X/10
PEMBAHASAN :
Garis singgung 1, di (2,5) :
- Gradien l1 : m1 = y1‘ = (x2 + 1)’ = 2x = 2.(2) = 4
- l1 : y – 5 = 4(x-2)
⇒ y = 4x – 3
⇒ -4x + y + 3 = 0
Garis singgung 2
- Gradien l2 : m2 = m1 (karena l1 // l2)
⇒ m2 = 4
⇒ (1 – x2 = 4
⇒ -2x = 4
⇒ x = -2, y = 1 – (-2)2 = -3
- 21/4
- 33/4
- 52
- 184
- 200
PEMBAHASAN :
mpq = y’x = a
⇒ m = 6a
⇒ 3a2 = 6a2-24a
⇒ 0 = 3a2-24a
⇒ 0 = 3a-24
⇒ 8 = a
b = 3.(8)2 = 192
∴ a+b = 8+192 = 200
Jawaban E
- -7
- -8
- -9
- -10
- -11
PEMBAHASAN :
Diketahui titik puncak ( xp , yp) = (-2,0), melalui titik (x , y) = (0,-4)
Rumus yang sesuai apabila diketahui titik puncak:
y = f(x) = a(x-xp )2 + yp
Untuk mencari nilai a:
y = f(x) = a(x-xp)2 + yp
y = a(x+2)2 + 0
-4 = a(0+2)2 + 0
-4 = 4a
a = -1
Sehingga
f(x) = -(x + 2)2, dengan f(-5)
f(-5) = -(-5 + 2)2 = -9
Jawaban : C
- -3
- -3/2
- -1
- 2/3
- 3
PEMBAHASAN :
Diketahui:
y = px2 + (p – 3)x + 2
xp = p
Ditanyakan: nilai p = …
Untuk menentukan absis titik puncak = xp = – b/2a
-p + 3 = 2p2
2p2 + p – 3 = 0
(2p + 3)(p – 1) = 0
p = – 3/2 atau p = 1
Maka, nilai p yang sesuai adalah p = – 3/2
Jawaban : B
Jika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-x negatif maka …
- a > 0, b > 0 dan c > 0
- a < 0, b < 0 dan c > 0
- a < 0, b > 0 dan c < 0
- a > 0, b > 0 dan c < 0
- a < 0, b > 0 dan c > 0
PEMBAHASAN :
Diketahui titik puncak (8,4)
maka grafik terbuka ke bawah, maka a < 0
xp = -b/2a = 8, karena a < 0 → b > 0
D = b2 – 4ac, syarat memotong sumbu x negatif D > 0
karena b > 0 dan a < 0, maka:
b2 – 4ac > 0
(+) – 4(-)c > 0
c > 0
Jawaban : E
- {y|-3 ≤ y ≤ 5, x ∈ R}
- {y|-3 ≤ y ≤ 3, x ∈ R}
- {y|-13 ≤ y ≤ -3, x ∈ R}
- {y|-13 ≤ y ≤ 3, x ∈ R}
- {y|-13 ≤ y ≤ 5, x ∈ R}
PEMBAHASAN :
Diketahui: {x|-2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}
x = -2, x = 1, x = 3
f(x) = -2x2 + 4x + 3
xp = -b/2a = -4/(2.-2) = 1
Untuk x = -2 → f (-2) = – 2(- 2)2 + 4 (- 2) + 3 = – 8 – 8 + 3 = – 13
Untuk x = 1 → f(1)= -2(1)2 + 4(1) + 3 = -2 + 4 + 3 = 5
Untuk x = 3 → 3 f(3) = -2(3)2 + 4(3) + 3 = -18 + 12 + 3 = – 3
Maka, {y|-13 ≤ y ≤ 5, x ∈ R}
Jawaban : E
- (-2,-3)
- (-2,-2)
- (-2,0)
- (-2,1)
- (-2,5)
PEMBAHASAN :
Diketahui:
Asumsikan persamaan parabola y = ax2 + bx + c
parabola simetris terhadap garis xp = -2
Tentukan xp = -b/2a =-2 → b = 4
garis ≡ 4x+y = 4 → mg = -4
karena sejajar maka mparabola = mgaris = -4
mparabola = y
2ax + b = -4 melalui titik (0,1)
2a(0) + b = -4
b = -4
Untuk menentukan xp dan yp:
b = 4a
-4 = 4a
a = -1
persamaan parabola y = ax2 + bx + c
y = -x2 – 4x + c melalui titik (0,1)
1 = -02 – 4(0) + c
c = 1
Maka dapat dihitung y = -x2 – 4x + 1
xp = -b/2a = -(-4)/2(-1) = -2 dan yp = -(-2)2 – 4(-2) +1= 5
Titik puncak parabola adalah (-2,5)
Jawaban : E
- y = 2x2 + 8x – 6
- y = -2x2 + 8x – 6
- y = 2x2 – 8x + 6
- y = -2x2 – 8x – 6
- y = -x2 + 4x – 6
PEMBAHASAN :
Untuk titik C (0,-6) → x = 0, y = – 6
Untuk titik A (1,0) dan B (3,0) → x1 = 1, x2 = 3
Maka rumus yang berlaku y = a(x – x1)(x – x2)
y = a(x – 1)(x – 3)
– 6 = (0 – 1)(0 – 3)
– 6 = 3a
a = – 2
Menentukan fungsi kuadrat:
y = a(x – x1)(x – x2)
y = – 2(x – 1)(x – 3)
y = – 2(x2 – 4x + 3)
y = – 2x2 + 8x – 6
Jawaban : B
- 6
- 4
- -4
- -5
- -6
- y = -2x2 + 4x + 3
- y = -2x2 + 4x + 2
- y = -x2 + 2x + 3
- y = -2x2 + 4x – 6
- y = -x2 + 2x – 5
PEMBAHASAN :
Diketahui:
(xp , yp) = (1,4)
(x , y) = (0,3)
Ditanyakan: Fungsi kuadrat yang terbentuk
Untuk parabola yang memiliki titik puncak rumus yang berlaku sebagai berikut:
y = a(x – xp)2 + yp
y = a (x – 1)2 + 4
3 = a(0 -1)2 + 4
3 = a + 4
a = -1
Fungsi kuadrat yang terbentuk adalah
y = a(x – xp)2 + yp
y = -1(x -1)2 + 4
y = -x2 + 2x + 3
Jawaban : C
Semangat