Rangkuman Logika Matematika Kelas 11

Operasi Logika

Operasi pada logika matematika ada 5, yaitu:

1. Negasi/ ingkaran ( bukan …)
   Negasi atau ingkaran apabila dari sebuah pernyataan dapat membubuhkan kata tidak benar atau dapat menyisipkan kata bukan. Jika P adalah sebuah pernyataan, maka negasi/ ingkarannya dapat ditulis ∼P.
2. Disjungsi (… atau …)
   Disjungsi apabila pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan, misalkan p dan q yang dirangkaikan menggunakan kata hubung atau. Dapat dilambangkan p ∨ q, dibaca p atau q.
3. Konjungsi (… dan ….)
   Konjungsi apabila pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan, misalkan p dan q yang dirangkaikan menggunakan kata hubung dan. Dapat dilambangkan p ∧ q, dibaca p dan q.
4. Implikasi (jika … maka …)
   Implikasi bisa diartikan dengan pernyataan bersyarat/ kondisional, apabila pernyataan majemuk disusun dari dua buah pernyataan. Misalkan jika p maka q dilambangkan p ⇒ q.
5. Biimplikasi/implikasi dwiarah (jika dan hanya jika …)
   Biimpikasi apabila pernyataan dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung “ jika dan hanya jika”. Misalkan p jika dan hanya jika q dilambangkan p⇔q

Tabel Kebenaran

Kuantor

Suatu ungkapan yang diterapkan pada kalimat terbuka dengan satu variabel dan dapat mengubahnya menjadi kalimat tertutup disebut kuantor. Ada 2 macam Kuantor, yaitu:

1. Kuantor Universal 
   Suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, dilambangkan   dibaca “untuk semua nilai x”.
2. Kuantor Eksistensial
   Suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, dilambangkan  dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x”.

Negasi pernyataan majemuk

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Hubungan nilai kebenaran dari suatu implikasi p   q diperoleh:

1. q ⇒ p disebut konvers dari p ⇒ q
2. ~ p⇒ ~ q disebut invers dari p ⇒ q
3. ~ q ⇒ p disebut kontraposisi dari p ⇒ q

Ekuivalensi

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Pernyataan  ekuivalensi ada dua, yaitu:

1. p ⇒ q ≡ ~ p v q
2. p ⇒ q ≡ ~q ⇒ p

Penarikan Kesimpulan

Proses penarikan kesimpulan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya disebut premis. cara menarik kesimpulan dari 2 premis sebagai berikut:

1. Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)
   Premis 1 : p ⇒ q
   Premis 2 : p
   Kesimpulan : q
2. Modus Tolens (Kaidah Penolakan Akibat)
   Premis 1 : p ⇒ q
   Premis 2 : ~q
   Kesimpulan : ~p          
3. Silogisme (Sifat Menghantar atau Transitif)
   Premis 1 : p ⇒ q
   Premis 2 : q ⇒ r
   Kesimpulan : p ⇒ r

Contoh Soal & Pembahasan Logika Matematika Kelas 11

1. Petani panen tomat dan harga tomat murah
2. Petani panen tomat dan harga tomat mahal
3. Petani tidak panen tomat atau harga tomat tidak murah
4. Petani tidak panen tomat dan harga tomat murah
5. Petani tidak panen tomat dan harga tomat tidak murah

PEMBAHASAN :
Berlaku: ~ (p ∨ q) ≡ ~ p ∧  ~ q

Maka ingkarannya sebagai berikut: “ Petani tidak panen tomat dan harga tomat tidak murah “
Jawaban : E

1. Jika saya tidak pergi ke pantai maka Andi sudah sehat
2. Jika saya pergi ke pantai maka Andi sudah sehat
3. Jika Andi sudah sehat maka saya pergi ke pantai
4. Andi sudah sehat dan saya pergi ke pantai
5. Saya jadi pergi ke pantai atau Andi tidak sehat

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Andi sudah sehat
q = Saya diajak piknik
r = saya pergi ke pantai
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r (silogisme)
Maka: “ Jika Andi sudah sehat maka saya pergi ke pantai “.
Jawaban : C

1. Silogisme, Ponens, dan Tollens
2. Silogisme, Konvers, dan Invers
3. Ponens, Tollens, dan Kontraposisi
4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
5. Negasi, Disjungsi, dan Konjungsi

PEMBAHASAN :
Penarikan kesimpulan melalui logika matematika dapat dilakukan melalui silogisme, modus ponens, dan modus tollens.
Jawaban : A

1. Budi rajin belajar dan rajin mengaji
2. Budi rajin belajar dan Budi tidak rajin mengaji
3. Budi tidak rajin belajar atau Budi tidak rajin mengaji
4. Budi tidak rajin belajar atau Budi rajin mengaji
5. Budi rajin belajar atau Budi tidak rajin mengaji

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Budi rajin belajar
q = Budi rajin mengaji
r = Ibu membelikan  telepon genggam
Premis i : (p ∧ q) ⇒ r
Premis ii : ~ r
Kesimpulan:  ~ (p ∧ q) ≡ p ∨ ~ q
Maka: “ Budi tidak rajin belajar atau Budi tidakn rajin mengaji “
Jawaban : C

1. Silogisme
2. Tollens
3. Ponens
4. Implikasi
5. Kontraposisi

PEMBAHASAN :
Diketahui premis-premis yaitu:
~ p ⇒ q
~ r ⇒ ~ q
∴ ~ r ⇒ p
Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari premis-premis majemuk.  Maka premis di atas adalah silogisme.
Jawaban : A

1. Jika ABCD bukan persegi panjang maka ABCD persegi
2. Jika ABCD bukan persegi maka ABCD persegi panjang
3. Jika ABCD persegi panjang maka ABCD persegi
4. Jika ABCD bukan persegi maka ABCD bukan persegi panjang d
5. Jika ABCD bukan persegi panjang maka ABCD bukan persegi

PEMBAHASAN :
Kontraposisi dari p ⇒ q adalah ~ q ⇒ ~ p. Sehingga kontraposisi dari “ Jika ABCD persegi, maka ABCD persegi panjang “ yaitu “ Jika ABCD bukan persegi panjang maka ABCD bukan persegi “.
Jawaban : E

1. Risa tidak berkulit coklat dan Hany tidak berkulit putih
2. Risa tidak berkulit coklat atau Hany tidak berkulit putih
3. Risa berkulit putih tetapi Hany berkulit coklat
4. Risa berkulit coklat atau hany berkulit putih
5. Risa berkulit coklat dan Hany berkulit tidak putih

PEMBAHASAN :
“ Risa berkulit coklat dan Hany berkulit putih “
Ingkaran atau negasi untuk pernyataan di atas adalah ~ (p Ù q) º ~ p Ú ~ q
jadi kesimpulannya: “ Risa tidak berkulit coklat atau Hany tidak berkulit putih “.
Jawaban : B

1. Jika sungai itu tidak kotor maka sungai itu tidak banyak sampahnya
2. Jika sungai itu banyak sampahnya maka sungai itu kotor
3. Jika sungai itu tidak banyak sampahnya maka sungai itu tidak kotor
4. Jika sungai itu kotor maka sampahnya tidak banyak
5. Jika sungai itu kotor maka sungai itu banyak sampahnya

PEMBAHASAN :
Implikasi p ⇒ q maka kontraposisinya yaitu ~ q ⇒ ~ p
Sehingga kontraposisinya sebagai berikut: “ Jika sungai tidak banyak sampah maka sungai itu tidak kotor “.
Jawaban : C

1. Ridwan pintar, tapi tidak disenangi ibu
2. Ridwan pintar
3. Ridwan disenangi ibu
4. Ridwan tidak pintar
5. Ridwan disenangi kakek

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = Ridwan pintar
q = Ridwan disenangi ibu
r = Ridwan disenangi bapak
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r (silogisme)
Premis 3: ~ r
Kesimpulan: ~ p (tollens)
Sehingga, kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas yaitu: “ Ridwan tidak pintar “.
Jawaban : D

1. Jika penguasaan komputer rendah maka negara akan tertinggal
2. Jika penguasaan komputer rendah maka IPTEK berkembang
3. IPTEK dan teknologi berkembang
4. IPTEK dan teknologi tidak berkembang
5. Susah untuk memajukan negara

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Misalkan:
p = penguasaan komputer rendah
q = sulit menguasai teknologi
r = IPTEK berkembang
s = negara akan tertinggal
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: ~ q ∨ ~ r ≡ q ⇒ ~ r
Kesimpulan awal: p ⇒ ~ r (silogisme)
Premis 3: ~ r ⇒ s
Kesimpulan akhir: p ⇒ s
Jadi, kesimpulannya: “ Jika penguasaan teknologi rendah maka negara akan tertinggal “.
Jawaban : A